← 天文学 & 宇宙

脱出速度比較ツール

v = √(2GM/R) — 天体の重力から永遠に脱出するために必要な最低速度

インタラクティブシミュレーションを読み込んでいます...

何であれ十分に圧縮すれば、脱出速度は光速を超える

あらゆる天体には脱出速度が光速に等しくなる半径が存在します。それがシュワルツシルト半径 rs = 2GM/c² です。太陽の場合はわずか3 km。ブラックホールは神秘的な存在ではなく、物理的半径がシュワルツシルト半径より小さい天体に過ぎません。

ロケット自身の質量が関係ない理由

脱出速度とは、物体が落ちて戻らずに永遠に遠ざかれる打ち上げ速度のことです。意外なのは、それが離れる天体だけで決まる点です。天体の質量 M と半径 R から v = √(2GM/R) で決まり、投げる物体が何かには一切よりません。ビー玉でも戦艦でも、地球を離れるには同じ 11.2 km/s が必要です。だからこそ、一つの数字で各天体を言い表せるのです。

脱出は周回よりわずか√2倍速いだけ

天体の表面すれすれを周回する速度は v = √(GM/R) で、脱出速度はちょうどその √2 倍です。つまり安定した軌道から抜け出すのに速度を倍にする必要はなく、約 41% 増しで足ります。これがこのツールのシミュレーションの黄色い軌跡で、脱出速度の 0.71× (1/√2) で打ち出されます。緑の脱出弾が永遠に飛び去る一方、黄色は円軌道に落ち着きます。

全プロセスの詳細解説

  1. 地球から投げられた物体が二度と戻ってこない速度 5 ステップ

    地球から投げ出された物体が二度と戻ってこなくなる速度を求めよ。ついでその値を用いて、地球に今なお窒素が存在し、水素が徐々に失われつつある理由、そして月に大気が全く存在しない理由を説明せよ。 地球: M = 5.972 × 10²⁴ kg、R = 6371 km。

    1. 「二度と戻ってこない」というのは高度についての言及ではなく、エネルギーに関する記述である。重力の引きつける力は距離とともに弱まるが完全に消えることはない。そのため、必要な条件は、運動エネルギーがその物体が位置している重力の井戸の深さと少なくとも同等以上であることである。

      12mv2−GMmR ≥ 0\tfrac12 m v^2-\frac{GMm}{R}\ \ge\ 0

    2. 全エネルギーをゼロとおいて（何も残さずに無限遠に到達する限界のケース）、方程式を解く。投げ出される物体自体の質量は相殺される。これが最初の驚くべき点である。弾丸であれ巨岩であれ、全く同じ速度を必要とするのである。

      vesc=2GMRv_{\text{esc}}=\sqrt{\frac{2GM}{R}}

    3. 地球の数値を入れる。これは、上の比較ツールで地球を選択したときに出力される数値であり、これが推力ではなく速度である点に注目する価値がある。どうやってその速度に達するかについては、ここでは何も規定していない。

      vesc=2(6.674×10−11)(5.972×1024)6.371×106=11 186 m/s≈11.2 km/sv_{\text{esc}}=\sqrt{\frac{2(6.674\times10^{-11})(5.972\times10^{24})}{6.371\times10^{6}}}=11\,186\ \mathrm{m/s}\approx 11.2\ \mathrm{km/s}

    4. ここで m が相殺されたという事実を利用する。これはロケットと同様に窒素分子にも適用される。気体分子の運動速度は単一ではないが、二乗平均速度は温度のみによって決まる。

      vrms=3kTm:H2 at 288 K=1.90 km/s,N2=0.51 km/sv_{\text{rms}}=\sqrt{\frac{3kT}{m}}:\quad \mathrm{H_2}\ \text{at}\ 288\,\mathrm{K}=1.90\ \mathrm{km/s},\qquad \mathrm{N_2}=0.51\ \mathrm{km/s}

    5. 分子が脱出速度を超えたからといって、気体がただちに失われるわけではありません。速度分布の高速側の裾にある分子が、数十億年かけて少しずつ宇宙へ逃げていきます。天体が気体を保持できる目安は、脱出速度が分子の速度のおよそ六倍以上であることです。表の月の値には、月面そのものの温度を用いています。熱を行き渡らせる大気がないため、昼側の温度は約390 Kに達し、窒素分子の速度は0.59 km/sまで上がります。

      vescvrms:Earth, N2=22Earth, H2=5.9Moon, N2=4.0\frac{v_{\text{esc}}}{v_{\text{rms}}}:\quad \text{Earth},\ \mathrm{N_2}=22\qquad \text{Earth},\ \mathrm{H_2}=5.9\qquad \text{Moon},\ \mathrm{N_2}=4.0

    解答

    その速度は 11.2 km/s であり、あらゆる物体において共通である。この比率こそが惑星大気の全貌を物語っている。地球上の窒素の比率は 22 であり、余裕を持って保持される。水素は 5.9 と閾値のすぐ下に位置し、これこそが地球が宇宙空間へ水素を漏出させており、我々が吸う大気が重い分子で構成されている理由である。月では脱出速度はわずか 2.38 km/s であり、窒素の比率は 4.0 と基準線を下回る。月が失うべき大気を最早もっていないのはそのためである。物体の質量を消去したあの一つの方程式こそが、分子に対してもそれを適用可能にしているのである。

    vesc=11.2 km/sretained if vesc≳6 vrmsv_{\text{esc}}=11.2\ \mathrm{km/s}\qquad \text{retained if}\ v_{\text{esc}}\gtrsim 6\,v_{\text{rms}}
  2. 11.2 km/sで地球を脱出した後の太陽系離脱のコスト 6 ステップ

    11.2 km/s で地球からは脱出できます。太陽からは脱出できません。地球と同じ距離で太陽の手の内に残され、たったいま離れた惑星と並んで公転するだけです。太陽系を出るのに実際いくらかかるのかを計算しましょう。

    1. パネルの数と、それを生んだエネルギー収支から始めます。運動エネルギーが重力の井戸の深さをちょうど打ち消す、というだけの式です。

      vesc=2GMR=2(6.674×10−11)(5.972×1024)6.371×106=11.19 km s−1v_{\mathrm{esc}}=\sqrt{\frac{2GM}{R}}=\sqrt{\frac{2(6.674\times10^{-11})(5.972\times10^{24})}{6.371\times10^{6}}}=11.19\ \mathrm{km\,s^{-1}}

    2. 次に、測る中心を取り替えます。地球自身が太陽のまわりを落ち続けており、その速さは 1 天文単位の距離で同じ法則が決めています。

      v⊕=GM⊙a=(6.674×10−11)(1.989×1030)1.496×1011=29.79 km s−1v_{\oplus}=\sqrt{\frac{GM_{\odot}}{a}}=\sqrt{\frac{(6.674\times10^{-11})(1.989\times10^{30})}{1.496\times10^{11}}}=29.79\ \mathrm{km\,s^{-1}}

    3. その距離から太陽を脱出するには円軌道速度の √2 倍が要ります——先ほどとまったく同じ関係です。どちらの天体に捕まっているかを算術は気にしません。

      vesc,⊙(1 AU)=2  v⊕=1.4142×29.79=42.13 km s−1v_{\mathrm{esc},\odot}(1\,\mathrm{AU})=\sqrt{2}\;v_{\oplus}=1.4142\times29.79=42.13\ \mathrm{km\,s^{-1}}

    4. 引き算して、何が与えられているかを見てください。すでに 29.79 で動いていて 42.13 が要るのだから、足りないのは差だけ。しかもそれは、地球がすでに進んでいる向きに打ち上げれば無料で手に入ります。

      Δv=42.13−29.79=12.34 km s−1\Delta v=42.13-29.79=12.34\ \mathrm{km\,s^{-1}}

    5. とはいえ地球から這い出す必要はあり、足し合わさるのは速度ではなくエネルギーです。だから 2 つの値は二乗で合成されます。地表で必要な速さは和ではなく斜辺です。

      12v2−GMR=12Δv2 ⟹ v=vesc2+Δv2=11.192+12.342=16.65 km s−1\tfrac12v^{2}-\frac{GM}{R}=\tfrac12\Delta v^{2}\ \Longrightarrow\ v=\sqrt{v_{\mathrm{esc}}^{2}+\Delta v^{2}}=\sqrt{11.19^{2}+12.34^{2}}=16.65\ \mathrm{km\,s^{-1}}

    6. では向きを変えて、地球の動きに逆らって打ち上げてみましょう。2 つの速度は打ち消し合うのをやめ、足し合わさります。

      vretro=11.192+(42.13+29.79)2=125.2+5172.5=72.79 km s−1v_{\mathrm{retro}}=\sqrt{11.19^{2}+(42.13+29.79)^{2}}=\sqrt{125.2+5172.5}=72.79\ \mathrm{km\,s^{-1}}

    解答

    地球に乗っていくなら地表から 16.65 km/s、逆向きに行くなら 72.79 km/s。4 倍を超える差で、その正体はすべて地球の公転 29.79 km/s です。贈り物として受け取るか、二重に払うかのどちらかになります。深宇宙への打ち上げが窓を待ち、地球の軌道に沿って出ていくのはこのためで、脱出速度を 1 つの数として語るのが半分の答えでしかないのもこのためです。誠実な問いはつねに「何からの脱出か」です。

    v=vesc2+Δv2:16.65 km s−1⟷72.79 km s−1v=\sqrt{v_{\mathrm{esc}}^{2}+\Delta v^{2}}:\qquad 16.65\ \mathrm{km\,s^{-1}}\quad\longleftrightarrow\quad 72.79\ \mathrm{km\,s^{-1}}
参考文献 (1)
  • The radius named in the first block: K. Schwarzschild, "Über das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie." Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften, 189–196, 1916.

· 公表された資料と照合しています。訂正のご指摘を歓迎します。