2曲線間の面積

上下関係が入れ替わらない限り、2曲線間の面積は「上の式 − 下の式」を積分するだけで求まります。交差すると差の符号が反転し、本来足すべき面積を積分が引き算してしまうのです。ここでは交点を自動で割り出して区間を分割し、正しい面積と単純な定積分を並べて表示します。

2曲線間の面積	$A=\int_{a}^{b}\bigl\|f(x)-g(x)\bigr\|\,dx$
交点 c で分割	$\begin{aligned}\int_{a}^{b}\bigl\|f-g\bigr\|\,dx&=\int_{a}^{c}(g-f)\,dx\\&\quad+\int_{c}^{b}(f-g)\,dx\end{aligned}$

計算例 — 2曲線間の面積

交点で分割した面積	0.5
分割しない差の定積分	0
区間内の交点	1

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レッスン

理論 — 2曲線間の面積

区間 [a, b] における f と g の二曲線間の面積は、∫ₐᵇ |f(x) − g(x)| dx です。一方の曲線が一貫して上側にあるなら ∫(上 − 下) dx で計算できますが、途中で交差する場合は交点で区間を分割し、それぞれの区間で上から下を引いて積分します。

各記号の意味

f, g: 二つの曲線。x の関数ですが、領域を別の向きにスライスする場合は y の関数になります

公式の導き方

交点を求める。交点とは、区間の内部で f − g の符号が切り替わり、曲線の上下が入れ替わる場所のことです。方程式 f = g を解いてこれらを求めます。単に接しているだけの点は上下が入れ替わらないため、ここでの交点には当たりません。
$f(x)=g(x)\ \Rightarrow\ x=c_1,\dots,c_k$
各区間で「上 − 下」を積分する。隣り合う交点の間では常に一方の曲線が上に来るため、被積分関数は正となり、その積分値がそのまま各部分の面積になります。
$A=\sum_{i}\left|\int_{c_i}^{c_{i+1}}\bigl(f(x)-g(x)\bigr)\,dx\right|$

全プロセスの詳細解説

放物線と直線 2 ステップ
y = x² と y = x + 2 で囲まれた面積を求めよ。

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1. x² = x + 2 の解が交点となります：
  
  $x^{2}=x+2\ \Rightarrow\ (x-2)(x+1)=0\ \Rightarrow\ x=-1,\ 2$
2. −1 と 2 の間では直線が上にあります：
  
  $\int_{-1}^{2}\left(x+2-x^{2}\right)dx=\Bigl[\tfrac{x^{2}}{2}+2x-\tfrac{x^{3}}{3}\Bigr]_{-1}^{2}=\tfrac{10}{3}+\tfrac{7}{6}=\tfrac{9}{2}$
解答

9/2 = 4.5。 どこか一箇所で上下を確かめてみましょう。x = 0 では直線が 2、放物線が 0 です。

$A=\tfrac{9}{2}=4{.}5$
区間の途中で交差する曲線 2 ステップ
[−1, 1] において y = x³ と y = x で挟まれた面積を求めよ。

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1. 交点は x = −1, 0, 1 であり、0 で上下が入れ替わります：
  
  $x^{3}=x\ \Rightarrow\ x=-1,\ 0,\ 1$
2. 各区間で上にある曲線から引いて積分します：
  
  $\int_{-1}^{0}\left(x^{3}-x\right)dx+\int_{0}^{1}\left(x-x^{3}\right)dx=\tfrac14+\tfrac14$
解答

½。 [−1, 1] で x − x³ を分割せずにそのまま定積分すると 0 になってしまいます。解説で注意した通りの結果です。

$A=\tfrac12$
二つの三角関数 2 ステップ
[0, π/2] において y = sin x と y = cos x で挟まれた面積を求めよ。

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1. tan x = 1 となる π/4 で交差し、それより左では cos x が上にあります：
  
