Partículas cargadas en un campo magnético

Elige una partícula, el voltaje que la aceleró y la intensidad del campo que atraviesa. La página calcula el círculo sobre el que se mueve, cuánto tarda una vuelta incluyendo la relatividad y qué le hacen ese mismo voltaje y campo a otras cinco partículas.

La fuerza magnética: perpendicular tanto a la velocidad como al campo	$\vec F=q\,\vec v\times\vec B,\qquad F=\|q\|vB\sin\theta$
En un campo uniforme: una circunferencia y un periodo independiente de la rapidez	$\begin{gathered}r=\frac{mv}{\|q\|B}\\ T=\frac{2\pi m}{\|q\|B},\qquad f=\frac{\|q\|B}{2\pi m}\end{gathered}$
Cerca de la velocidad de la luz: el momento lineal es γmv	$\begin{gathered}p=\gamma mv,\qquad r=\frac{p}{\|q\|B}\\ T=\gamma\,\frac{2\pi m}{\|q\|B}\end{gathered}$

Ejemplo resuelto — Partículas cargadas en un campo magnético

Energía en reposo	938,272 MeV
Energía cinética por el voltaje	10,00 keV
Factor de Lorentz γ	1,000011
Velocidad	1,384×10⁶ m/s
Momento	2,315×10⁻²¹ kg·m/s
Radio del círculo	9,633 mm
Tiempo de vuelta sin relatividad	43,73 ns
Tiempo de la vuelta	43,73 ns

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

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Lección

La teoría — Partículas cargadas en un campo magnético

Una carga q que se desplaza con velocidad v en el seno de un campo magnético B experimenta la componente magnética de la fuerza de Lorentz, F = q v × B: perpendicular tanto a la velocidad como al campo, con un módulo de |q|vB cuando ambos forman 90°. Como una fuerza perpendicular en todo momento al movimiento no realiza trabajo, la rapidez se mantiene constante y solo cambia la dirección, describiendo una circunferencia. Su radio es r = p/(|q|B), el momento lineal dividido por el producto de la carga y el campo, y cada vuelta requiere T = 2πγm/(|q|B). A velocidades muy inferiores a la de la luz, γ vale 1 con muchos decimales y en el periodo no interviene la rapidez en absoluto; su inverso, |q|B/(2πm), es la frecuencia ciclotrón.

Qué significa cada símbolo

q: la carga de la partícula, en culombios: un número entero de cargas elementales e = 1,602176634×10⁻¹⁹ C. Su signo determina la dirección de giro
B: el campo magnético, en teslas, igual en todos los lugares por los que pasa la partícula
r: radio del círculo. Lo define el momento, no la velocidad ni la energía por sí solas
T_0: el tiempo de la vuelta omitiendo la relatividad, 2πm/(|q|B)
γ: el factor de Lorentz, 1 + K/(mc²). El verdadero tiempo de la vuelta es γT₀

De dónde viene la fórmula

La fuerza. Actúa en ángulo recto con la velocidad y no realiza trabajo: la rapidez no cambia jamás, solo la dirección.
$\vec F=q\,\vec v\times\vec B,\qquad\vec F\perp\vec v\ \Rightarrow\ W=0$
Una circunferencia. Una fuerza de módulo constante y perpendicular a la trayectoria es una fuerza centrípeta; al igualarla a mv²/r obtienes el radio.
$|q|vB=\frac{mv^{2}}{r}\ \Rightarrow\ r=\frac{mv}{|q|B}$
La vuelta. La distancia 2πr dividida entre la rapidez v. La v de r cancela la del denominador.
$T=\frac{2\pi r}{v}=\frac{2\pi m}{|q|B}$
A partir del voltaje. Una carga que parte del reposo y atraviesa una diferencia de potencial ΔV adquiere una energía cinética |q|ΔV; de ahí obtienes su rapidez y su radio.
$|q|\,\Delta V=\tfrac12mv^{2}\ \Rightarrow\ r=\frac{\sqrt{2m|q|\,\Delta V}}{|q|B}$
A gran velocidad. El radio lo determina el momento lineal, γmv, y cada vuelta dura γ veces el periodo no relativista. Con estas relaciones opera la tabla a cualquier velocidad.
$\begin{gathered}p=\gamma mv,\qquad r=\frac{p}{|q|B}\\ T=\gamma\,T_0\end{gathered}$

