Sistemas de ecuaciones

Cambia un coeficiente cualquiera y observa cómo se mueven ambas rectas. La solución es el lugar donde se cruzan. El determinante de abajo te dirá, antes de que resuelvas, si existe exactamente un cruce.

Solución única cuando	$D=a_1b_2-a_2b_1\neq0$
La solución	$x=\frac{c_1b_2-c_2b_1}{D},\qquad y=\frac{a_1c_2-a_2c_1}{D}$

Ejemplo resuelto — Sistemas de ecuaciones

Solución	2
Determinante	−3
Ángulo entre las rectas	71,565°
Cuánto se desplaza la solución	1,41 por unidad de a₁

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

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Lección

La teoría — Sistemas de ecuaciones259 palabras

Dos ecuaciones lineales con dos incógnitas describen dos rectas, y resolverlas significa hallar dónde se cortan. La precisión con la que se determina ese punto de encuentro es una cuestión distinta a si existe, y tiene su propio número.

Qué significa cada símbolo

Δ: el determinante a₁b₂ − a₂b₁. Cero indica que son paralelas; distinto de cero, que hay exactamente un cruce.
κ: el número de condición. Mide cuánto puede variar la respuesta ante una determinada fluctuación en los coeficientes y, a diferencia de Δ, no cambia si multiplicas toda una ecuación por diez.

Supone: Que los coeficientes son exactos. Cuando provienen de mediciones, el punto de corte hereda esa incertidumbre y la multiplica.
Falla cuando: El determinante te indica si hay solución; no te dice cuánto puedes fiarte de ella. Tampoco es capaz de hacerlo, porque multiplicar una ecuación por 10 multiplica Δ por 10 sin cambiar en absoluto la geometría. El número de condición hace el trabajo que Δ no puede. Para el preajuste Casi paralelas de esta página su valor es 312, y esto da carta blanca: un error relativo del 0,1% en cualquiera de los cuatro coeficientes puede traducirse en uno de aproximadamente el 31% en el punto de corte. Nadie aceptaría un margen así al diseñar un puente, y sin embargo resulta invisible en el determinante, en el álgebra y en la propia respuesta. El paso siguiente vuelve a encontrarse con esta misma cantidad en sistemas de más filas, donde será la que decida si los cálculos valen siquiera la pena.

Problemas resueltos al detalle

Dos cafés y un pastel que cuestan 8 cuando el café cuesta 1 más 7 pasos
Dos cafés y un pastel cuestan 8. Un café menos un pastel es 1 (el café cuesta 1 más que el pastel). ¿Cuánto cuesta cada cosa y cuánto te fiarías de la respuesta si hubieras leído los precios en un recibo borroso?

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1. Escribe ambos hechos usando las mismas dos incógnitas. Acertar con estas dos rectas constituye el modelado. Todo lo demás es mecánico.
  
  $2x + y = 8, \qquad x - y = 1$
2. Comprueba el determinante antes de resolver. No es cero, por lo que existe exactamente una respuesta y merece la pena buscarla.
  
  $D = (2)(-1) - (1)(1) = -3 \neq 0$
3. Elimina la y. Multiplica la segunda ecuación por 1 y suma. De forma equivalente, puedes multiplicar la primera por −1 y restar. Los términos en y están diseñados para cancelarse.
  
  $(2x + y) + (x - y) = 8 + 1 \;\Rightarrow\; 3x = 9$
4. Tres para el café. Sustituye este valor en cualquiera de las ecuaciones para averiguar el del pastel. Usa la OTRA ecuación para comprobarlo, ya que sustituir en la misma que acabas de emplear no demuestra absolutamente nada.
  
  $x = 3 \;\Rightarrow\; y = 2 \;\Rightarrow\; 2(3) + 2 = 8 \;\checkmark$
5. Ahora el recibo. Supón que la segunda ecuación se tecleó mal y el coeficiente del pastel pasa de −1 a 0,49. El determinante cae de −3 a −0,02.
  
  $D = (2)(0.49) - (1)(1) = -0.02$
6. La respuesta sigue siendo única y se ha desplazado a (−146, 300): un café que cuesta −146. El álgebra jamás protestó. No tenía forma de hacerlo.
  
  $(x, y) = (-146, 300)$
7. Aquí es donde esto deja de ser álgebra. Un precio negativo es la aritmética diciendo que el modelo está mal, no el café. La herramienta informará del valor encantada. El determinante te avisará antes en silencio, y ningún aspecto del método sabe que los precios no pueden ser negativos.
  