  $\sin x=\cos x\ \Rightarrow\ x=\tfrac{\pi}{4}$
2. 二つの区間を合わせると：
  
  $\int_{0}^{\pi/4}(\cos x-\sin x)\,dx+\int_{\pi/4}^{\pi/2}(\sin x-\cos x)\,dx=(\sqrt2-1)+(\sqrt2-1)$
解答

2√2 − 2 ≈ 0.8284。 x = π/4 に関して図形が対称であるため、二つの領域の面積は等しく、それぞれ √2 − 1 です。

$A=2\sqrt2-2\approx0{.}8284$
y 軸方向のスライス 2 ステップ
x = y² と x = y + 2 で囲まれた面積を求めよ。

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1. y² = y + 2 より交点は y = −1 と y = 2 です。直線の方が右（値が大きい側）にあります：
  
  $y^{2}=y+2\ \Rightarrow\ y=-1,\ 2$
2. y による一度の積分：
  
  $\int_{-1}^{2}\left(y+2-y^{2}\right)dy=\tfrac{9}{2}$
解答

9/2 = 4.5。 直線 y = x に関して最初の問題を折り返した図形なので、面積もまったく同じ値になります。

$A=\tfrac{9}{2}=4{.}5$
両端でのみ交わる曲線 1 ステップ
[0, 1] において y = √x と y = x² で挟まれた面積を求めよ。

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1. 0 と 1 の間では √x が常に上にあります：
  
  $\int_{0}^{1}\left(\sqrt{x}-x^{2}\right)dx=\Bigl[\tfrac23x^{3/2}-\tfrac{x^{3}}{3}\Bigr]_{0}^{1}=\tfrac23-\tfrac13$
解答

1/3。 二つの曲線は y = x に関して互いに対称であり、直線 y = x がこの領域を二等分して 1/6 ずつの面積に分けます。

$A=\tfrac13$
三つの交点を持つ曲線 2 ステップ
y = x³ − x と y = 3x で囲まれた領域の全面積を求めよ。
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1. x³ − 4x = 0 より、交点は x = −2, 0, 2 です：
  
  $x^{3}-x=3x\ \Rightarrow\ x^{3}-4x=0\ \Rightarrow\ x=-2,\ 0,\ 2$
2. 二つの部分は原点を中心に半回転させると重なる同じ形ですから、3x が上にある右側の部分を 2倍します：
  
  $A=2\int_{0}^{2}\left(4x-x^{3}\right)dx=2\Bigl[2x^{2}-\tfrac{x^{4}}{4}\Bigr]_{0}^{2}=2(8-4)$
解答

8。 [−2, 2] で区間を分けずにそのまま定積分すると、やはり 0 になってしまいます。

$A=8$

補充問題（答えのみ）

y = x² と y = 2x − x² で囲まれた部分の面積を求めなさい。

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1/3 ≈ 0.3333。交点の x 座標は x = 0 と x = 1 です。

$A=\tfrac13\approx0{.}3333$
x = 0 から x = 1 までの範囲で、y = eˣ と y = x の間の部分の面積を求めなさい。

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e − 3/2 ≈ 1.2183。交点がないので、指定された区間の両端がそのまま積分の下端と上端になります。

$A=e-\tfrac32\approx1{.}2183$
y = x² − 4 と x 軸で囲まれた部分の面積を求めなさい。

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32/3 ≈ 10.6667。この部分は x 軸より下にあるため、x² − 4 を区間 [−2, 2] で積分すると −32/3 になります。

$A=\tfrac{32}{3}\approx10{.}6667$
y = √x、y = 2 − x、x 軸で囲まれた部分の面積を求めなさい。

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7/6 ≈ 1.1667。y について積分すれば、∫₀¹ (2 − y − y²) dy という一つの積分で求められます。x について積分する場合は、x = 1 で区間を分け、二つの積分を計算する必要があります。

$A=\int_{0}^{1}\left(2-y-y^{2}\right)dy=\tfrac76\approx1{.}1667$
y = x、y = 1/x、直線 x = 2 で囲まれた部分の面積を求めなさい。

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3/2 − ln 2 ≈ 0.8069。交点のある x = 1 から x = 2 まで積分して求めます。

$A=\int_{1}^{2}\left(x-\tfrac1x\right)dx=\tfrac32-\ln2\approx0{.}8069$

しっかり面積があっても、差の定積分は 0 になることがある

x³とx：積分は0、でも面積はあるを押してみてください。区間 [−1, 1] で、二つの曲線は 0 で交差します。0 より左側では x³ が上、右側では x が上に来ます。原点を中心に半回転させると重なる二つの部分はまったく同じ形で、面積はそれぞれ 0.25 です。x − x³ をそのまま積分すると、右側を正、左側を負として計算するため、結果は 0 に行き着きます。けれど、実際の面積は 0.5 です。同じ現象をもっと大きなスケールで見るなら、sinとcos：ぐるりと一周を押してみてください。面積は 4√2 ≈ 5.6569 もあるのに、積分値はきっかり 0 です。f − g の積分が測るのは、差し引きで f が g をどれだけ上回っているかです。これに対して面積が求めるのは |f − g| であり、絶対値を積分するには中身の符号が切り替わる境目で区間を分割します。

切り方ひとつで、積分は一度にも二度にもなる

x = y² と x = y + 2 を押してみましょう。y 軸方向にスライスすると、どの短冊も左端が放物線、右端が直線で揃うため、一度の積分で計算できます。−1 から 2 までの ∫ (y + 2 − y²) dy = 4.5 です。一方、同じ領域を x 軸方向にスライスしようとすると、途中で短冊の下端が変わってしまいます。x = 1 までは上下両方の端が放物線 y = ±√x 上にあり、1 から 4 までは下端が直線になります。これでは √x を含む二つの積分を計算しなければなりません。答えは同じ 4.5 です。どちらの変数を選ぶか決める前に、各スライスがどの境界線にぶつかるか確かめてみましょう。

アルキメデスが積分なしで求めた面積：三角形の 4/3

アルキメデスの放物線 を押してみてください。直線 x + 2 は放物線と (−1, 1) および (2, 4) で交わり、挟まれた部分の面積は 4.5 です。この二点を結ぶ弦を底辺とし、弦と平行な接線が放物線に接する点 (½, ¼) を頂点とする三角形を描いてみましょう。その面積は 3.375 であり、4.5 はまさにその 4/3 倍にあたります。アルキメデスは紀元前250年頃、『放物線の求積』の中でこれを証明しました。弓形領域を次々に三角形で埋め尽くし、各世代の面積が前の世代の ¼ になることを見抜いて、1 + ¼ + 1/16 + … = 4/3 という和を導いたのです。現代の定積分なら、わずか一行で同じ値に達します。彼の解法に微積分が使われていないのは、当時はまだ微積分そのものが存在しなかったからです。

学習の道すじ

積分の応用

参考文献 (2)

The method as the page uses it: Theorem 6.1 (∫ₐᵇ [f − g] dx when f ≥ g), Theorem 6.2 (∫ₐᵇ |f − g| dx for curves that cross, split at the intersections) and Theorem 6.3 (∫꜀ᵈ [u(y) − v(y)] dy along the y-axis): G. Strang and E. Herman, Calculus Volume 1, OpenStax (2016), section 6.1, “Areas between Curves”.
Insight block 3: Proposition 24, “Every segment bounded by a parabola and a chord Qq is equal to four-thirds of the triangle which has the same base as the segment and equal height” (p. 251), proved through Proposition 23's sum of areas each a quarter of the one before (p. 250): T. L. Heath (ed.), The Works of Archimedes, Cambridge University Press (1897), “Quadrature of the Parabola”, Propositions 23–24, pp. 250–251.

7 Raven Room チーム · 公表された資料と照合しています。訂正のご指摘を歓迎します。