Champs de tiges, d’anneaux et de disques chargés

Découpez un objet chargé en éléments assez petits pour les assimiler à des charges ponctuelles, puis additionnez leurs champs vectoriellement. Lorsque la taille des éléments tend vers zéro, cette somme devient une intégrale. La symétrie simplifie beaucoup le calcul : à chaque élément correspond un élément symétrique dont le champ compense sa composante transversale. Il ne reste alors qu’une composante à intégrer. Choisissez une forme, déplacez P et réglez le nombre d’éléments utilisés dans la somme.

Additionnez les champs élémentaires comme des vecteurs	$\vec E=k\int\frac{dq}{r^{2}}\,\hat r,\qquad k=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}$
Ou additionnez les potentiels comme des scalaires, puis dérivez	$V=k\int\frac{dq}{r},\qquad E_z=-\frac{\partial V}{\partial z}$

Exemple résolu — Champs de tiges, d’anneaux et de disques chargés

Charge par mètre	1,592×10⁻⁸ C/m
Champ en P par intégration	3 178 N/C
Champ de 12 charges ponctuelles	3 178 N/C
Potentiel en P	635,5 V
Champ déduit du potentiel, −dV/dz	3 178 N/C
Toute la charge Q au centre	8 988 N/C

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

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Leçon

La théorie — Champs de tiges, d’anneaux et de disques chargés

Le champ d’une distribution continue de charge est la somme vectorielle des champs de ses éléments, à la limite où chaque élément dq peut être assimilé à une charge ponctuelle : E = k∫dq r̂/r², avec k = 1/(4πε₀) = 8,988 × 10⁹ N·m²/C². Le potentiel s’obtient par une somme scalaire : V = k∫dq/r.

Ce que signifie chaque symbole

dq: la charge d’un élément : λ dx sur une ligne, σ dA sur une surface
λ, σ: les densités linéique et surfacique de charge ; Q/L et Q/(πR²) pour une répartition uniforme
r, θ: la distance de l’élément à P et l’angle entre cette direction et l’axe

D’où vient la formule

Découpez la distribution de charge en éléments. Chaque élément porte une charge dq et crée en P le champ d’une charge ponctuelle : k dq/r², suivant la droite qui relie l’élément à P.
$dq=\lambda\,dx,\qquad dE=\frac{k\,dq}{r^{2}}$
Associez chaque élément à son symétrique. De l’autre côté de l’axe, l’élément symétrique crée un champ de même norme, dont la composante transversale est opposée. Ces composantes se compensent. Seule la composante axiale, dE cos θ = dE·z/r, reste à sommer.
$dE_z=dE\cos\theta=\frac{k\,dq}{r^{2}}\cdot\frac{z}{r}$
Intégrez cette composante. Sur un anneau, tous les éléments sont à la même distance √(z² + R²) de P. Le facteur qui multiplie dq est donc constant, et l’intégrale vaut ce facteur multiplié par Q.
$E=\int\frac{kz\,dq}{\left(z^{2}+R^{2}\right)^{3/2}}=\frac{kQz}{\left(z^{2}+R^{2}\right)^{3/2}}$
Décomposez le disque en anneaux. Un anneau de rayon r et de largeur dr porte dq = σ·2πr dr. Additionnez les champs de ces anneaux, calculés à l’étape 3, pour r allant de 0 à R.
$E=\int_{0}^{R}\frac{kz\,\sigma\,2\pi r\,dr}{\left(z^{2}+r^{2}\right)^{3/2}}=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\Bigl(1-\frac{z}{\sqrt{z^{2}+R^{2}}}\Bigr)$
Vous pouvez aussi intégrer le potentiel, puis le dériver. Le potentiel V est une somme scalaire : aucune décomposition en composantes n’est nécessaire. Le champ suivant l’axe est l’opposé de la dérivée de V par rapport à la coordonnée axiale.
$V=k\int\frac{dq}{r}=\frac{kQ}{\sqrt{z^{2}+R^{2}}},\qquad E_z=-\frac{dV}{dz}=\frac{kQz}{\left(z^{2}+R^{2}\right)^{3/2}}$

Suppose: Les charges sont fixes et uniformément réparties, sauf si l’énoncé donne λ ou σ en fonction de la position. Dans ce cas, cette fonction intervient dans dq, puis dans l’intégrale. Le milieu est le vide, ou l’air, dont la permittivité est supérieure de 0,06 %.

Problèmes entièrement résolus

Une tige, dans son prolongement 3 étapes
Une tige de 10 cm porte une charge de 10 nC uniformément répartie. Calculez le champ dans son prolongement, à 5 cm de l’une de ses extrémités.

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1. Placez la tige sur l’axe des x, de x = 0 à x = L, et P en x = L + d. L’élément de longueur dx situé en x se trouve à la distance L + d − x de P. Tous les champs élémentaires ont la même direction et le même sens, suivant la tige. Ils s’additionnent donc directement :
  
  $dE=\frac{k\lambda\,dx}{(L+d-x)^{2}},\qquad\lambda=\frac{Q}{L}=1{.}0\times10^{-7}\ \mathrm{C/m}$
2. Intégrez sur la longueur de la tige :
  
  $E=k\lambda\int_{0}^{L}\frac{dx}{(L+d-x)^{2}}=k\lambda\Bigl(\frac{1}{d}-\frac{1}{d+L}\Bigr)=\frac{kQ}{d\,(d+L)}$
3. Avec d = 0,05 m et L = 0,10 m :
  
  $E=\frac{(8{.}988\times10^{9})(1{.}0\times10^{-8})}{(0{.}05)(0{.}15)}=1{.}198\times10^{4}\ \mathrm{N/C}$
Réponse

1,198 × 10⁴ N/C, suivant la droite portant la tige, en s’éloignant de celle-ci. Lorsque d est très grand devant L, l’expression se ramène à kQ/d², le champ d’une charge ponctuelle.

$E=\frac{kQ}{d\,(d+L)}\approx1{.}198\times10^{4}\ \mathrm{N/C}$
Une tige sur sa médiatrice, puis un fil infini 4 étapes
Une tige de 20 cm porte une charge de 10 nC. Calculez le champ sur sa médiatrice, à 10 cm de son milieu, puis comparez-le à celui d’un fil rectiligne infini de même charge par mètre.

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1. Placez la tige sur l’axe des x, de −L/2 à L/2, et P en (0 ; y). Les éléments situés en x et −x sont à la même distance de P. Les composantes de leurs champs suivant x se compensent, celles suivant y s’ajoutent. Intégrez donc la composante suivant y :
  
  $dE_y=\frac{k\lambda\,dx}{x^{2}+y^{2}}\cdot\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}$
2. Intégrez en utilisant ∫dx/(x² + y²)^(3/2) = x/(y²√(x² + y²)) :
  
  $E=k\lambda y\int_{-L/2}^{L/2}\frac{dx}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{3/2}}=\frac{k\lambda L}{y\sqrt{y^{2}+L^{2}/4}}=\frac{kQ}{y\sqrt{y^{2}+L^{2}/4}}$
3. Avec λ = 5,0 × 10⁻⁸ C/m, y = 0,10 m et L = 0,20 m :
  
  $E=\frac{(8{.}988\times10^{9})(1{.}0\times10^{-8})}{(0{.}10)\sqrt{0{.}10^{2}+0{.}10^{2}}}\approx6355\ \mathrm{N/C}$
4. Faites tendre L vers l’infini : la racine carrée est alors équivalente à L/2, d’où
  
  $E\to\frac{2k\lambda}{y}=\frac{2\,(8{.}988\times10^{9})(5{.}0\times10^{-8})}{0{.}10}\approx8988\ \mathrm{N/C}$
Réponse

6 355 N/C, perpendiculairement à la tige. Le fil infini donne 8 988 N/C. Le champ de la tige finie en représente donc 70,7 %, soit sin 45° : chaque moitié de la tige est vue sous un angle de 45° par rapport à la perpendiculaire.

$E\approx6355\ \mathrm{N/C}=0{.}707\cdot\frac{2k\lambda}{y}$
Le champ d’un anneau sur son axe et son maximum 4 étapes
Un anneau de rayon 10 cm porte une charge de 10 nC. Calculez le champ sur son axe à 10 cm du centre, puis déterminez à quelle distance le champ axial est maximal.

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1. Tous les éléments sont à la même distance √(z² + R²) de P. Leurs composantes transversales se compensent autour de l’anneau, et chaque élément apporte dE·z/r suivant l’axe :
  
  $E=\int\frac{k\,dq}{r^{2}}\cdot\frac{z}{r}=\frac{kz}{\left(z^{2}+R^{2}\right)^{3/2}}\int dq=\frac{kQz}{\left(z^{2}+R^{2}\right)^{3/2}}$
2. Pour z = R = 0,10 m :
  
  $E=\frac{(8{.}988\times10^{9})(1{.}0\times10^{-8})(0{.}10)}{(0{.}02)^{3/2}}\approx3178\ \mathrm{N/C}$
3. Pour déterminer le maximum, posez dE/dz = 0 :
  
  $\frac{dE}{dz}=kQ\,\frac{\left(z^{2}+R^{2}\right)-3z^{2}}{\left(z^{2}+R^{2}\right)^{5/2}}=0\ \Rightarrow\ z=\frac{R}{\sqrt{2}}\approx7{.}07\ \mathrm{cm}$
4. À cette distance :
  
  $E_{\max}=\frac{kQ\,(R/\sqrt{2})}{\left(\tfrac{3}{2}R^{2}\right)^{3/2}}=\frac{2kQ}{3\sqrt{3}\,R^{2}}\approx3459\ \mathrm{N/C}$
Réponse

3 178 N/C à 10 cm ; le maximum vaut 3 459 N/C, à z = 7,07 cm. Au centre, le champ est nul.

$E(0{.}10\ \mathrm{m})\approx3178\ \mathrm{N/C},\qquad E\Bigl(\frac{R}{\sqrt{2}}\Bigr)=E_{\max}\approx3459\ \mathrm{N/C}$
Un disque décomposé en anneaux : champ sur l’axe 3 étapes
Un disque de rayon 10 cm porte une charge de 10 nC uniformément répartie sur sa surface. Calculez le champ sur son axe à 1 cm du centre, puis comparez-le à celui d’un plan infini de même charge par mètre carré.

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1. σ = Q/(πR²) = 3,183 × 10⁻⁷ C/m². Découpez le disque en anneaux de rayon r et de largeur dr. Chacun porte dq = σ·2πr dr et crée sur l’axe le champ d’un anneau :
  
  $dE=\frac{kz\,\sigma\,2\pi r\,dr}{\left(z^{2}+r^{2}\right)^{3/2}}$
2. Intégrez de r = 0 à R, avec le changement de variable u = z² + r², du = 2r dr :
  
  $E=\pi k\sigma z\int_{z^{2}}^{z^{2}+R^{2}}u^{-3/2}\,du=2\pi k\sigma\Bigl(1-\frac{z}{\sqrt{z^{2}+R^{2}}}\Bigr)=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\Bigl(1-\frac{z}{\sqrt{z^{2}+R^{2}}}\Bigr)$
3. Pour z = 0,01 m :
  
  $E=\frac{3{.}183\times10^{-7}}{2\,(8{.}854\times10^{-12})}\Bigl(1-\frac{0{.}01}{\sqrt{0{.}01^{2}+0{.}10^{2}}}\Bigr)=(1{.}798\times10^{4})(0{.}9005)\approx1{.}619\times10^{4}\ \mathrm{N/C}$
Réponse

1,619 × 10⁴ N/C, soit 90,0 % du champ du plan infini, σ/2ε₀ = 1,798 × 10⁴ N/C.

$E\approx1{.}619\times10^{4}\ \mathrm{N/C}\approx0{.}900\cdot\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}$
Un demi-cercle, en son centre 3 étapes
Une tige mince courbée en demi-cercle de rayon 10 cm porte une charge de 10 nC. Calculez le champ au centre du cercle.

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1. λ = Q/(πR) = 3,183 × 10⁻⁸ C/m. Mesurez l’angle φ à partir du diamètre. L’élément situé à l’angle φ porte λR dφ et se trouve à la distance R. Son symétrique à l’angle π − φ compense la composante du champ parallèle au diamètre. Il reste la composante perpendiculaire :
  
  $dE_\perp=\frac{k\lambda R\,d\varphi}{R^{2}}\sin\varphi$
2. Intégrez sur le demi-cercle :
  
  $E=\frac{k\lambda}{R}\int_{0}^{\pi}\sin\varphi\,d\varphi=\frac{2k\lambda}{R}=\frac{2kQ}{\pi R^{2}}$
3. Application numérique :
  
  $E=\frac{2\,(8{.}988\times10^{9})(1{.}0\times10^{-8})}{\pi\,(0{.}10)^{2}}\approx5722\ \mathrm{N/C}$
Réponse

5 722 N/C, suivant l’axe de symétrie, en s’éloignant du milieu de l’arc. Un fil rectiligne infini de même λ, situé à la distance R, donne 2kλ/R, soit la même valeur.

$E=\frac{2k\lambda}{R}\approx5722\ \mathrm{N/C}$
Un quart de cercle : calcul des composantes 3 étapes
Un quart de cercle de rayon 10 cm porte une charge de 10 nC. Calculez le champ en son centre en intégrant ses deux composantes.

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1. Placez le centre de l’arc à l’origine et faites varier φ de 0 à π/2 ; λ = Q/(πR/2) = 6,366 × 10⁻⁸ C/m. L’élément situé à l’angle φ crée en P un champ dirigé suivant −(cos φ ; sin φ), en s’éloignant de l’élément. Ici, aucune des composantes ne se compense par symétrie :
  
  $dE_x=-\frac{k\lambda}{R}\cos\varphi\,d\varphi,\qquad dE_y=-\frac{k\lambda}{R}\sin\varphi\,d\varphi$
2. Intégrez de 0 à π/2 :
  
  $E_x=E_y=-\frac{k\lambda}{R}=-\frac{(8{.}988\times10^{9})(6{.}366\times10^{-8})}{0{.}10}\approx-5722\ \mathrm{N/C}$
3. Déduisez la norme du champ de ses deux composantes :
  
  $|E|=\sqrt{2}\,\frac{k\lambda}{R}\approx8092\ \mathrm{N/C}$
Réponse

8 092 N/C, en s’éloignant de l’arc, suivant sa bissectrice à 45°. Le calcul par symétrie donne le même résultat : E = (2kλ/R) sin(θ₀/2) avec θ₀ = 90°.

$|E|=\sqrt{2}\,\frac{k\lambda}{R}=\frac{2k\lambda}{R}\sin45^{\circ}\approx8092\ \mathrm{N/C}$
Le potentiel d’un anneau et le champ qui s’en déduit 2 étapes
Calculez le potentiel sur l’axe de l’anneau du problème 3 à z = 10 cm, puis déduisez-en le champ.

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1. Les potentiels s’additionnent comme des scalaires, et tous les éléments sont à la même distance de P :
  
  $V=\int\frac{k\,dq}{\sqrt{z^{2}+R^{2}}}=\frac{kQ}{\sqrt{z^{2}+R^{2}}}=\frac{89{.}88}{\sqrt{0{.}02}}\approx635{.}5\ \mathrm{V}$
2. Dérivez par rapport à la coordonnée axiale :
  
  $E_z=-\frac{dV}{dz}=\frac{kQz}{\left(z^{2}+R^{2}\right)^{3/2}}\approx3178\ \mathrm{N/C}$
Réponse

V = 635,5 V. Avec −dV/dz, vous retrouvez les 3 178 N/C du problème 3, sans décomposition en composantes.

$V\approx635{.}5\ \mathrm{V},\qquad E_z=-\frac{dV}{dz}\approx3178\ \mathrm{N/C}$
Une tige dont la charge est répartie de façon non uniforme 4 étapes
Une tige est placée sur l’axe des x, de x = 0 à x = 0,50 m. Sa densité linéique de charge vaut λ = αx, avec α = 4,0 × 10⁻⁸ C/m². Calculez sa charge totale et le champ en x = −0,10 m.
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1. Puisque λ varie le long de la tige, la charge totale se calcule elle aussi par une intégrale :
  
  $Q=\int_{0}^{L}\alpha x\,dx=\frac{\alpha L^{2}}{2}=\frac{(4{.}0\times10^{-8})(0{.}50)^{2}}{2}=5{.}0\times10^{-9}\ \mathrm{C}$
2. L’élément situé en x se trouve à la distance x + d de P, avec d = 0,10 m. Tous les champs élémentaires sont dirigés suivant −x :
  
  $E=k\alpha\int_{0}^{L}\frac{x\,dx}{(x+d)^{2}}$
3. Écrivez x sous la forme (x + d) − d et intégrez chaque terme :
  
  $\int_{0}^{L}\frac{x\,dx}{(x+d)^{2}}=\ln\frac{L+d}{d}-\frac{L}{L+d}=\ln6-\frac{5}{6}\approx0{.}9584$
4. Application numérique :
  
  $E=(8{.}988\times10^{9})(4{.}0\times10^{-8})(0{.}9584)\approx344{.}6\ \mathrm{N/C}$
Réponse

Q = 5,0 nC et E = 344,6 N/C, suivant −x. La même charge de 5,0 nC uniformément répartie donnerait kQ/(d(d + L)) = 749 N/C. Ici, la charge se concentre davantage vers l’extrémité éloignée de P.

$Q=5{.}0\ \mathrm{nC},\qquad E\approx344{.}6\ \mathrm{N/C}$

Exercices supplémentaires, réponses seules

Une tige de 30 cm porte une charge de −6,0 nC uniformément répartie. Calculez le champ dans son prolongement, à 10 cm de l’une de ses extrémités.

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1 348 N/C, dirigé vers la tige.

$E=\frac{k|Q|}{d\,(d+L)}\approx1348\ \mathrm{N/C}$
Un fil rectiligne très long porte une charge de 2,0 μC par mètre. Calculez le champ à 4,0 cm du fil.

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8,988 × 10⁵ N/C, en s’éloignant du fil.

$E=\frac{2k\lambda}{r}\approx8{.}988\times10^{5}\ \mathrm{N/C}$
Montrez que le champ axial d’un anneau tend vers kQ/z² lorsque z est très grand devant R. Déterminez à partir de quelle distance l’écart relatif à cette valeur est inférieur à 1 %.

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Le rapport vaut (1 + R²/z²)^(−3/2) et tend vers 1 ; il atteint 0,99 à z = 12,2R.

$\frac{E}{kQ/z^{2}}=\Bigl(1+\frac{R^{2}}{z^{2}}\Bigr)^{-3/2}\ge0{.}99\ \Leftrightarrow\ z\ge12{.}2R$
Un disque de rayon 5,0 cm porte une densité surfacique de charge σ = 2,0 μC/m². Calculez le potentiel en son centre et à 5,0 cm du centre sur son axe.

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5 647 V au centre et 2 339 V à z = 5,0 cm.

$V(0)=\frac{\sigma R}{2\varepsilon_0}\approx5647\ \mathrm{V},\qquad V(R)=\frac{\sigma R}{2\varepsilon_0}\bigl(\sqrt{2}-1\bigr)\approx2339\ \mathrm{V}$
Un anneau de rayon R porte une charge +Q uniformément répartie sur une moitié et −Q sur l’autre. Calculez le champ en son centre.

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4kQ/(πR²), de la moitié positive vers la moitié négative : chaque moitié crée un champ de 2kQ/(πR²), et les deux champs ont le même sens.

$E=2\cdot\frac{2kQ}{\pi R^{2}}=\frac{4kQ}{\pi R^{2}}$
Une tige de longueur L porte une charge Q uniformément répartie. Calculez le potentiel sur sa médiatrice, à une distance y de la tige.

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V = (2kQ/L) ln[(L/2 + √(y² + L²/4))/y].

$V=\frac{2kQ}{L}\ln\frac{L/2+\sqrt{y^{2}+L^{2}/4}}{y}$

Le champ d’un anneau est maximal à z = R/√2 et nul au centre

Cliquez sur Maximum de l’anneau. Au centre, les champs des éléments diamétralement opposés se compensent : le champ total est exactement nul. Loin sur l’axe, l’anneau se comporte comme une charge ponctuelle et le champ décroît en 1/z². Entre les deux, il passe par un maximum. Pour le trouver, imposez dE/dz = 0 à l’expression kQz/(z² + R²)^(3/2). Vous obtenez z² + R² = 3z², d’où z = R/√2 ≈ 0,707R et E = 2kQ/(3√3 R²). Pour un anneau de rayon 10 cm portant 10 nC, ce maximum vaut 3 459 N/C, soit seulement 38,5 % du champ que créerait la même charge ponctuelle à 10 cm. Près de l’anneau, les champs élémentaires sont surtout transversaux, et ces composantes se compensent.

Près d’un grand disque chargé, le champ varie peu avec la distance

Cliquez sur Près d’un disque. À 1 cm au-dessus d’un disque de rayon 10 cm, le champ atteint 90,0 % de σ/2ε₀, le champ d’un plan infini. À 1 mm, il en atteint 99,0 %. Pour comprendre ce résultat, écrivez 1 − z/√(z² + R²) sous la forme 1 − cos α, où α est l’angle entre l’axe et la droite joignant P au bord du disque. Le champ devient E = kσΩ, avec Ω = 2π(1 − cos α), l’angle solide sous lequel P voit le disque. Pour une surface plane uniformément chargée, la composante normale du champ dépend uniquement de la portion du ciel qu’occupe la charge. Un plan infini en occupe toujours la moitié, Ω = 2π. Son champ est donc le même à 1 mm et à 1 km : chaque élément contribue moins à mesure que la distance augmente, mais une surface plus étendue contribue sous des angles favorables, ce qui compense exactement cette diminution.

Un demi-cercle et un fil rectiligne infini créent le même champ

Cliquez sur Centre d’un demi-cercle. Une charge de 10 nC répartie sur un demi-cercle de rayon 10 cm crée un champ de 5 722 N/C au centre. Le tableau indique aussi 5 722 N/C pour un fil rectiligne infini de même charge par mètre, situé à 10 cm. Cette égalité se vérifie élément par élément. Considérez un élément dx du fil, vu depuis P dans une direction faisant un angle θ avec la perpendiculaire au fil. Il se trouve à la distance R/cos θ et est vu sous l’angle dθ = cos²θ dx/R. Son champ, kλ dx cos²θ/R², s’écrit donc kλ dθ/R : il ne dépend que de l’angle. L’élément d’arc vu sous le même angle dθ a pour longueur R dθ, se trouve à la distance R et crée le même champ kλ dθ/R, dans la même direction. Une tige rectiligne et un arc de rayon R vus sous les mêmes angles créent donc des champs égaux. Réglez θ₀ à une valeur inférieure à 180° : la dernière ligne du tableau correspond à cette tige.

Parcours

D’où viennent les champs

Références (3)

The method and four of the page's closed forms, each derived there: the line segment above its midpoint and the infinite line as its limit (Examples 5.5, 5.6), the ring on its axis (5.7), the disk on its axis and the infinite plane σ/(2ε₀) (5.8, Eq. 5.15): S. J. Ling, J. Sanny and W. Moebs, University Physics Volume 2, OpenStax (2016), section 5.5, “Calculating Electric Fields of Charge Distributions”.
The potentials on the axis of a ring and a disk and on the bisector of a finite line (Examples 7.13–7.15), and the ring's field recovered as E_z = −∂V/∂z (Example 7.18): S. J. Ling, J. Sanny and W. Moebs, University Physics Volume 2, OpenStax (2016), sections 7.3, “Calculations of Electric Potential”, and 7.4, “Determining Field from Potential”.
The standard graduate-entry text in which the field of a continuous distribution is written as the integral of k dq r̂/r²: D. J. Griffiths, Introduction to Electrodynamics, 4th ed., Cambridge University Press (2017). DOI 10.1017/9781108333511

Par l’équipe 7 Raven Room · Vérifié sur des sources publiées. Corrections bienvenues.