  $x < 0 \;\Rightarrow\; x \notin [0, \infty)$
Respuesta

Café 3, pastel 2. El determinante es −3, así que hay un solo cruce y ambas ecuaciones originales cuadran. Si desvías un coeficiente para hacerlas casi paralelas, el mismo método te devolverá −146 sin inmutarse. Por esta razón vale la pena mirar el determinante antes de la respuesta, y no después.
Dos rectas paralelas, y lo cerca que están de tener solución 6 pasos
2x + y = 8 y 4x + 2y = 10. El determinante es 0, lo que no dice cuál de los dos veredictos de determinante nulo se aplica. Averigua cuál es y decide después lo cerca que está el sistema de ser resoluble.

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1. El determinante es cero, así que no hay un único cruce. No puede decir más: paralelas y distintas, o la misma recta escrita dos veces, dan cero las dos.
  
  $D = (2)(2) - (4)(1) = 0$
2. Elimina de todos modos y llega la respuesta. Multiplica la primera ecuación por 2 para igualarla a la segunda, resta, y lo que queda no contiene incógnita alguna. Los pasos bajo el gráfico lo imprimen como 0x + 0y = 6, y 0 no es 6.
  
  $4x + 2y = 16, \qquad 4x + 2y = 10 \;\Longrightarrow\; 0x + 0y = 6$
3. Las razones dicen lo mismo sin necesidad de operar. Los dos primeros miembros están en razón 1 : 2 y los dos términos independientes no, así que las rectas comparten dirección y difieren en posición.
  
  $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{1}{2} \;\neq\; \frac{c_1}{c_2} = \frac{8}{10}$
4. ¿A qué distancia? Divide la segunda ecuación entre 2 y ambas rectas llevan el mismo primer miembro, de modo que la separación es una diferencia de términos independientes dividida entre la longitud del par de coeficientes.
  
  $2x + y = 8, \quad 2x + y = 5: \qquad d = \frac{|8-5|}{\sqrt{2^{2}+1^{2}}} = \frac{3}{\sqrt5} = 1.342$
5. Lo que plantea la pregunta ante la que se detiene la herramienta. Si ningún punto satisface ambas, ¿cuál se acerca más? Minimiza juntos los dos residuos al cuadrado. Escribiendo u por 2x + y, el segundo residuo es el doble del primero para cualquier u, así que pesa cuatro veces más, y el mínimo cae en u = 5,6 y no a medio camino, en 6,5.
  
  $u = 2x+y: \quad \min_u\ (u-8)^{2} + 4(u-5)^{2} \;\Longrightarrow\; 10u = 56 \;\Longrightarrow\; u = 5.6$
6. Eso es una advertencia sobre los mínimos cuadrados más que sobre estas dos rectas. La respuesta se desplazó porque la segunda ecuación estaba escrita con números más grandes, no porque sea mejor evidencia. Escala cada ecuación para que su par de coeficientes tenga longitud 1 y el punto más cercano queda exactamente a medio camino, a 0,671 de cada recta.
  
  $\frac{2x+y}{\sqrt5} = \frac{8}{\sqrt5},\ \frac{5}{\sqrt5} \;\Longrightarrow\; u = 6.5, \qquad \tfrac{1}{2}(1.342) = 0.671$
Respuesta

Sin solución, y las dos rectas distan 1,342. El determinante dice que el cruce ha desaparecido; los términos independientes dicen por cuál de las dos vías. El punto que más se acerca a ambas depende de cómo estén escritas las ecuaciones: tal como vienen, los mínimos cuadrados caen en 2x + y = 5,6, y solo tras normalizar las dos se asientan a medio camino, en 6,5.

$d = \frac{|c_1 - c_2|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} = \frac{3}{\sqrt5} = 1.342$
Sustitución 4 pasos
Resuelve y = 2x − 1 y 3x + 2y = 12.

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1. La primera ecuación ya te dice cuánto vale y. Sustituye 2x − 1 por y en la segunda.
  
  $y=2x-1:\qquad3x+2(2x-1)=12$
2. Opera y resuelve: 3x + 4x − 2 = 12, así que 7x = 14.
  
  $7x-2=12\ \Rightarrow\ x=2$
3. Sustituye x = 2 en y = 2x − 1.
  
  $y=2(2)-1=3$
4. Comprueba el resultado en la otra ecuación.
  
  $3(2)+2(3)=12\ \checkmark$
Respuesta

x = 2, y = 3. En la página la primera ecuación aparece como 2x − y = 1: se trata de la misma recta.

$x=2,\quad y=3$
Infinitas soluciones 3 pasos
Resuelve 2x + 4y = 6 y x + 2y = 3.

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1. El determinante es 0, así que no hay una solución única: o no existe ninguna, o hay infinitas.
  
  $D=(2)(2)-(1)(4)=0$
2. Divide la primera ecuación entre 2: se transforma en la segunda.
  
  $2x+4y=6\;\Big|\;\div2\quad\Longrightarrow\quad x+2y=3$
3. Por tanto, cualquier punto de la recta x + 2y = 3 satisface ambas ecuaciones. Elige cualquier valor de y, y tendrás x = 3 − 2y.
  
  $x=3-2y:\qquad(3,0),\ (1,1),\ (-1,2)$
Respuesta

Infinitas soluciones: cualquier punto (3 − 2t, t). Compara con el problema 2, donde los lados izquierdos eran proporcionales pero los derechos no, y el sistema no tenía solución.

$(x,y)=(3-2t,\ t),\quad t\in\mathbb{R}$
Plantear a partir del enunciado 4 pasos
Un colegio vende 20 entradas por 133 en total. Las de adulto cuestan 8 y las infantiles, 5. ¿Cuántas se vendieron de cada tipo?

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1. Llama a y c al número de entradas. Una ecuación cuenta entradas y la otra, dinero.
  
  $a+c=20,\qquad8a+5c=133$
2. Multiplica la primera por 5 para que c tenga el mismo coeficiente en ambas.
  
  $5a+5c=100$
3. Réstala de la segunda: desaparece c y queda 3a = 33.
  
  $3a=33\ \Rightarrow\ a=11$
4. Entonces c = 20 − 11 = 9, y las cuentas del dinero cuadran.
  
  $c=9,\qquad88+45=133\ \checkmark$
Respuesta

11 entradas de adulto y 9 infantiles.

$a=11,\quad c=9$

Problemas complementarios, solo con la respuesta

Resuelve x + y = 10 y x − y = 4.

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x = 7, y = 3. Al sumar ambas ecuaciones obtienes 2x = 14.

$x=7,\quad y=3$
Resuelve 3x + 2y = 16 y 2x − y = 6.

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x = 4, y = 2.

$x=4,\quad y=2$
Resuelve 4x − 6y = 2 y 2x − 3y = 5.

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Sin solución. Al duplicar la segunda obtienes 4x − 6y = 10, de modo que el mismo lado izquierdo tendría que valer 2 y 10 a la vez.

$4x-6y=2,\quad4x-6y=10\ \Rightarrow\ 0=8$
Resuelve y = 3x − 5 y 2x + y = 15.

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x = 4, y = 7.

$x=4,\quad y=7$
Dos números suman 50 y su diferencia es 14. ¿Cuáles son?

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32 y 18.

$32,\quad18$

Un número decide si tan siquiera existe un único cruce

Antes de resolver nada, calcula a₁b₂ − a₂b₁. Si no da cero, las rectas se cortan exactamente una vez y la respuesta es única. Si da cero, son paralelas. En ese caso, únicamente las constantes deciden si eso significa ninguna solución o todos los puntos de la recta. Pulsa las tres opciones predefinidas y observa el determinante: −3, luego 0, y otra vez 0 con un veredicto distinto. Este es el mismo determinante que rige las herramientas de matrices más adelante en el sitio. La misma pregunta sobre si dos direcciones son de verdad diferentes, formulada en el caso más pequeño en el que se puede plantear.

Un determinante pequeño no es un problema menor

Pulsa Casi paralelas. El determinante es −0,02, así que hay un cruce y el álgebra lo localiza sin rechistar: (−146, 300). Ahora observa la lectura de sensibilidad. Alterar a₁ en 0,01 arrastra ese cruce unos 108, lo que equivale a una tasa de 10.767 por unidad. No hay ningún error en la aritmética. El problema radica en que la respuesta depende de los coeficientes de manera desproporcionada. Si estos provinieran de mediciones reales, el resultado no significaría casi nada. Dos rectas que se encuentran en un ángulo muy agudo ofrecen un punto de cruce perfectamente definido y perfectamente inútil. Ningún paso de la resolución revela este detalle. Solo el determinante lo hace.

La reducción es un único movimiento válido aplicado dos veces

Los pasos mostrados bajo el gráfico nunca hacen nada nuevo. Multiplicar toda una ecuación por un número conserva las soluciones, puesto que siempre puedes revertirlo dividiendo. Restar una ecuación de otra también las mantiene, ya que cualquier par de valores que cumpla ambas cumplirá su diferencia. En eso consiste todo el método. Lo que le da aspecto de técnica elaborada es elegir los multiplicadores para lograr que una incógnita se anule. Esa elección es pura aritmética, no intuición: multiplicas la primera fila por b₂ y la segunda por b₁, con lo que los términos de la y quedan idénticos por diseño. Esas mismas dos operaciones aplicadas a tres incógnitas reciben el nombre de eliminación de Gauss. Con n incógnitas, sigue siendo exactamente lo que hace hoy en día cualquier programa de resolución lineal.

Ruta de aprendizaje

Despejar la x, partiendo del signo menos

Referencias (1)

The paper that named the quantity, and worked out what it costs you: A. M. Turing, "Rounding-off Errors in Matrix Processes." The Quarterly Journal of Mechanics and Applied Mathematics 1:1 (1948), 287–308.

Por el equipo de 7 Raven Room · Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones.