Simulador de Proyectil con Resistencia y Viento

Compara la trayectoria ideal con la influida por la resistencia del aire.

Arrastre cuadrático, sobre la velocidad respecto al aire	$\begin{gathered}\mathbf F=-k\,\|\mathbf v_{\mathrm{rel}}\|\,\mathbf v_{\mathrm{rel}},\qquad \mathbf v_{\mathrm{rel}}=\mathbf v-\mathbf w\\ k=\tfrac12\rho\,C_dA\end{gathered}$
Velocidad terminal: el arrastre iguala al peso	$v_t=\sqrt{\frac{mg}{k}}$
Caída recta desde el reposo y tiro vertical	$\begin{gathered}v^{2}=v_t^{2}\left(1-e^{-2ky/m}\right)\\ H=\frac{m}{2k}\ln\!\left(1+\frac{v_0^{2}}{v_t^{2}}\right)\end{gathered}$

Ejemplo resuelto — Simulador de Proyectil con Resistencia y Viento

Velocidad terminal	18,083 m/s
Velocidad inicial en el aire	25 m/s
Arrastre en el lanzamiento	18,75 N
Alcance en el vacío	63,71 m
Altura máxima en el vacío	15,928 m
Alcance	28,283 m
Altura máxima	9,643 m
Distancia horizontal al vértice	16,259 m

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

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Lección

La teoría — Simulador de Proyectil con Resistencia y Viento

El arrastre cuadrático es la resistencia del aire que frena cualquier objeto lanzado a mano: una fuerza k|v_rel|² opuesta a la velocidad de la pelota respecto al aire, v_rel = v − w, con k = ½ρC_dA. Como |v_rel| contiene ambas componentes, acopla los movimientos horizontal y vertical, y la trayectoria deja de tener una fórmula cerrada. Esta página la integra en pasos de 5 ms como máximo.

Qué significa cada símbolo

θ: el ángulo de lanzamiento. Sin resistencia su mejor valor es 45° para cualquier velocidad inicial y cualquier masa: una constante del problema. Con resistencia no es nada de eso, y de ello trata esta lección.
k/m: el coeficiente de resistencia dividido por la masa. Es la única combinación que aparece en las ecuaciones: nunca k a solas, nunca m a solas. Dos de las seis casillas de entrada son dos asas del mismo número.
v_rel: velocidad relativa al aire, v − w. El arrastre actúa sobre ella, jamás sobre la velocidad respecto al suelo.
R: el alcance. La página calcula dos: R₀ según la fórmula en el vacío y R a partir de la integración; la diferencia entre ambos es lo que se cobró el aire.

De dónde viene la fórmula

Empecemos sin aire, donde los dos ejes nunca se hablan. La velocidad horizontal es constante, la posición vertical es una parábola en el tiempo, y eliminar el tiempo deja R = v₀² sin(2θ)/g. Al maximizar, sin(2θ) es máximo en 2θ = 90°. Fíjese en lo que ha desaparecido: ni v₀ ni la masa figuran en esa condición, de modo que 45° es el mejor ángulo para todo lanzamiento que haya existido. Por eso se recuerda como un hecho y no como un resultado.
$R=\frac{v_0^{2}\sin2\theta}{g}\le\frac{v_0^{2}}{g}\ \Rightarrow\ \theta^{*}=45^\circ$
Al añadir el arrastre, los ejes dejan de ser independientes. La aceleración es −g ŷ − (k/m)|v_rel|v_rel. Puesto que |v_rel| contiene ambas componentes, la ecuación horizontal depende de la velocidad con que asciende la pelota, y la vertical, de cuánto avanza hacia delante. El sistema resultante no es lineal y no se puede desacoplar: no sobrevive ninguna fórmula elemental para R. La tabla de resultados muestra el alcance como la integral que es.
$\frac{d\mathbf v}{dt}=-g\,\hat{\mathbf y}-\frac{k}{m}\,|\mathbf v_{\mathrm{rel}}|\,\mathbf v_{\mathrm{rel}},\qquad |\mathbf v_{\mathrm{rel}}|=\sqrt{(v_x-w)^{2}+v_y^{2}}$
Divide entre m y solo quedará k/m. Una pelota pesada equivale a una ligera en un aire más tenue. Pon k = 0.03 con m = 3 y obtendrás la trayectoria de k = 0.01 con m = 1 hasta la última cifra. El preajuste bola pesada no es más que el caso de bajo arrastre con otro nombre: la casilla de la masa no puede enseñarte nada que no te mostrara ya la del arrastre.
$\frac{k}{m}=\frac{0.03}{3}=\frac{0.01}{1}=0.01\ \mathrm{m^{-1}}$
El ángulo óptimo cae por debajo de 45°. Un tiro muy elevado pasa más tiempo en el aire, y la resistencia aprovecha cada segundo para restarle velocidad. En aire en calma y a ras de suelo, el ángulo óptimo se sitúa por debajo de 45°. Además, como el arrastre crece con la rapidez, ese ángulo baja aún más cuanto más fuerte lanzas, algo que jamás ocurría en el vacío. Con el arrastre inicial, a 25 m/s el máximo alcance se logra a 38,939° (28,743 m, frente a los 28,283 m obtenidos a 45°), y a 90 m/s el ángulo óptimo desciende a 29,34° (72,117 m frente a 66,493 m). La última fila de la tabla lo calcula para cualquier valor que elijas. El viento vuelve a cambiarlo: con 20 m/s a favor en un tiro de 25 m/s, el ángulo óptimo pasa a 47,093°.
$v_0=25:\ \ R(45^\circ)=28.283<R(38.939^\circ)=28.743\ \mathrm{m};\qquad v_0=90:\ \ R(45^\circ)=66.493<R(29.34^\circ)=72.117\ \mathrm{m}$

Cómo leer lo que ves

La curva discontinua representa el mismo lanzamiento en ausencia de aire, la parábola de la página anterior: la separación entre ambas curvas muestra lo que te cuesta el aire. Si ajustas el arrastre a cero, la curva continua se superpone a la discontinua y el alcance integrado coincide con la fórmula en el vacío en todas y cada una de las cifras que imprime la tabla. Toda diferencia que observes al activar el arrastre se debe al aire, no a la aritmética.

Supone: Aire en reposo salvo un viento horizontal constante que sopla a la misma velocidad a cualquier altura, densidad uniforme en todo el ascenso y un coeficiente de resistencia que no varía con la velocidad. Una masa puntual: sin sustentación, sin giro, sin fuerza Magnus, de modo que una bola de golf cortada y un proyectil que deriva quedan ambos fuera de lo que este modelo puede decir.

Problemas resueltos al detalle

¿Resistencia lineal o cuadrática? 4 pasos
Una esfera de diámetro D que se desplaza por el aire a velocidad v experimenta dos tipos de resistencia: la viscosa, 3πηDv (ley de Stokes), y la de presión, ½ρC_d(πD²/4)v². Toma η = 1,8 × 10⁻⁵ Pa·s, ρ = 1,2 kg/m³ y C_d = 0,47. ¿Cuál de las dos predomina en una pelota de béisbol (D = 7,4 cm) a 40 m/s y cuál en una gota de aceite (D = 1,5 µm) a la deriva a 0,10 mm/s?
1. Divide una fuerza entre la otra. Casi todos los factores se simplifican; lo que queda crece con el tamaño y con la velocidad:
  
  $\frac{F_{\mathrm{quad}}}{F_{\mathrm{lin}}}=\frac{\tfrac12\rho C_d\,\tfrac{\pi D^{2}}{4}\,v^{2}}{3\pi\eta Dv}=\frac{\rho C_d}{24\eta}\,Dv$
2. Los datos del aire fijan la constante:
  
  $\frac{\rho C_d}{24\eta}=\frac{1.2\times0.47}{24\times1.8\times10^{-5}}=1305.6\ \mathrm{s/m^{2}}$
3. La pelota de béisbol:
  
  $1305.6\times0.074\times40=3864.4$
4. La gota:
  
  $1305.6\times(1.5\times10^{-6})\times(1.0\times10^{-4})=1.9583\times10^{-7}$
Respuesta

La pelota de béisbol es cuadrática: su resistencia de presión es 3864 veces la viscosa; la gota responde al régimen lineal, con un término cuadrático que es apenas 2,0 × 10⁻⁷ del viscoso. Cualquier objeto que lances con la mano cae en el extremo cuadrático, que es la ley que usa esta página. La ley de Stokes queda para el polvo, la niebla y las gotas de aceite de Millikan.

$\frac{F_{\mathrm{quad}}}{F_{\mathrm{lin}}}=3864\ \ (D=7.4\ \mathrm{cm}),\qquad \frac{F_{\mathrm{quad}}}{F_{\mathrm{lin}}}=2.0\times10^{-7}\ \ (D=1.5\ \mu\mathrm{m})$
Resistencia en el lanzamiento y velocidad terminal 4 pasos
Una pelota de 1,0 kg con constante de resistencia k = 0,030 kg/m se lanza a 25 m/s y 45° sobre la horizontal en aire en calma. Calcula la fuerza de resistencia en el lanzamiento y compárala con el peso de la pelota. ¿Cuál es su velocidad terminal?

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1. En aire en calma, la velocidad respecto al aire es la velocidad misma:
  
  $|\mathbf v_{\mathrm{rel}}|=|\mathbf v|=25\ \mathrm{m/s}\qquad(w=0)$
2. La resistencia cuadrática es k veces el cuadrado de esa velocidad:
  
  $F=k\,|\mathbf v_{\mathrm{rel}}|^{2}=0.030\times25^{2}=18.75\ \mathrm{N}$
3. Compárala con el peso:
  
  $mg=1.0\times9.81=9.81\ \mathrm{N},\qquad \frac{F}{mg}=\frac{18.75}{9.81}=1.9113$
4. La velocidad terminal es aquella en la que la resistencia equilibra el peso:
  
  $k\,v_t^{2}=mg\ \Rightarrow\ v_t=\sqrt{\frac{mg}{k}}=\sqrt{\frac{1.0\times9.81}{0.030}}=18.083\ \mathrm{m/s}$
Respuesta

18,75 N en el lanzamiento, 1,9113 veces el peso; velocidad terminal de 18,083 m/s. La pelota sale de la mano más rápido de lo que jamás podría caer; por eso, hasta que no frene por debajo de 18,083 m/s, el aire empuja con más fuerza que la gravedad.

$F=18.75\ \mathrm{N}=1.9113\,mg,\qquad v_t=18.083\ \mathrm{m/s}$
Contra el viento y a favor 4 pasos
Se realiza el mismo lanzamiento con un viento en contra de 8,0 m/s. Calcula la velocidad de la pelota respecto al aire en el lanzamiento y la fuerza de resistencia que actúa sobre ella. Después, repite el cálculo con el viento a favor.

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1. Componentes respecto al suelo, como antes:
  
  $v_x=25\cos45^\circ=17.678\ \mathrm{m/s},\qquad v_y=25\sin45^\circ=17.678\ \mathrm{m/s}$
2. Con el viento en contra, el aire se mueve a w = −8,0 m/s. Resta la velocidad del aire a la de la pelota:
  
  $\mathbf v_{\mathrm{rel}}=(v_x-w,\ v_y)=(17.678+8.0,\ 17.678)=(25.678,\ 17.678),\qquad |\mathbf v_{\mathrm{rel}}|=31.174\ \mathrm{m/s}$
3. La resistencia crece con el cuadrado de esa velocidad:
  
  $F=k\,|\mathbf v_{\mathrm{rel}}|^{2}=0.030\times31.174^{2}=29.155\ \mathrm{N}$
4. Con el viento a favor, w = +8,0 m/s y la resta se invierte:
  
  $w=+8.0:\quad \mathbf v_{\mathrm{rel}}=(9.6777,\ 17.678),\quad |\mathbf v_{\mathrm{rel}}|=20.153\ \mathrm{m/s},\quad F=12.185\ \mathrm{N}$
Respuesta

Con viento en contra, 31,174 m/s respecto al aire y 29,155 N de resistencia; con viento a favor, 20,153 m/s y 12,185 N. La pelota sale de la mano a 25 m/s en ambos casos. El aire solo nota la diferencia, y la resistencia se duplica con creces entre uno y otro. Pulsa viento a favor para ver el segundo caso.

$|\mathbf v_{\mathrm{rel}}|=31.174\ \mathrm{m/s},\ F=29.155\ \mathrm{N}\ \ (w=-8.0);\qquad |\mathbf v_{\mathrm{rel}}|=20.153\ \mathrm{m/s},\ F=12.185\ \mathrm{N}\ \ (w=+8.0)$
Caída desde 100 m 4 pasos
Dejas caer desde el reposo la misma pelota (m = 1,0 kg, k = 0,030 kg/m) a 100 m del suelo. ¿Con qué velocidad llega al impacto? Compárala con su velocidad límite y con la que alcanzaría en el vacío.

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1. Toma y como la distancia de caída y v como la velocidad hacia abajo. Al escribir la aceleración como v dv/dy, la ecuación pasa a depender de la posición en lugar del tiempo:
  
  $v\frac{dv}{dy}=g-\frac{k}{m}v^{2}=g\left(1-\frac{v^{2}}{v_t^{2}}\right)$
2. Separa las variables e integra partiendo del reposo:
  
  $\int_0^{v}\frac{v\,dv}{1-v^{2}/v_t^{2}}=\int_0^{y}g\,dy\ \Rightarrow\ v^{2}=v_t^{2}\left(1-e^{-2ky/m}\right)$
3. Sustituye los datos numéricos, tomando la velocidad límite de 18,083 m/s del problema 2:
  
  $\frac{2ky}{m}=\frac{2(0.030)(100)}{1.0}=6.0,\qquad v=18.083\sqrt{1-e^{-6.0}}=18.061\ \mathrm{m/s}$
4. Sin resistencia del aire, la misma caída arroja:
  
  $v_{\mathrm{vac}}=\sqrt{2gy}=\sqrt{2(9.81)(100)}=44.294\ \mathrm{m/s}$
Respuesta

18,061 m/s: un 99,88 % de la velocidad límite y un 41 % de los 44,294 m/s que daría el vacío. La página integra esta misma caída sin recurrir a la fórmula y llega exactamente a esos 18,061 m/s tras 6,8066 s.

$v=18.061\ \mathrm{m/s}=0.9988\,v_t=0.41\,v_{\mathrm{vac}}$
Lanzamiento vertical hacia arriba 4 pasos
Lanzas la misma pelota verticalmente hacia arriba a 25 m/s. ¿Qué altura alcanza y cuánto tarda en subir? ¿A qué velocidad regresa al suelo, y la bajada resulta más rápida o más lenta que la subida?

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1. Durante la subida, tanto la resistencia como la gravedad tiran hacia abajo. Con v dv/dy de nuevo, el ascenso culmina en:
  
  $v\frac{dv}{dy}=-g\left(1+\frac{v^{2}}{v_t^{2}}\right)\ \Rightarrow\ H=\frac{v_t^{2}}{2g}\ln\!\left(1+\frac{v_0^{2}}{v_t^{2}}\right)=\frac{327}{19.62}\ln\!\left(1+\frac{625}{327}\right)=17.810\ \mathrm{m}$
2. El tiempo lo obtienes en cambio a partir de dv/dt = −g(1 + v²/v_t²):
  
  $t_{\mathrm{up}}=\frac{v_t}{g}\arctan\frac{v_0}{v_t}=\frac{18.083}{9.81}\arctan\frac{25}{18.083}=1.7412\ \mathrm{s}$
3. La bajada equivale al problema 4 desde una altura de 17,810 m. Como e^−2kH/m = (1 + v₀²/v_t²)⁻¹, la velocidad de llegada se simplifica:
  
  $v_{\mathrm{back}}^{2}=v_t^{2}\left(1-e^{-2kH/m}\right)\ \Rightarrow\ v_{\mathrm{back}}=\frac{v_0v_t}{\sqrt{v_0^{2}+v_t^{2}}}=\frac{25\times18.083}{\sqrt{625+327}}=14.652\ \mathrm{m/s}$
4. Y el tiempo de descenso, a partir de dv/dt = g(1 − v²/v_t²):
  
  $t_{\mathrm{down}}=\frac{v_t}{g}\operatorname{artanh}\frac{v_{\mathrm{back}}}{v_t}=\frac{18.083}{9.81}\operatorname{artanh}\frac{14.652}{18.083}=2.0789\ \mathrm{s}$
Respuesta

Sube 17,810 m en 1,7412 s y toca el suelo a 14,652 m/s tras otros 2,0789 s de caída. Regresa más despacio de lo que partió y tarda más en descender porque en la subida la resistencia sumaba fuerzas con la gravedad, mientras que en la bajada tiró en sentido contrario. En el vacío alcanzaría 31,855 m y regresaría a 25 m/s. La página muestra el tiempo total: 3,8201 s.

$H=17.810\ \mathrm{m},\quad t_{\mathrm{up}}=1.7412\ \mathrm{s},\quad v_{\mathrm{back}}=14.652\ \mathrm{m/s},\quad t_{\mathrm{down}}=2.0789\ \mathrm{s}$
Por qué los 63,71 m del vacío se quedan en 28,283 m 5 pasos
25 m/s a 45°, una pelota de 1,0 kg con k = 0,030 kg/m. La fórmula en el vacío da 63,71 m. Deduce por qué el resultado real se reduce a 28,283 m y por qué la altura se conserva mucho mejor que el alcance.

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1. Comience por la respuesta que el aire va a estropear. Ambas fórmulas para el vacío son exactas, ocupan una sola línea y constituyen la única base analítica de este problema.
  
  $R_0=\frac{v_0^{2}\sin2\theta}{g}=\frac{25^{2}\sin90^{\circ}}{9.81}=63.71\ \mathrm{m},\qquad y_{0,\max}=\frac{v_0^{2}\sin^{2}\theta}{2g}=15.928\ \mathrm{m}$
2. Escribe ahora la ecuación real. El término de rozamiento apunta en sentido opuesto a la velocidad, de modo que su componente horizontal depende de la velocidad vertical y al revés: ambos ejes pierden su independencia y la parábola deja de existir.
  
  $\frac{d\mathbf v}{dt}=-g\,\hat{\mathbf y}-\frac{k}{m}\,|\mathbf v|\,\mathbf v$
3. Lea del panel las dos pérdidas expresadas como fracciones. Son distintas, y esa diferencia es lo que vale la pena explicar.
  
  $R=28.283\ \mathrm{m}=0.4439\,R_0,\qquad y_{\max}=9.643\ \mathrm{m}=0.6054\,y_{0,\max}$
4. La velocidad límite es aquella en la que la resistencia equilibra el peso. Compararla con la velocidad de lanzamiento te dice qué fuerza domina al principio.
  
  $v_t=\sqrt{\frac{mg}{k}}=\sqrt{\frac{1.0\times9.81}{0.030}}=18.083\ \mathrm{m/s}<v_0=25\ \mathrm{m/s}$
5. La escala de longitud m/k representa la distancia en la que el aire sustrae una fracción sustancial de la velocidad. Compárala con el alcance que esperabas.
  
  $\ell=\frac{m}{k}=\frac{1.0}{0.030}=33.3\ \mathrm{m}\approx\tfrac12R_0$
Respuesta

Porque la resistencia impone una escala de longitud de 33 m, y el tiro aspiraba a 64 m de alcance frente a apenas 16 m de altura. El alcance conserva un 44 % de su valor en el vacío y la altura máxima un 61 %. Dos datos confirman que la resistencia no es aquí una corrección pequeña. La velocidad límite es de 18,083 m/s, inferior a los 25 m/s de salida: la pelota empieza perdiendo más contra el aire que contra la gravedad. Además, m/k = 33,3 m supone solo la mitad del alcance en el vacío, cuando una perturbación menor requeriría que fuese varias veces mayor. No hay fórmula cerrada a la que recurrir. La resistencia acopla ambos ejes, y por esa razón la página integra en vez de limitarse a sustituir.

$\frac{R}{R_0}=0.44,\qquad \frac{y_{\max}}{y_{0,\max}}=0.61$

Problemas complementarios, solo con la respuesta

Una pelota de béisbol de 0,145 kg de masa tiene una constante de resistencia k = 1,3 × 10⁻³ kg/m. ¿Cuál es su velocidad límite?

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33,08 m/s.

$v_t=\sqrt{\frac{0.145\times9.81}{1.3\times10^{-3}}}=33.08\ \mathrm{m/s}$
Una bala y una pelota tienen el mismo tamaño, conque k = 0,030 kg/m para ambas; sin embargo, la bala tiene una masa de 3,0 kg y la pelota de 1,0 kg. ¿Qué constante de resistencia necesitaría la pelota para volar exactamente igual que la bala?

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0,010 kg/m: en el movimiento solo interviene k/m.

$\frac{k}{m}=\frac{0.030}{3.0}=0.010\ \mathrm{m^{-1}}\ \Rightarrow\ k=0.010\ \mathrm{kg/m}\ \ (m=1.0\ \mathrm{kg})$
Sueltas desde el reposo la pelota de 1,0 kg con k = 0,030 kg/m. ¿Qué distancia ha recorrido cuando alcanza el 90 % de su velocidad límite?

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27,68 m.

$y=-\frac{m}{2k}\ln\!\left(1-0.90^{2}\right)=-\frac{1.0}{0.060}\ln0.19=27.68\ \mathrm{m}$
Lanzas una pelota con k/m = 0,010 m⁻¹ verticalmente hacia arriba a 40 m/s. ¿Qué altura alcanza y a qué velocidad llega de vuelta?

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48,37 m, y regresa a 24,66 m/s.

$v_t^{2}=\frac{9.81}{0.010}=981,\quad H=\frac{981}{19.62}\ln\!\left(1+\frac{1600}{981}\right)=48.37\ \mathrm{m},\quad v_{\mathrm{back}}=\frac{40\times31.32}{\sqrt{1600+981}}=24.66\ \mathrm{m/s}$
Una pelota con k/m = 0,030 m⁻¹ cae a través de un viento constante de 5,0 m/s. Si desciende durante suficiente tiempo, ¿a qué velocidad respecto al suelo tiende a estabilizarse?

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18,76 m/s, a 74,54° por debajo de la horizontal: 5,0 m/s a favor del viento y 18,08 m/s hacia abajo.

$\mathbf v\to(w,\,-v_t)=(5.0,\,-18.08)\ \mathrm{m/s},\qquad |\mathbf v|=18.76\ \mathrm{m/s},\quad \varphi=74.54^\circ$

Por qué la bajada es más empinada y más lenta

Durante la subida, el arrastre y la gravedad tiran hacia abajo y frenan el ascenso al unísono. Al bajar se contrarrestan, de modo que la pelota desciende más despacio de lo que subió y tarda más en completar el tramo: en el lanzamiento inicial, la subida dura 1,2702 s y la bajada, 1,5141 s. Entre tanto, el aire no deja de mermar la velocidad horizontal, por lo que la segunda mitad del vuelo cubre menos terreno que la primera. El punto más alto se sitúa a los 16,259 m dentro de un vuelo de 28,283 m, rebasado el punto medio, y la pelota toma tierra a 62,324° tras haber salido a 45°. La parábola en el vacío es simétrica respecto a su vértice porque a sus ecuaciones les da igual que el tiempo avance o retroceda. El arrastre es el término que sabe hacia dónde corre el tiempo.

Cuenta el aire, no el suelo

El arrastre depende de la velocidad relativa al aire, v − w, por lo que no frena la pelota hasta dejarla en reposo: la empuja a desplazarse con el aire. Con tiempo suficiente, cualquier objeto sometido a un viento constante terminará derivando a favor del viento a su misma velocidad mientras cae a su velocidad terminal. Pulsa viento en contra: una corriente contraria de 8 m/s anula todo el avance antes de tocar tierra, y la pelota baja a 92,328° bajo la horizontal, vencida hacia quien la lanzó.

Por qué los hoyuelos hacen volar más lejos

Aumentar la rugosidad de una pelota puede reducir su resistencia. Los hoyuelos de una bola de golf perturban el aire pegado a la superficie hasta formar una fina capa turbulenta, que permanece adherida más atrás antes de desprenderse y deja así una estela de baja presión más estrecha. El coeficiente de arrastre de una esfera se desploma en cuanto el flujo es lo bastante rápido como para lograrlo por sí mismo (la crisis de arrastre), y los hoyuelos trasladan esa caída a las velocidades propias de un drive. En esta página k se mantiene constante para cualquier velocidad, de modo que esa crisis es justo lo que aquí no verás.

Ruta de aprendizaje

Lanzar objetos

Referencias (2)

The lesson — why the coupled equations admit no elementary range formula, and how the optimum angle moves: G. W. Parker, "Projectile motion with air resistance quadratic in the speed." American Journal of Physics 45(7), 606–610, 1977.
Insight block 3 — why roughening a ball reduces its drag: P. W. Bearman and J. K. Harvey, "Golf Ball Aerodynamics." Aeronautical Quarterly 27(2), 112–122, 1976 — wind-tunnel measurements of dimpled against smooth spheres.

Por el equipo de 7 Raven Room · Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones.