原始関数

積分の世界にも、微分と同じようにべき乗の公式があります。そしてどの公式集にも、一つの例外が記されています。n = −1 の場合です。n を動かしてその例外を通り抜け、グラフがどう変化するか見てみましょう。それから公式を一つずつ適用して積分を解き、自分でも挑戦してみてください。原始関数を入力すると、このページがそれを微分し、元の関数と比較します。

べき乗の公式	$\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C,\qquad n\neq-1$
例外となる n = −1	$\int\frac{dx}{x}=\ln\|x\|+C$

計算例 — 原始関数

二つの形の間の定数	100.00
ln x との差を n + 1 で割った値	0.9654

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レッスン

理論 — 原始関数

ある区間における f の原始関数とは、その区間のすべての x で F′(x) = f(x) となる関数 F のことです。F がその一つであれば、任意の定数 C について F + C もそうであり、一つの区間においてはそれですべてです。1/x における x ≠ 0 のように、定義域が二つの部分に分かれている場合、それぞれの部分が独立した定数を持ちます。不定積分 ∫f(x) dx は、その族全体を指す名前です。

各記号の意味

F_n: (1, 0) を通る xⁿ の原始関数。(xⁿ⁺¹ − 1)/(n + 1)、つまり ∫₁^x tⁿ dt であり、n = −1 では ln x になります
C: 積分定数。その導関数は 0 なので、どのような値でも原始関数になります

公式の導き方

なぜ 1/(n + 1) を取り除くのか。F_n(x) = ∫₁^x tⁿ dt は、1 から x までの tⁿ の下の面積です。n が少し変化すればそれぞれの高さ tⁿ も少し変化するため、面積も少し変化します。したがって、n が −1 を通過するときに F_n が飛ぶことはありません。n = −1 においては 1 から x までの 1/t の下の面積、つまり ln x にならなければなりません。教科書の形は F_n + 1/(n + 1) であり、無限に発散するのはこの定数部分なのです。
$F_n(x)=\int_{1}^{x}t^{n}\,dt=\frac{x^{n+1}-1}{n+1}=\frac{x^{n+1}}{n+1}-\underbrace{\frac{1}{n+1}}_{\to\,\pm\infty}$
極限の計算。h = n + 1 と置き、xʰ を h の級数として展開します。ln x との差はおよそ h(ln x)²/2 で、x = 4 では 0.9609h となります。表の最後の列が近づいているのは、この値です。
$x^{h}=e^{h\ln x}=1+h\ln x+\frac{h^{2}(\ln x)^{2}}{2}+\cdots\ \Rightarrow\ F_n(x)=\frac{x^{h}-1}{h}=\ln x+\frac{h(\ln x)^{2}}{2}+\cdots$

前提: 判定は数値計算で行われます。このページでは、あなたが使うのと同じ公式で F を正確に微分し、区間内に散りばめられた 120 個の点（すべて整数ではない点）において F′ と f を比較します。相対誤差が 10⁻⁶ までであれば許容されます。係数の抜けや符号の間違いがあれば、誤差は 1 のオーダーになります。f が定義されているのにあなたの F が定義されていない場合、不正解になります。f が区間全体で連続している場合、ページは隣接する点の間で f を数値積分し、あなたの F の変化量とも比較します。これによって、部分ごとには合っていても値が飛んでしまう答えを検出します。

全プロセスの詳細解説

積分の前にまず展開 3 ステップ
∫(x² + 1)² dx を求めよ。

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1. 括弧のまま使えるべき乗の公式はありません。まずは展開して、すべての項を x のべき乗で表します：
  
  $(x^{2}+1)^{2}=x^{4}+2x^{2}+1$
2. 項ごとに積分します。指数に 1 を足し、その新しい指数で割りましょう：
  
  $\int\left(x^{4}+2x^{2}+1\right)dx=\frac{x^{5}}{5}+2\cdot\frac{x^{3}}{3}+x+C$
3. 微分して確かめます：
  
