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宇宙論的赤方偏移計算機

膨張する宇宙の中で光子を引き伸ばそう。zを設定し、放射時の波長を選ぶと、スペクトルがどう変化するかがわかる。

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三つの異なる地平線、そのうち v = c なのは一つだけ

宇宙論的赤方偏移はしばしばドップラー効果として説明されますが、実際はもっと微妙です。銀河は空間の中を動いているのではなく、私たちとの間の空間が伸びており、光子の波長はスケール因子 a(t) に比例して伸びます。z が小さいうちは区別は学問上のもので、どちらの見方でも v ≈ H₀d になります。z ≈ 1.5 を超えると後退速度は c を上回りますが、これは空間の中を動く場合には不可能で、空間そのものについては何ら異常ではありません。相対論の速度制限は時空を通る移動を縛るもので、時空の膨張を縛るものではないからです。ここでは三つの異なる距離が混同されがちです。後退速度が c に達するのはハッブル半径、c/H₀ ≈ 145億光年です。しかも私たちはそれよりはるかに遠い銀河を日常的に観測しています。超光速の後退が何も隠さないという、これがいちばん素朴な証拠です。それ以上先を見られないのは粒子的地平線で、約460億光年、光が進むだけの時間を得られた距離です。そして永久に手が届かない境界を決めるのは第三の面、およそ160億光年の事象の地平面です。それより遠い銀河を今日出発した光は、どれだけ待っても届きません。

赤方偏移が実際に測っているもの

遠い銀河の光は、波長が赤い方へ引き伸ばされて届く。観測された波長を放射時の波長で割って1を引けば、それがzだ。zが大きいほど光は長く旅してきたことになり、zは宇宙の時計であり物差しでもある。z = 1なら光は約80億年前に銀河を離れており、そのとき宇宙は現在の半分の大きさだった(スケール因子 a = 1/(1+z) = 0.5)。

赤方偏移は時間も引き伸ばす

膨張はあらゆる波長を(1+z)倍に引き伸ばすが、出来事の継続時間も同じ倍率で引き伸ばす。z = 1のIa型超新星は、近くにある同じ超新星の2倍の日数をかけて明るくなり、そして暗くなるように見える。まさにこの引き伸ばしが測定され、古い『疲れた光』説を退けた。本物の膨張だけが、光を赤くすると同時に時計をも遅らせるのだ。

全プロセスの詳細解説

  1. 水素のHα線が721.6 nmで観測されるときの後退速度 5 ステップ

    水素のHα線が銀河を出発したときに656 nmで、721.6 nmに到達します。後退速度を求めてください。直感的な公式はこの例で約1500 km/sの誤差を生じ、より高い赤方偏移では完全に破綻します。

    1. 赤方偏移は波長の伸びの割合として定義されるため、2つの数値から直接読み取ることができます。z = 0.1、つまり光は出発時より10%赤い状態で到達しました。

      z=λobs−λ0λ0=721.6−656656=0.1000z=\frac{\lambda_{\text{obs}}-\lambda_0}{\lambda_0}=\frac{721.6-656}{656}=0.1000

    2. ほぼすべての人がまず使う公式は、低速のドップラー効果に由来するv = czです。これにより、光速の10分の1である29 979 km/sが得られます。

      vnaive=cz=0.1×299 792=29 979 km/sv_{\text{naive}}=cz=0.1\times299\,792=29\,979\ \mathrm{km/s}

    3. しかし、光速の10分の1は低速ではありません。相対論的ドップラーの関係式は1 + zを(1 + β)/(1 − β)の平方根と結びつけます。βについて解くのに必要な代数計算は1行であり、0.1ではなく0.09502が得られます。

      1+z=1+β1−β ⟹ β=(1+z)2−1(1+z)2+1=0.212.21=0.095021+z=\sqrt{\frac{1+\beta}{1-\beta}}\ \Longrightarrow\ \beta=\frac{(1+z)^2-1}{(1+z)^2+1}=\frac{0.21}{2.21}=0.09502

    4. これは28 487 km/sです。単純な公式による数値は5.2%（およそ1500 km/s）過大評価しており、これは天文学者が日常的に議論する速度差よりも大きい値です。

      v=0.09502 c=28 487 km/s(29 97928 487=1.052)v=0.09502\,c=28\,487\ \mathrm{km/s}\qquad\left(\frac{29\,979}{28\,487}=1.052\right)

    5. zを1まで大きくすると、この乖離は単なる補正の域を超えます。v = czはちょうどcを返しますが、相対論的公式はその5分の3を返します。

      a=11+z=0.9091;z=1: vnaive=c,  β=35=0.600a=\frac{1}{1+z}=0.9091;\qquad z=1:\ v_{\text{naive}}=c,\ \ \beta=\frac{3}{5}=0.600

    解答

    ツールには721.6 nm、28 487 km/s、cの9.50%、スケール因子0.9091が表示されます。これは、その光が出発したとき、宇宙の大きさは現在の91%であったことを意味します。記憶に留めるべき重要なポイントはステップ5です。z = 1では、簡易計算はちょうど光速を返しますが、正解は0.600cです。ディープ・フィールドのプリセットをクリックして確認してみてください。銀河はz = 7以上でカタログ化されており、そこではczを使うと光速の7倍という数値が得られてしまいます。これは相対論のパラドックスではなく、公式が適用範囲を大きく外れて使用されていることに起因します。

    β=(1+z)2−1(1+z)2+1:z=0.1⇒0.0950 c,z=1⇒0.600 c (not c)\beta=\frac{(1+z)^2-1}{(1+z)^2+1}:\quad z=0.1\Rightarrow0.0950\,c,\qquad z=1\Rightarrow0.600\,c\ (\text{not}\ c)
参考文献 (2)

· 公表された資料と照合しています。訂正のご指摘を歓迎します。