Supone: Un campo que es uniforme y constante, y una partícula moviéndose exactamente a través de él: cualquier parte de la velocidad a lo largo del campo no se ve afectada, y el círculo se convierte en una hélice. Un vacío, para que nada frene a la partícula. Se asume que la partícula no irradia, aunque una carga dando vueltas sí lo hace; para el ajuste del electrón la energía que irradia en una vuelta es inferior a una millonésima de electronvoltio, pero a un gigaelectronvoltio en un campo fuerte se convierte en una pérdida real, motivo por el que los sincrotrones de electrones tienen que seguir inyectando energía. Los iones de uranio son átomos con una sola carga, su masa es la masa atómica menos un electrón.
Falla cuando: La relatividad está integrada, por lo que una partícula rápida no rompe la página. Lo que la rompe es el imán: un campo real se debilita hacia su borde, y en un ciclotrón tiene que moldearse tanto para mantener el haz enfocado como para mantenerse cerca de la resonancia, que es el tema del artículo de Rose de 1938. En un ciclotrón en funcionamiento el campo eléctrico en la separación añade energía cada media vuelta, por lo que la trayectoria real es una espiral de semicírculos de radio creciente en lugar de un solo círculo. Además, muchos iones en un mismo haz se repelen entre sí y dispersan el rayo, un problema lo bastante grande como para figurar en el título del informe de William Parkins sobre el calutrón en tiempos de guerra.

Problemas resueltos al detalle

Del voltaje acelerador a la circunferencia 3 pasos
Un protón se acelera desde el reposo con 5,0 kV y entra en ángulo recto en un campo de 0,40 T. Halla su rapidez, el radio de su circunferencia y el tiempo que tarda en dar una vuelta.

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1. Toda la energía que gana al atravesar ese voltaje es puramente cinética:
  
  $\tfrac12mv^{2}=|q|\,\Delta V\ \Rightarrow\ v=\sqrt{\frac{2|q|\,\Delta V}{m}}=\sqrt{\frac{2\,(1{.}602\times10^{-19})(5{.}0\times10^{3})}{1{.}673\times10^{-27}}}\approx9{.}787\times10^{5}\ \mathrm{m/s}$
2. La fuerza magnética proporciona la fuerza centrípeta:
  
  $|q|vB=\frac{mv^{2}}{r}\ \Rightarrow\ r=\frac{mv}{|q|B}=\frac{(1{.}673\times10^{-27})(9{.}787\times10^{5})}{(1{.}602\times10^{-19})(0{.}40)}\approx25{.}54\ \mathrm{mm}$
3. Una vuelta completa es la longitud de la circunferencia dividida entre la rapidez, y la rapidez se cancela:
  
  $T=\frac{2\pi r}{v}=\frac{2\pi m}{|q|B}=\frac{2\pi\,(1{.}673\times10^{-27})}{(1{.}602\times10^{-19})(0{.}40)}\approx164{.}0\ \mathrm{ns}$
Respuesta

v = 9,787 × 10⁵ m/s, r = 25,54 mm, T = 164,0 ns. A 5,0 kV el protón se mueve a un tercio del uno por ciento de la velocidad de la luz, y la relatividad apenas altera estas cifras en unas pocas partes por millón.

$v\approx9{.}787\times10^{5}\ \mathrm{m/s},\quad r\approx25{.}54\ \mathrm{mm},\quad T\approx164{.}0\ \mathrm{ns}$
La fuerza sobre un electrón y el sentido de giro 3 pasos
Un electrón acelerado por 50 V avanza en la dirección +x y entra en un campo de 0,50 mT orientado según +z. Halla la fuerza que actúa sobre él al entrar, el radio de la circunferencia y el sentido en que gira, visto desde +z.

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1. Su rapidez, a partir de los 50 eV adquiridos:
  
  $v=\sqrt{\frac{2e\,\Delta V}{m_e}}=\sqrt{\frac{2\,(1{.}602\times10^{-19})(50)}{9{.}109\times10^{-31}}}\approx4{.}194\times10^{6}\ \mathrm{m/s}$
2. El sentido proviene del producto vectorial. Como x̂ × ẑ = −ŷ y la carga del electrón es negativa, el sentido se invierte:
  
  $\vec F=q\,\vec v\times\vec B=(-e)\,vB\,(\hat x\times\hat z)=(-e)\,vB\,(-\hat y)=+evB\,\hat y$
3. El módulo de la fuerza y el radio que describe:
  
  $F=evB=(1{.}602\times10^{-19})(4{.}194\times10^{6})(5{.}0\times10^{-4})\approx3{.}359\times10^{-16}\ \mathrm{N},\qquad r=\frac{m_ev}{eB}\approx47{.}69\ \mathrm{mm}$
Respuesta

F = 3,359 × 10⁻¹⁶ N según +y; r = 47,69 mm; en sentido antihorario visto desde +z. Un protón en ese mismo campo sufriría la fuerza según −y y giraría en sentido horario. La regla de la mano derecha determina la fuerza para una carga positiva; con un electrón hay que invertir el resultado.

$F\approx3{.}359\times10^{-16}\ \mathrm{N}\ (+y),\qquad r\approx47{.}69\ \mathrm{mm}$
Tres partículas sometidas al mismo voltaje 3 pasos
Un protón, un deuterón y una partícula alfa se aceleran bajo un voltaje de 10 kV y entran en un mismo campo de 1,5 T. Halla el radio de la circunferencia de cada uno.

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1. Al atravesar el mismo voltaje, cada partícula adquiere una energía |q|ΔV; el momento lineal es √(2m|q|ΔV) y el radio varía con la raíz cuadrada de m/q:
  
  $r=\frac{\sqrt{2m|q|\,\Delta V}}{|q|B}=\frac{1}{B}\sqrt{\frac{2m\,\Delta V}{|q|}}$
2. El protón y el deuterón tienen una carga e cada uno; el deuterón posee el doble de masa:
  
  $r_p=\frac{1}{1{.}5}\sqrt{\frac{2\,(1{.}673\times10^{-27})(1{.}0\times10^{4})}{1{.}602\times10^{-19}}}\approx9{.}633\ \mathrm{mm},\qquad r_d=\sqrt{\frac{m_d}{m_p}}\;r_p\approx13{.}62\ \mathrm{mm}$
3. La partícula alfa tiene cuatro veces la masa del protón y el doble de su carga, luego casi la misma relación m/q que el deuterón:
  
  $r_\alpha=\sqrt{\frac{m_\alpha/2e}{m_d/e}}\;r_d=\sqrt{\frac{6{.}645\times10^{-27}}{2\,(3{.}344\times10^{-27})}}\;r_d\approx0{.}9968\,r_d\approx13{.}58\ \mathrm{mm}$
Respuesta

9,633 mm, 13,62 mm y 13,58 mm. La circunferencia de la partícula alfa es un 0,32 % menor que la del deuterón. Su relación m/q queda un 0,64 % por debajo de la de este, porque el núcleo de helio está 23,8 MeV más fuertemente ligado que dos deuterones por separado y esa energía le falta a su masa.

$r_p\approx9{.}633,\quad r_d\approx13{.}62,\quad r_\alpha\approx13{.}58\ \mathrm{mm}$
Un selector de velocidades y un espectrómetro de masas 3 pasos
Iones de carbono monovalentes atraviesan sin desviarse dos campos cruzados, E = 1,0 × 10⁵ V/m y B = 0,20 T, y después describen una semicircunferencia en un campo de 0,40 T. ¿A qué distancia uno de otro impactan el carbono-12 y el carbono-13?
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1. El ion solo continúa en línea recta si las fuerzas eléctrica y magnética se anulan, lo que fija su rapidez independientemente de su masa:
  
  $qE=qvB_1\ \Rightarrow\ v=\frac{E}{B_1}=\frac{1{.}0\times10^{5}}{0{.}20}=5{.}0\times10^{5}\ \mathrm{m/s}$
2. En el segundo campo, cada isótopo describe su propia circunferencia:
  
  $r=\frac{mv}{eB_2}:\qquad r_{12}=\frac{(12{.}000\,\mathrm u)(5{.}0\times10^{5})}{(1{.}602\times10^{-19})(0{.}40)}\approx155{.}5\ \mathrm{mm},\qquad r_{13}\approx168{.}5\ \mathrm{mm}$
3. Tras media circunferencia, cada uno impacta a una distancia de la entrada igual a su diámetro:
  
  $\Delta x=2\,(r_{13}-r_{12})\approx26{.}0\ \mathrm{mm}$
Respuesta

A 26,0 mm de distancia. Con la rapidez fijada de antemano, el radio es proporcional a la propia masa y no a su raíz cuadrada (problema 3); por eso la diferencia del 8,4 % en la masa se traduce en una diferencia del 8,4 % en el radio.

$\Delta x\approx26{.}0\ \mathrm{mm}$
Velocidad inclinada respecto al campo: la hélice 4 pasos
Un protón se mueve a 5,0 × 10⁵ m/s formando un ángulo de 60° con un campo de 0,10 T. Halla la fuerza que actúa sobre él, el radio de su trayectoria y qué distancia avanza a lo largo del campo en una vuelta.
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1. Solo la componente de la velocidad perpendicular al campo experimenta fuerza:
  
  $F=|q|vB\sin\theta=(1{.}602\times10^{-19})(5{.}0\times10^{5})(0{.}10)\sin60^{\circ}\approx6{.}938\times10^{-15}\ \mathrm{N}$
2. Descompón la velocidad en la componente perpendicular al campo y la componente paralela a él:
  
  $v_\perp=v\sin60^{\circ}\approx4{.}330\times10^{5},\qquad v_\parallel=v\cos60^{\circ}=2{.}5\times10^{5}\ \mathrm{m/s}$
3. La componente perpendicular describe una circunferencia con el periodo de la vuelta lenta:
  
  $r=\frac{mv_\perp}{|q|B}\approx45{.}21\ \mathrm{mm},\qquad T=\frac{2\pi m}{|q|B}\approx655{.}9\ \mathrm{ns}$
4. La componente paralela no se altera y hace avanzar al protón un paso de hélice en cada vuelta:
  
  $p=v_\parallel T=(2{.}5\times10^{5})(6{.}559\times10^{-7})\approx164{.}0\ \mathrm{mm}$
Respuesta

F = 6,938 × 10⁻¹⁵ N, r = 45,21 mm, paso 164,0 mm. El protón se enrolla alrededor de las líneas de campo formando una hélice y completa una vuelta cada 655,9 ns, con independencia del ángulo.

$F\approx6{.}938\times10^{-15}\ \mathrm{N},\quad r\approx45{.}21\ \mathrm{mm},\quad p\approx164{.}0\ \mathrm{mm}$
Cuando la relatividad cuenta 3 pasos
Un electrón con 1,0 MeV de energía cinética se mueve perpendicularmente a un campo de 0,010 T. Halla el radio de su circunferencia y el tiempo de una vuelta. Pulsa Electrón, 1 MV.

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1. La energía cinética es casi el doble de la energía en reposo, de modo que γ dista mucho de 1:
  
  $\gamma=1+\frac{K}{mc^{2}}=1+\frac{1{.}000}{0{.}5110}\approx2{.}957$
2. El momento lineal a partir de la energía y luego el radio:
  
  $pc=\sqrt{K^{2}+2Kmc^{2}}=\sqrt{1{.}000^{2}+2\,(1{.}000)(0{.}5110)}\approx1{.}422\ \mathrm{MeV},\qquad r=\frac{p}{eB}\approx474{.}3\ \mathrm{mm}$
3. La vuelta dura γ veces el tiempo de la vuelta lenta:
  
  $T=\gamma\,\frac{2\pi m_e}{eB}\approx2{.}957\times3{.}572\ \mathrm{ns}\approx10{.}56\ \mathrm{ns}$
Respuesta

r = 474,3 mm, T = 10,56 ns. Suponer ½mv² = 1,0 MeV daría una rapidez de 5,931 × 10⁸ m/s, casi el doble de la velocidad de la luz, y un radio de 337,2 mm.

$r\approx474{.}3\ \mathrm{mm},\qquad T\approx10{.}56\ \mathrm{ns}$
¿Hasta dónde puede empujar a un protón un ciclotrón de frecuencia fija? 6 pasos
Un ciclotrón tiene un imán de 1,5 T, electrodos huecos de 0,5 m de radio y proporciona a un protón 100 keV cada vuelta. Encuentra la radiofrecuencia a la que tiene que funcionar, la energía de un protón que llega al borde, y si una frecuencia fija puede llevarlo hasta allí. Pulsa Protón, 10 kV para comprobar el primer paso.

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1. La frecuencia es la frecuencia de ciclotrón de un protón lento, que la página muestra a 10 kV:
  
  $f_0=\dfrac{qB}{2\pi m}=\dfrac{1{.}602177\times10^{-19}\times1{.}5}{2\pi\times1{.}672622\times10^{-27}}=22{.}87\ \mathrm{MHz}\qquad T_0=43{.}73\ \mathrm{ns}$
2. En el borde el radio es de 0,5 m, así que el momento es qBR. Escrito como pc es una energía:
  
  $pc=qBRc=1{.}602177\times10^{-19}\times1{.}5\times0{.}5\times2{.}997925\times10^{8}\ \mathrm{J}=224{.}84\ \mathrm{MeV}$
3. La energía cinética es la energía total menos la energía en reposo. Omitir la relatividad daría 26,94 MeV, un 1,4% de más:
  
  $K=\sqrt{(pc)^2+(mc^2)^2}-mc^2=\sqrt{224{.}84^2+938{.}27^2}-938{.}27=26{.}56\ \mathrm{MeV}\qquad\dfrac{(pc)^2}{2mc^2}=26{.}94\ \mathrm{MeV}$
4. A esa energía γ es 1,028312, por lo que una vuelta en el borde tarda un 2,83% más que una vuelta en el centro:
  
  $\gamma=1+\dfrac{26{.}56}{938{.}27}=1{.}028312\quad\Rightarrow\quad T_{\mathrm{rim}}=1{.}028312\,T_0$
5. A 100 keV por vuelta el protón necesita 266 vueltas para llegar allí. En la vuelta k llega con un retraso de γ − 1 = kΔE/mc², como fracción de vuelta, y el retraso se acumula, hasta alcanzar 3,78 ciclos enteros de la radiofrecuencia para cuando llegaría al borde:
  
  $n=\dfrac{26{.}56}{0{.}1}\approx266\qquad\sum_{k=1}^{n}\dfrac{k\,\Delta E}{mc^2}=\dfrac{\Delta E}{mc^2}\,\dfrac{n(n+1)}{2}=\dfrac{0{.}1}{938{.}27}\times\dfrac{266\times267}{2}=3{.}78$
6. Solo se ve empujado hacia adelante mientras el campo en la separación apunta hacia adelante, durante la mitad de cada ciclo, por lo que deja de ganar energía una vez que el retraso acumulado alcanza medio ciclo, π de fase:
  
  $\dfrac{\Delta E}{mc^2}\,\dfrac{n(n+1)}{2}=\dfrac12\ \Rightarrow\ n(n+1)=\dfrac{938{.}27}{0{.}1}=9383\ \Rightarrow\ n=97,\ K=9{.}7\ \mathrm{MeV}\approx\sqrt{mc^2\,\Delta E}=9{.}69\ \mathrm{MeV}$
Respuesta

El imán puede retener en su borde un protón de 26,56 MeV; a frecuencia fija solo es posible acelerarlo hasta unos 9,7 MeV a razón de 100 keV por vuelta, momento en que el protón pierde el sincronismo. Si cuadruplicas la energía por vuelta hasta 400 keV, el límite apenas se duplica, alcanzando 19,2 MeV, porque escala como √(mc²·ΔE). Esta estimación atribuye a cada vuelta los 100 keV íntegros, lo cual es generoso; el cálculo que Rose realizó en 1938 con un campo perfilado alcanzó 13,9 MeV con 50 kV en los electrodos y halló la misma ley de la raíz cuadrada. Las máquinas posteriores compensaron el factor γ que la frecuencia fija no contempla por dos caminos: el sincrociclotrón reduce la frecuencia a medida que el protón gana energía, y el ciclotrón isócrono incrementa el campo con el radio para que la vuelta no se descompase, un diseño que L. H. Thomas demostró en 1938 capaz de mantener enfocado el haz.

$K_{\max}\approx\sqrt{mc^2\,\Delta E}:\qquad\Delta E=100\ \mathrm{keV}\Rightarrow9{.}7\ \mathrm{MeV},\qquad\Delta E=400\ \mathrm{keV}\Rightarrow19{.}2\ \mathrm{MeV}$

Problemas complementarios, solo con la respuesta

¿Cuánto tarda un electrón en dar una vuelta completa en el campo magnético terrestre, de 50 μT, a una rapidez muy inferior a la de la luz?

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714,5 ns, a cualquiera de esas velocidades.

$T=\frac{2\pi m_e}{eB}\approx714{.}5\ \mathrm{ns}$
Un protón y un deuterón cruzan el mismo campo con igual rapidez. ¿Cuál es la razón entre sus radios?

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1,999: a igualdad de rapidez, el radio es proporcional a m/q, no a su raíz cuadrada.

$\frac{r_d}{r_p}=\frac{m_d}{m_p}\approx1{.}999$
Un protón se mueve a 3,0 × 10⁶ m/s a 30° respecto a un campo de 0,20 T. Halla la fuerza que actúa sobre él.

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4,807 × 10⁻¹⁴ N.

$F=|q|vB\sin30^{\circ}\approx4{.}807\times10^{-14}\ \mathrm{N}$
Un selector de velocidades tiene E = 2,4 × 10⁴ V/m y B = 0,060 T. ¿Qué rapidez permite cruzar en línea recta?

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4,0 × 10⁵ m/s, para cualquier carga y cualquier masa.

$v=\frac{E}{B}=4{.}0\times10^{5}\ \mathrm{m/s}$
Un ciclotrón con un campo de 1,5 T y un radio de 0,50 m acelera deuterones. ¿A qué frecuencia debe operar y con qué energía salen, sin considerar la relatividad?

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11,44 MHz; 13,48 MeV.

$f=\frac{eB}{2\pi m_d}\approx11{.}44\ \mathrm{MHz},\qquad K=\frac{e^{2}B^{2}R^{2}}{2m_d}\approx13{.}48\ \mathrm{MeV}$
¿Qué campo desvía electrones de 10 keV en una circunferencia de radio 5,0 cm?

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6,777 mT; 6,744 mT si se prescinde de la relatividad.

$B=\frac{p}{eR}\approx6{.}777\ \mathrm{mT}$

El doble de rápido, un círculo el doble de grande, los mismos 43,73 ns

Pulsa primero Protón, 10 kV y después Protón, 40 kV. Al cuadruplicar la energía, se duplica la velocidad y con ella el radio de la circunferencia, que pasa de 9,633 a 19,27 mm. En ambos casos, la vuelta dura 43,73 ns. La velocidad se simplifica: el radio es mv/(qB), la vuelta es 2πr/v y queda 2πm/(qB), sin ninguna v. El artículo de 1932 sobre el ciclotrón, firmado por Ernest Lawrence y Stanley Livingston, se apoya en esa simplificación. La semicircunferencia le lleva el mismo tiempo incluso a un protón más rápido. Por eso, una radiofrecuencia fija aplicada al entrehierro entre los dos electrodos huecos puede impulsarlo en el momento preciso mientras describe una espiral hacia fuera. Así obtuvieron protones de 1,22 MeV con un tubo al que nunca se aplicaron más de 4.000 V. En el panel con las tres órbitas, los puntos indican la posición en cada órbita a intervalos de un cuarto del período clásico; a estas energías, los puntos de las tres circunferencias quedan alineados sobre los mismos cuatro radios.