  $\frac{d}{dx}\left(\frac{x^{5}}{5}+\frac{2x^{3}}{3}+x\right)=x^{4}+2x^{2}+1$
解答

x⁵/5 + 2x³/3 + x + C. 展開せずに括弧のまま (x² + 1)³/3 としてしまうのが、実によくある落とし穴です。これを微分すると 2x(x² + 1)² になります。括弧の内側から出てくるこの 2x を、べき乗の公式は考慮してくれません。ツールでこの問題を開き、その式を入力してみてください。二つの曲線が離れていく様子がよくわかります。

$\int(x^{2}+1)^{2}\,dx=\frac{x^{5}}{5}+\frac{2x^{3}}{3}+x+C$
積分の前にまず割り算 3 ステップ
x > 0 のとき、∫(x³ − 2√x + 5)/x dx を求めよ。

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1. 各項を x で割り、べき乗の形で表します：
  
  $\frac{x^{3}-2\sqrt{x}+5}{x}=x^{2}-2x^{-1/2}+5x^{-1}$
2. 最初の二項はべき乗の公式通りです：
  
  $\int x^{2}\,dx=\frac{x^{3}}{3},\qquad -2\int x^{-1/2}\,dx=-2\cdot\frac{x^{1/2}}{1/2}=-4\sqrt{x}$
3. 三つ目は x⁻¹。この公式で割ることができない、唯一の指数です：
  
  $5\int x^{-1}\,dx=5\ln|x|=5\ln x\quad(x>0)$
解答

x³/3 − 4√x + 5 ln x + C. ln|x| の絶対値記号は外してかまいません。問題で x > 0 と指定されていますし、そもそも √x を扱う上でもいずれにせよ必要な条件だからです。

$\int\frac{x^{3}-2\sqrt{x}+5}{x}\,dx=\frac{x^{3}}{3}-4\sqrt{x}+5\ln x+C$
積分表の三行 2 ステップ
∫(2 cos x − 3 sin x + 4/(1 + x²)) dx を求めよ。

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1. どの項も積分表に載っています：
  
  $\int\cos x\,dx=\sin x,\qquad \int\sin x\,dx=-\cos x,\qquad \int\frac{dx}{1+x^{2}}=\arctan x$
2. 定数はそのまま残し、各関数をそれぞれの原始関数に置き換えます：
  
  $2\sin x-3(-\cos x)+4\arctan x$
解答

2 sin x + 3 cos x + 4 arctan x + C. 間違えやすいのは真ん中の項です。sin x の原始関数は −cos x なので、−3 sin x を積分すると +3 cos x になります。マイナスが出てくるのは cos x を微分したときで、その結果が −sin x だからです。

$\int\left(2\cos x-3\sin x+\frac{4}{1+x^{2}}\right)dx=2\sin x+3\cos x+4\arctan x+C$
条件が定数を決める 2 ステップ
f′(x) = 6x² − 4x + 1、f(1) = 5 のとき、関数 f を求めよ。

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1. まずは積分し、C を残しておきます：
  
  $f(x)=\int\left(6x^{2}-4x+1\right)dx=2x^{3}-2x^{2}+x+C$
2. 続いて x = 1 を代入し、C を求めます：
  
  $f(1)=2-2+1+C=1+C=5\ \Rightarrow\ C=4$
解答

f(x) = 2x³ − 2x² + x + 4。 ツールは導関数だけでなく、条件も同時に検証しています。C を 0 のままにしておくと、F′ = f は満たせても、F(1) が 5 ではなく 1 だと指摘され、定数を 4 変えるよう促されます。

$f(x)=2x^{3}-2x^{2}+x+4$
二度の積分、二つの定数 2 ステップ
f″(x) = 12x − 6、f′(0) = 2、f(0) = −1 のとき、関数 f を求めよ。

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1. 一度積分して f′ を求め、f′ の条件から定数を定めます：
  
  $f'(x)=\int(12x-6)\,dx=6x^{2}-6x+C_{1},\qquad f'(0)=C_{1}=2$
2. もう一度積分して、f の条件を使います：
  
  $f(x)=\int\left(6x^{2}-6x+2\right)dx=2x^{3}-3x^{2}+2x+C_{2},\qquad f(0)=C_{2}=-1$
解答

f(x) = 2x³ − 3x² + 2x − 1。 積分するたびに定数がひとつ現れ、それぞれの条件が定数をひとつずつ決めていきます。ツールは二度目の積分の画面から始まり、被積分関数に f′、条件に f(0) = −1 が設定されています。

$f(x)=2x^{3}-3x^{2}+2x-1$
負の領域における ln|x| 2 ステップ
x < 0 において f′(x) = 2/x、f(−1) = 3 のとき、関数 f を求めよ。

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1. x が負のとき ln x は定義されませんが、ln(−x) は値を持ち、その導関数は 1/x です：
  
  $x<0:\quad \frac{d}{dx}\ln(-x)=\frac{-1}{-x}=\frac{1}{x}$
2. したがって f(x) = 2 ln|x| + C となり、条件から C が決まります：
  
  $f(x)=2\ln|x|+C,\qquad f(-1)=2\ln1+C=C=3$
解答

x < 0 において f(x) = 2 ln|x| + 3。 条件は正の x について何も定めていません。1/x は 0 で定義されないため、x > 0 で 2 ln x + 7 となる関数であっても、まったく同様に問題の解となります。

$f(x)=2\ln|x|+3\quad(x<0)$
平方根キーを使って ln 4 を求める 4 ステップ
電卓には平方根キーがありますが、ln キーはありません。このページで解説した極限を使って、ln 4 を小数第4位まで求めてください。まず n = −0.99 を押します。(1, 0) を通る曲線は x = 4 で 1.3959 となり、ln 4 = 1.3863 よりもまだかなり大きな値です。

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1. 平方根キーを十回押すと、4 は 4 の 1/1024 乗になります。つまり、h = n + 1 = 1/1024 です：
  
  $4^{1/1024}=1{.}001354720,\qquad h=n+1=\dfrac{1}{1024}$
2. その h における (1, 0) を通る曲線です。ページの式で一回の引き算と一回の掛け算を行います：
  
  $F(h)=\dfrac{4^{h}-1}{h}=1{.}3872332$
3. ln 4 との差は約 h(ln 4)²/2、つまり表の最後の列に h を掛けた値です。これでは小数第4位まで求めるには大きすぎます：
  
  $\dfrac{h\,(\ln 4)^{2}}{2}=\dfrac{0{.}9609}{1024}=0{.}000938$
4. さらにもう一回平方根をとると h が半分になり、それに伴って差も半分になります。新しい値を二倍して古い値を引くと、誤差の主要な項が打ち消されます：
  
  $2\,F\!\left(\tfrac{h}{2}\right)-F(h)=2\times1{.}3867637-1{.}3872332=1{.}386294$
解答

ln 4 ≈ 1.3863。2F(h/2) − F(h) という組み合わせにより、h に比例する誤差が取り除かれ、h² に比例する誤差が残ります。ここでは約 2×10⁻⁷ です。このページでは n を 0.01 刻みで動かすため、h = 1/2048 はスライダーで表示できる範囲をはるかに超えています。

$\ln 4\approx1{.}3863$

補充問題（答えのみ）

∫ (4x³ − 6x + 2) dx を求めましょう。

答えを表示

x⁴ − 3x² + 2x + C。

$x^{4}-3x^{2}+2x+C$
∫ (√x + 1/√x) dx を求めましょう。

答えを表示

(2/3)x^3/2 + 2√x + C。まず各項を x^1/2、x^−1/2 と累乗の形で表すと、積分しやすくなります。

$\tfrac23x^{3/2}+2\sqrt{x}+C$
∫ (eˣ + 1/x²) dx を求めましょう。

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eˣ − 1/x + C。べき関数の積分公式より、x⁻² の積分は x⁻¹/(−1) です。ln x が現れるのは、x⁻¹ を積分するときだけです。

$e^{x}-\frac{1}{x}+C$
∫ 2/√(1 − x²) dx を求めましょう。

答えを表示

2 arcsin x + C。

$2\arcsin x+C$

ln x はべき乗の公式自身の極限

n = −0.99 を押してください。教科書にある xⁿ の原始関数は xⁿ⁺¹/(n + 1) です。これは n = −1 でゼロ除算になるため、積分表には独立した公式として ∫x⁻¹ dx = ln|x| が載っています。破線のゴーストは、そこへ向かう途中でこの数式がどう振る舞うかを示しています。x = 4 では 101.40 となり、n が近づくにつれて限りなく大きくなります。その増加分はすべて定数部分にあります。1/(n + 1)、つまりここでは 100.00 を引くと、(1, 0) を通る原始関数が得られます。これが実線の曲線であり、ln 4 = 1.3863 に対して 1.3959 となっています。n を −2 から 0 まで動かすを押して、n が −1 を通り過ぎるのを観察してください。ゴーストはグラフの外に消えますが、実線の曲線が飛ぶことはなく、n = −1 で ln x になります。飛ぶはずがありません。なぜなら、これは 1 から x までの tⁿ の下の面積だからです。n が少し変化しても、それぞれの高さ tⁿ は少ししか変化しません。グレゴワール・ド・サン＝ヴァンサンは、1647 年の著書 Opus geometricum の中で、別のアプローチから同じ事実にたどり着きました。a から b までの双曲線の面積は、b/a だけに依存するという事実です。彼の弟子であるアルフォンス・アントニオ・デ・サラサは、これによってその面積が対数になることを見抜きました。

ln x が 1/x の答えになるのは直線の半分だけ

1/x に対する ln x を押してください。練習問題は −4 ≤ x ≤ 4 における 1/x の原始関数を求めており、ここでは ln x と入力されています。ln x が存在する範囲では常にその導関数が 1/x になるため、正解のように見えます。しかし判定では弾かれます。1/x が −0.364 となる x = −2.75 において、ln x は値を持たないからです。両側で成り立つのは ln|x| です。ln(−x) を微分すると −1/(−x) = 1/x になるからです。それを入力すると、上のパネルには二つの枝が描かれ、それぞれ異なる量だけ移動した灰色のコピーも表示されます。これらも正解になります。ln|x| + 3sgn(x) と入力してみてください。これは 0 の右側で ln|x| + 3、左側で ln|x| − 3 となり、正解と判定されます。パネルには、ln|x| との差が 3 と −3 の二つの平らな線として描かれます。1/x は 0 で未定義であるため、左側の定数と右側の定数を結びつけるものは何もありません。公式集では ln|x| + C と一つの C で書かれていますが、定義域全体で見ると、一般の原始関数は左右それぞれに定数を持ちます。x³ のように被積分関数が区間全体で連続している場合、その導関数が至る所で一致していたとしても、値が飛ぶような答えは不正解になります。

全く似ていない二つの答えがどちらも正解になることがある

一つの答えの二つの形 を押してください。被積分関数は (x + 1)² です。指数を増やして割ると (x + 1)³/3 になり、先に展開すると x³/3 + x² + x になります。並べてみると一方が正解でもう一方が間違いのように見えますが、練習問題はどちらも受け入れます。あなたの F からこちらの式 F₀ を引いた値 の行を見るとその理由がわかります。(x + 1)³/3 を展開すると x³/3 + x² + x + 1/3 になるため、すべての点で −1/3 となるのです。よりはっきりとした例として、2 sin x cos x を押してみてください。sin²x と −cos²x、そして −cos(2x)/2 には共通する項が一つも見当たりませんが、すべて正解であり、それぞれ 1 や ½ ずつ離れています。つまり、判定処理では、入力された答えとページが用意した式を比較しているわけではありません。入力された式を微分しているのです。微分は一つの結果を導く手順だからです。そして、その結果を被積分関数と比較します。原始関数を求めることは探索であり、二つの正しい探索が異なる定数に行き着くこともあるのです。

学習の道すじ

積分法

参考文献 (2)

The definition the page checks against (“F is an antiderivative of f if F′(x) = f(x) for all x in the domain of f”), the power rule with its exception (Theorem 4.15: for n ≠ −1, ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C), and the derivation of d/dx ln|x| = 1/x from ln(−x) on x < 0: G. Strang and E. Herman, Calculus Volume 1, OpenStax (2016), section 4.10, “Antiderivatives”.
Grégoire de Saint-Vincent's Opus geometricum (Antwerp, 1647) showed that the area under a rectangular hyperbola over [a, b] equals the area over [c, d] when a/b = c/d, and his pupil Alphonse Antonio de Sarasa made the connection with logarithms: J. J. O'Connor and E. F. Robertson, “Grégoire de Saint-Vincent”, MacTutor History of Mathematics Archive, University of St Andrews (last updated November 2010).

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