軌道周期計算機

ISSは地上400 kmの上空を飛行している。1周にかかる時間を求め、次いで地球が許容する最短の軌道周期を求めよ。これはISSの状態（地球周りの軌道長半径 6771 km）であり、G = 6.674 × 10⁻¹¹ m³ kg⁻¹ s⁻²、M = 5.972 × 10²⁴ kg、地球の半径 R = 6371 km とする。

1. 円軌道は釣り合いによって成り立つ。万有引力が円運動に必要な向心力を過不足なく供給する。衛星自身の質量はその方程式の両辺から打ち消し合って消えるため、脱落したボルトとそれが外れたステーションは並んで飛び続けることになる。

   $$\frac{GMm}{a^{2}}=\frac{mv^{2}}{a}\quad\Longrightarrow\quad v=\sqrt{\frac{GM}{a}}$$

2. 速度が分かれば、周期は距離を速度で割ったものとなる。結果には衛星に関する情報は一切残らず、軌道の大きさと惑星の質量のみが残り、これら2つは掛け合わされたGMという形で現れる。軌道の測定によって得られるのはまさにこの積であり、GとMを個別に知る精度はこれに遠く及ばない。

   $$T=\frac{2\pi a}{v}=2\pi\sqrt{\frac{a^{3}}{GM}},\qquad GM=(6.674\times10^{-11})(5.972\times10^{24})=3.986\times10^{14}\ \mathrm{m^{3}\,s^{-2}}$$

3. 軌道長半径aは地表からではなく常に中心から測定されるため、6771 kmは地球の半径6371 kmに高度400 kmを加えた値である。1日にはこの周回が15回半収まり（86 400/5545 = 15.58）、余りの0.58があるために、ステーションは周回ごとに同じ軌跡を辿るのではなく異なる地表の上空を通過する。

   $$T=2\pi\sqrt{\frac{(6.771\times10^{6})^{3}}{3.986\times10^{14}}} =5545\ \mathrm{s}=1\mathrm{h}\,32\mathrm{m}\,25\mathrm{s}=1.54\ \mathrm{h}$$

4. 公式において距離が関与するのはa^3/2の項のみであるため、2つの周期の比を求める際にGもMも必要としない。これがケプラーの第三法則であり、上のスケーリング表を単なる倍率だけで構築できる理由である。どんな惑星のどんな衛星であっても、軌道長半径が4倍になれば周期は正確に8倍になる。

   $$T\propto a^{3/2}:\quad 2^{3/2}=2.83,\qquad 4^{3/2}=8 \quad\Longrightarrow\quad 8\times1.54=12.32\ \mathrm{h}$$

5. 次に軌道を下方に下げて考える。a = R未満では存在する軌道がなくなるため、この半径が周期の下限を決定する。ここで有効な手は、計算する前に質量を体積×密度と書き換えることである。するとR³が分子とMの内部の両方に現れ、打ち消し合う。

   $$M=\tfrac{4}{3}\pi R^{3}\rho\ \Longrightarrow\ T_{\min}=2\pi\sqrt{\frac{R^{3}}{GM}}=\sqrt{\frac{3\pi}{G\rho}}:\quad \rho_{\oplus}=\frac{5.972\times10^{24}}{\frac{4}{3}\pi(6.371\times10^{6})^{3}} =5513\ \mathrm{kg\,m^{-3}}\Rightarrow 5061\ \mathrm{s}=84.4\ \mathrm{min}$$