Un protón de 20 MeV se retrasa un 2,132%, y una frecuencia fija no puede seguirlo

El tiempo exacto por vuelta es 2πγm/(|q|B), y γ aumenta con la energía. Con Protón, 20 MV tenemos γ = 1,021316: cada vuelta dura 44,66 ns en lugar de 43,73, mientras la radiofrecuencia que lo acelera sigue sintonizada para el protón lento. En cada vuelta llega con un pequeño retraso a la rendija entre electrodos, desfase que se acumula hasta que llega justo cuando el campo apunta en sentido contrario. Para un electrón, el margen útil resulta minúsculo. Ponlo a 20 kV y su vuelta ya se alargará un 3,914 %; Electrón, 1 MV tiene γ = 2,956951, casi el triple de su valor lento. El segundo panel representa T ÷ T₀ para cuatro partículas; cada curva se dispara hacia arriba en cuanto la energía cinética alcanza un pequeño porcentaje de la energía en reposo, lo que para un electrón supone decenas de keV y para un protón, decenas de MeV. M. E. Rose calculó en 1938 que, con 50 kV en los electrodos y un campo cuidadosamente perfilado, un ciclotrón de frecuencia fija podía llevar los protones hasta 13,9 MeV, o 14,9 con un campo más complejo. El último problema resuelto hace una estimación aproximada de ese techo y desvela por qué solo crece con la raíz cuadrada del voltaje.

El uranio-238 es un 1,28% más pesado y su círculo solo un 0,638% más ancho

Toda partícula que atraviesa el mismo voltaje obtiene la misma energía por unidad de carga, y el momento de una partícula lenta es √(2mK), por lo que para la misma carga el radio varía según la raíz cuadrada de la masa. Uranio-235, 35 kV gira a 1,2145 m. En la tabla adjunta, el uranio-238, con 238,0502 u frente a 235,0434, gira a 1,2223 m: un 1,28% más de masa, un radio 1,00638 veces mayor. En un instrumento que desvía el haz a través de medio círculo hacia un colector, los dos isótopos aterrizan separados por 15,5 mm, el doble de la diferencia de los radios. Esa es toda la separación que les da un imán con estos ajustes, y es el método que usaban los calutrones durante la guerra para separar el uranio-235.

Ruta de aprendizaje

De dónde vienen los campos

Referencias (3)

The cyclotron paper, and claim 1 in its authors' words: because the radii are proportional to the velocities, the time for a half circle is independent of them. It reports 1.22 MeV protons from a tube with at most 4,000 V applied: E. O. Lawrence and M. S. Livingston, "The Production of High Speed Light Ions Without the Use of High Voltages." Physical Review 40(1), 1932, pp. 19-35. DOI 10.1103/PhysRev.40.19
Why a fixed-frequency cyclotron tops out: the field has to be shaped for focusing and for resonance at once, and with 50 kV on the dees the best fields give protons of 13.9 and 14.9 MeV, with maximum energies rising as the square root of the dee voltage: M. E. Rose, "Focusing and Maximum Energy of Ions in the Cyclotron." Physical Review 53(5), 1938, pp. 392-408. DOI 10.1103/PhysRev.53.392
Separating uranium-235 from uranium-238 with magnets during the Second World War, told by one of the physicists who did it, and the beam-spreading problem that dominated the work: W. E. Parkins, "The Uranium Bomb, the Calutron, and the Space-Charge Problem." Physics Today 58(5), 2005, pp. 45-51. DOI 10.1063/1.1995747

Por el equipo de 7 Raven Room · Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones.