Le problème de Monty Hall

Une voiture et quelques chèvres derrière des portes fermées. Choisissez une porte, laissez l'animateur en ouvrir d'autres et décidez si vous souhaitez changer. Cette page calcule la probabilité derrière chaque porte à partir de la règle de l'animateur et de son action. Elle simule des milliers de parties pour la vérifier, ou vous permet de jouer vous-même. Le tableau ci-dessous détaille le calcul.

Formule de Bayes : l'action de l'animateur comme indice	$P(C_i\mid H)=\frac{P(H\mid C_i)\,P(C_i)}{\sum_j P(H\mid C_j)\,P(C_j)}$
L'animateur averti qui ouvre au hasard k portes à chèvre	$\begin{aligned}P(C_{d_0}\mid H)&=\frac{1}{n}\\P(C_d\mid H)&=\frac{n-1}{n\,(n-1-k)}\end{aligned}$

Exemple résolu — Le problème de Monty Hall

A priori, par porte	1/3
Vraisemblance, Porte 1 · votre choix	1/2
Vraisemblance, Porte 2 · fermée	1
Vraisemblance, Porte 3 · ouverte	0 · chèvre révélée
Probabilité totale	1/2
A posteriori, Porte 1 · votre choix	1/3
A posteriori, Porte 2 · fermée	2/3
A posteriori, Porte 3 · ouverte	0

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

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Leçon

La théorie — Le problème de Monty Hall

La probabilité que la voiture se trouve derrière une porte donnée, une fois l'animateur intervenu, découle de la formule de Bayes : la probabilité a priori de cette porte, 1 ÷ n, multipliée par la vraisemblance qu'il agisse précisément ainsi si la voiture s'y trouvait, le tout divisé par la probabilité totale de son action.

Ce que signifie chaque symbole

n: le nombre de portes
k: le nombre de portes que l'animateur ouvre
P(H | C_i): la vraisemblance : la probabilité que l'animateur accomplisse cette action si la voiture est derrière la porte i
P(C_i | H): la probabilité a posteriori : la probabilité que la voiture soit derrière la porte i après avoir observé l'action de l'animateur

D’où vient la formule

Nommez les hypothèses et attribuez à chacune sa probabilité a priori. C_i désigne la présence de la voiture derrière la porte i ; avant l'intervention de l'animateur, toutes les portes sont équiprobables.
$P(C_i)=\frac{1}{n},\qquad i=1,\dots,n$
Exprimez la vraisemblance de l'action H de l'animateur sous chaque hypothèse. C'est ici seulement qu'intervient sa règle de conduite. Pour l'animateur averti qui ouvre au hasard k portes masquant une chèvre parmi celles qu'il peut révéler, en notant d₀ votre porte et O l'ensemble des portes ouvertes :
$\begin{aligned}P(H\mid C_{d_0})&=\frac{1}{\binom{n-1}{k}}\\P(H\mid C_d)&=\frac{1}{\binom{n-2}{k}},\quad d\notin O\\P(H\mid C_d)&=0,\quad d\in O\end{aligned}$
Calculez la probabilité totale de l'action observée.
$P(H)=\sum_{j=1}^{n}P(C_j)\,P(H\mid C_j)$
Divisez chaque produit a priori × vraisemblance par cette probabilité totale. Pour l'animateur averti, votre porte conserve 1/n quelles que soient les portes ouvertes, tandis que chacune des m = n − 1 − k autres portes fermées reçoit (n − 1)/(nm).
$\begin{aligned}P(C_i\mid H)&=\frac{P(C_i)\,P(H\mid C_i)}{P(H)}\\P(C_{d_0}\mid H)&=\frac{1}{n},\qquad P(C_d\mid H)=\frac{n-1}{n\,m}\end{aligned}$

Problèmes entièrement résolus

Les trois portes, par le théorème de Bayes 4 étapes
Vous choisissez la porte 1. L'animateur, qui sait où se trouve la voiture et ouvre toujours une porte cachant une chèvre, en choisissant au hasard quand il a le choix, ouvre la porte 3. Déterminez la probabilité que la voiture soit derrière la porte 1 et derrière la porte 2. Cliquez sur Trois portes pour vérifier.

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1. Avant qu'il n'agisse, chaque porte est équiprobable :
  
  $P(C_1)=P(C_2)=P(C_3)=\tfrac13$
2. Quelle est la probabilité qu'il ouvre la porte 3, pour chaque emplacement possible de la voiture ?
  
  $P(H_3\mid C_1)=\tfrac12,\qquad P(H_3\mid C_2)=1,\qquad P(H_3\mid C_3)=0$
3. La probabilité totale qu'il ouvre la porte 3 :
  
  $P(H_3)=\tfrac13\cdot\tfrac12+\tfrac13\cdot 1+\tfrac13\cdot 0=\tfrac12$
4. Divisez le produit de la probabilité a priori et de la vraisemblance de chaque porte par ce total :
  
  $P(C_1\mid H_3)=\dfrac{\tfrac13\cdot\tfrac12}{\tfrac12}=\tfrac13,\qquad P(C_2\mid H_3)=\dfrac{\tfrac13\cdot 1}{\tfrac12}=\tfrac23$
Réponse

La voiture se trouve derrière la porte 1 avec une probabilité de 1/3 et derrière la porte 2 avec une probabilité de 2/3. Toute la réponse réside dans la deuxième étape : si la voiture est derrière la porte 2, il est forcé d'ouvrir la porte 3, et si elle est derrière la porte 1, il n'ouvre la porte 3 que la moitié du temps. Il est donc deux fois plus probable qu'il ouvre la porte 3 si la voiture se trouve derrière la porte 2.

$P(C_1\mid H_3)=\tfrac13,\qquad P(C_2\mid H_3)=\tfrac23$
Quatre portes, une ouverte 5 étapes
Quatre portes. Vous choisissez la porte 1 et l'animateur, qui sait où se cache la voiture, ouvre l'une des autres portes masquant une chèvre en choisissant au hasard dès qu'il en a le choix. Il ouvre la porte 4. Calculez la probabilité que la voiture se trouve derrière chaque porte fermée, puis vérifiez ce résultat par dénombrement avant son intervention.

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1. Avant son intervention :
  
  $P(C_1)=P(C_2)=P(C_3)=P(C_4)=\tfrac14$
2. Quelle est la probabilité qu'il ouvre la porte 4 selon l'emplacement de la voiture ? Si elle est derrière la porte 1, il peut choisir parmi trois portes à chèvre ; derrière la porte 2 ou la porte 3, il n'a plus que deux options :
  
  $\begin{aligned}&P(H_4\mid C_1)=\tfrac13\\&P(H_4\mid C_2)=P(H_4\mid C_3)=\tfrac12\\&P(H_4\mid C_4)=0\end{aligned}$
3. Probabilité totale qu'il ouvre la porte 4 :
  
  $P(H_4)=\tfrac14\left(\tfrac13+\tfrac12+\tfrac12\right)=\tfrac13$
4. Divisez pour chaque porte le produit a priori × vraisemblance par cette probabilité totale :
  
  $\begin{aligned}&P(C_1\mid H_4)=\dfrac{\tfrac14\cdot\tfrac13}{\tfrac13}=\tfrac14\\&P(C_2\mid H_4)=P(C_3\mid H_4)=\dfrac{\tfrac14\cdot\tfrac12}{\tfrac13}=\tfrac38\end{aligned}$
5. Le même résultat sans Bayes : choisir au hasard une porte fermée ne fait gagner que si votre premier choix était mauvais, ce qui arrive avec une probabilité de 3/4 ; la voiture se trouve alors derrière l'une des deux portes fermées restantes :
  
  $\tfrac{3}{4}\cdot\tfrac{1}{2}=\tfrac{3}{8}$
Réponse

La porte 1 conserve 1/4 ; les portes 2 et 3 obtiennent chacune 3/8. Changer de porte reste préférable, mais les 3/4 que se partageaient les portes 2, 3 et 4 sont désormais répartis entre deux portes seulement, si bien qu'aucune n'atteint cette valeur à elle seule.

$P(C_1\mid H_4)=\tfrac14,\qquad P(C_2\mid H_4)=P(C_3\mid H_4)=\tfrac38$
Un animateur non averti 4 étapes
Trois portes, et vous choisissez la porte 1. Cet animateur ignore où se trouve la voiture : il ouvre au hasard la porte 2 ou la porte 3, et la porte 3 dévoile justement une chèvre. Calculez la probabilité que la voiture soit derrière la porte 1 et derrière la porte 2. Cliquez sur Animateur ignorant pour vérifier.

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1. Avant son intervention :
  
  $P(C_1)=P(C_2)=P(C_3)=\tfrac13$
2. Notons H₃ l'ouverture de la porte 3 dévoilant une chèvre. Si la voiture est derrière la porte 1 ou la porte 2, il ouvre la porte 3 une fois sur deux et elle contient bien une chèvre. Si la voiture est derrière la porte 3, l'ouvrir dévoilerait la voiture : H₃ ne peut donc pas se produire :
  
  $\begin{aligned}&P(H_3\mid C_1)=\tfrac12\\&P(H_3\mid C_2)=\tfrac12\\&P(H_3\mid C_3)=0\end{aligned}$
3. Probabilité totale de H₃ :
  
  $P(H_3)=\tfrac13\cdot\tfrac12+\tfrac13\cdot\tfrac12+\tfrac13\cdot 0=\tfrac13$
4. Divisez :
  
  $\begin{aligned}&P(C_1\mid H_3)=\dfrac{\tfrac13\cdot\tfrac12}{\tfrac13}=\tfrac12\\&P(C_2\mid H_3)=\dfrac{\tfrac13\cdot\tfrac12}{\tfrac13}=\tfrac12\end{aligned}$
Réponse

1/2 et 1/2. La porte ouverte et la chèvre sont pourtant les mêmes que dans le premier problème. Seule a changé la vraisemblance relative à la porte 2, passée de 1 à 1/2, car cet animateur n'était nullement contraint d'éviter la voiture.

$P(C_1\mid H_3)=P(C_2\mid H_3)=\tfrac12$
Un animateur ayant une porte préférée 5 étapes
Trois portes, vous choisissez la porte 1 et l'animateur sait où se trouve la voiture. Lorsque la voiture est derrière la porte 1 et qu'il peut donc ouvrir la porte 2 ou la porte 3, il choisit la porte 2 avec une probabilité p. Déterminez la probabilité de gagner en changeant s'il ouvre la porte 2, puis s'il ouvre la porte 3. Examinez ensuite le cas p = 1, où il ouvre systématiquement la porte à chèvre portant le plus petit numéro. Cliquez sur Animateur biaisé ouvre 2 pour vérifier le cas p = 1.

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1. Avant son intervention :
  
  $P(C_1)=P(C_2)=P(C_3)=\tfrac13$
2. Vraisemblance de chaque action. Si la voiture est derrière la porte 2 ou la porte 3, il n'a aucun choix :
  
  $\begin{aligned}&P(H_2\mid C_1)=p,&&P(H_3\mid C_1)=1-p\\&P(H_2\mid C_2)=0,&&P(H_3\mid C_2)=1\\&P(H_2\mid C_3)=1,&&P(H_3\mid C_3)=0\end{aligned}$
3. Probabilité totale de chaque action :
  
  $\begin{aligned}&P(H_2)=\tfrac13(1+p)\\&P(H_3)=\tfrac13(2-p)\end{aligned}$
4. Divisez. Changer après l'ouverture de la porte 2 revient à choisir la porte 3, et après la porte 3, à choisir la porte 2 :
  
  $\begin{aligned}&P(C_3\mid H_2)=\dfrac{\tfrac13\cdot 1}{\tfrac13(1+p)}=\dfrac{1}{1+p}\\&P(C_2\mid H_3)=\dfrac{\tfrac13\cdot 1}{\tfrac13(2-p)}=\dfrac{1}{2-p}\end{aligned}$
5. Avec p = 1 :
  
  $p=1:\quad P(C_3\mid H_2)=\tfrac12,\quad P(C_2\mid H_3)=1$
Réponse

Changer de porte fait gagner avec une probabilité de 1/(1 + p) après la porte 2 et de 1/(2 − p) après la porte 3. Ces deux valeurs valent au moins 1/2 pour tout p compris entre 0 et 1 : changer n'est donc jamais moins avantageux que rester, quelle que soit sa préférence. Pour p = 1, elles valent 1/2 et 1 ; pour p = 1/2, situation de l'animateur du premier problème, elles valent toutes deux 2/3.

$\dfrac{1}{1+p}\ge\tfrac12,\qquad\dfrac{1}{2-p}\ge\tfrac12\qquad(0\le p\le1)$
Quand l'offre devient un indice 5 étapes
Trois portes, vous choisissez la porte 1. Si votre choix tombe sur la voiture, l'animateur propose systématiquement de changer ; si c'est une chèvre, il ne le propose qu'avec une probabilité q. Chaque fois qu'il fait cette offre, il ouvre une porte à chèvre, au hasard s'il en reste deux. Il fait l'offre et ouvre la porte 3. Pour quelles valeurs de q devez-vous changer ? Le cas Monty Hell correspond à q = 0 : cliquez sur Monty Hell pour le vérifier.

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1. Avant son intervention :
  
  $P(C_1)=P(C_2)=P(C_3)=\tfrac13$
2. H₃ désigne à présent une offre accompagnée de l'ouverture de la porte 3. Si la voiture est derrière la porte 1, il fait l'offre à coup sûr et ouvre la porte 3 une fois sur deux ; derrière la porte 2, il ne propose le changement qu'avec la probabilité q et doit obligatoirement ouvrir la porte 3 ; derrière la porte 3, il ne peut pas l'ouvrir :
  
  $\begin{aligned}&P(H_3\mid C_1)=1\cdot\tfrac12\\&P(H_3\mid C_2)=q\cdot 1\\&P(H_3\mid C_3)=0\end{aligned}$
3. Probabilité totale de H₃ :
  
  $P(H_3)=\tfrac13\left(\tfrac12+q\right)$
4. Divisez :
  
  $\begin{aligned}&P(C_1\mid H_3)=\dfrac{\tfrac12}{\tfrac12+q}=\dfrac{1}{1+2q}\\&P(C_2\mid H_3)=\dfrac{q}{\tfrac12+q}=\dfrac{2q}{1+2q}\end{aligned}$
5. Comparez les deux portes fermées :
  
  $\begin{aligned}&\dfrac{2q}{1+2q}>\dfrac{1}{1+2q}\iff q>\tfrac12\\&q=1:\ \tfrac23\\&q=0:\ 0\end{aligned}$
Réponse

Changez si q > 1/2 et restez si q < 1/2 ; pour q = 1/2, les deux choix se valent. L'animateur qui propose toujours l'échange (q = 1) donne 2/3 de chances au changement, tandis que Monty Hell (q = 0) ne lui laisse aucune chance. La proposition constitue un indice en soi : venant d'un animateur qui ne l'offre face à un mauvais choix que moins d'une fois sur deux par rapport au bon, elle vous indique de rester.

$P(C_2\mid H_3)=\dfrac{2q}{1+2q}>\tfrac12\iff q>\tfrac12$
Les boîtes de Bertrand 4 étapes
Trois boîtes contiennent respectivement deux pièces d'or, deux pièces d'argent, et une de chaque métal. Vous choisissez une boîte au hasard et en tirez une pièce au sort : elle est en or. Calculez la probabilité que la seconde pièce de cette boîte soit aussi en or.
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1. Notons les boîtes GG, SS et GS. Avant le tirage :
  
  $P(GG)=P(SS)=P(GS)=\tfrac13$
2. Quelle est la probabilité de tirer une pièce d'or pour chaque boîte ?
  
  $\begin{aligned}&P(G\mid GG)=1\\&P(G\mid SS)=0\\&P(G\mid GS)=\tfrac12\end{aligned}$
3. Probabilité totale de tirer une pièce d'or :
  
  $P(G)=\tfrac13\cdot 1+\tfrac13\cdot 0+\tfrac13\cdot\tfrac12=\tfrac12$
4. Divisez :
  
  $P(GG\mid G)=\dfrac{\tfrac13\cdot 1}{\tfrac12}=\tfrac23$
Réponse

2/3, et non le 1/2 que l'on obtiendrait en comptant les deux boîtes pouvant contenir une pièce d'or. La boîte d'or pur donne de l'or à tous les coups et la boîte mixte la moitié du temps : une pièce d'or a donc deux fois plus de chances de venir de la première. Joseph Bertrand posa cette énigme dans son Calcul des probabilités en 1889, soit 86 ans avant que Steve Selvin ne soumette le problème des trois portes aux lecteurs de The American Statistician.

$P(GG\mid G)=\tfrac23$

Exercices supplémentaires, réponses seules

Trois prisonniers, A, B et C, apprennent que l'un d'eux, tiré au sort, sera gracié. A demande au gardien de nommer l'un des deux autres qui sera exécuté ; si tous deux doivent l'être, le gardien en désigne un au hasard. Il nomme B. Déterminez la probabilité que A soit gracié, puis que C le soit.

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1/3 et 2/3. C'est le problème des trois portes, le gardien jouant le rôle de l'animateur.

$\tfrac13,\qquad\tfrac23$
Cent portes. L'animateur averti ouvre 98 des 99 portes que vous n'avez pas choisies, toutes masquant des chèvres. Déterminez la probabilité pour votre porte et pour celle qu'il a laissée fermée.

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1/100 et 99/100.

$\tfrac{1}{100},\qquad\tfrac{99}{100}$
Cinq portes. L'animateur averti ouvre au hasard deux portes à chèvre parmi les quatre que vous n'avez pas choisies. Calculez la probabilité pour votre porte et pour chacune des deux autres portes fermées.

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1/5, et 2/5 pour chacune.

$\tfrac15,\qquad\tfrac25$
Dix portes. Un animateur non averti ouvre au hasard 8 des 9 portes que vous n'avez pas choisies, et toutes les 8 révèlent des chèvres. Calculez la probabilité pour votre porte et pour l'autre porte fermée, ainsi que la probabilité qu'un tel animateur ne montre effectivement que 8 chèvres.

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1/2 et 1/2 ; il ne montre 8 chèvres qu'avec une probabilité de 1/5.

$\tfrac12,\qquad\tfrac12;\qquad\tfrac{10-8}{10}=\tfrac15$
Dans le problème de l'animateur ayant une porte préférée, posons p = 1/3. Il ouvre la porte 3. Calculez la probabilité de gagner en changeant.

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1/(2 − 1/3) = 3/5.

$\dfrac{1}{2-\tfrac13}=\tfrac35$
Mille parties face à l'animateur averti. Entre quels taux la fréquence de victoires en changeant doit-elle se situer 95 % du temps ?

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2/3 ± 1,96 √((2/3 · 1/3)/1000) : de 63,74 % à 69,59 %.

$\tfrac23\pm1.96\sqrt{\dfrac{\tfrac23\cdot\tfrac13}{1000}}=[0.6374,\ 0.6959]$

Changer gagne deux fois sur trois

Cliquez sur Trois portes. Vous choisissez la porte 1, qui a une chance sur trois de cacher la voiture. Rien de ce que fait cet animateur ne peut changer cela. Il ouvrirait la porte 3 la moitié du temps si la voiture se trouvait derrière votre porte, et lorsqu'il a le choix, il le fait au hasard. Son geste n'apporte donc aucune information sur la porte 1. Il ouvre la porte 3 et révèle une chèvre. Les deux chances sur trois que la voiture soit derrière la porte 2 ou la porte 3 reposent désormais entièrement sur la porte 2. Changer gagne donc 2 fois sur 3. Cliquez sur 100 portes et l'évidence s'impose : vous avez choisi une porte sur cent. L'animateur ouvre 98 des autres portes pour dévoiler des chèvres. La seule porte qu'il laisse fermée est celle qu'il faut prendre, 99 fois sur 100. En 1990, Marilyn vos Savant a donné la réponse pour les trois portes dans sa chronique du magazine Parade. Elle a reçu des milliers de lettres lui disant qu'elle avait tort, dont beaucoup signées par des titulaires de doctorat.

La même situation donne une réponse différente si l'animateur ne savait pas

Cliquez sur Animateur ignorant. Vous observez exactement ce que vous avez vu auparavant : la porte 1 choisie, la porte 3 ouverte, une chèvre. Mais cet animateur a ouvert une porte au hasard et il se trouve qu'il a évité la voiture. Garder votre choix et changer gagnent maintenant tous deux 1 fois sur 2. La probabilité dépend de la règle qui a produit cette situation, et pas seulement de ce que vous voyez. Un animateur qui sait où se trouve la voiture, qui est forcé de montrer une chèvre et qui choisit au hasard quand il le peut, ne vous apprend rien sur votre propre porte. Toute la probabilité qu'il retire à la porte 3 se reporte sur la porte 2. Un animateur qui ouvrirait la porte 3 au hasard y montrerait une chèvre tout aussi souvent si la voiture se trouvait derrière la porte 1 que derrière la porte 2. Cette chèvre ne favorise donc aucune d'elles.

La porte qu'il ouvre peut fournir toute la réponse

Cliquez sur Animateur biaisé ouvre 2. Cet animateur ouvre toujours la porte de chèvre au plus petit numéro possible. La porte 2 est celle qu'il ouvrirait que la voiture soit derrière la porte 1 ou la porte 3. La voir ne favorise donc pas l'une par rapport à l'autre. Garder son choix et changer donnent 1 sur 2. Cliquez sur Animateur biaisé ouvre 3 : il a ignoré la porte 2, ce qu'il ne ferait que si la voiture s'y trouvait. Changer gagne donc à chaque fois. En moyenne sur l'ensemble des parties, soit une chance sur deux les deux tiers du temps et une certitude un tiers du temps, changer gagne toujours 2 fois sur 3. Monty Hell désigne l'animateur qui ne vous propose de changer que si vous avez déjà trouvé la voiture. Dans le cas d'une proposition, changer perd à chaque fois.

Parcours

Choisir d’après ce que vous avez vu

Par l’équipe 7 Raven Room · Vérifié sur des sources publiées. Corrections bienvenues.