指数法則、そしてなぜ a⁰ は 1 になるのか

a½ とは何か、そして誰がそれを決めたのか？ このツールが扱うのは整数の指数だけです。しかし、a⁰ の意味を強制した規則はそこでは止まりません。では、その規則が 1/2 に対してどのような意味を要求するのかを導き出してみましょう。

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1. ツールの三行目に示されている法則から出発し、目で確認できる例を使って確かめてみてください。累乗をさらに累乗すると、指数は掛け合わされます。

   $$\left(a^{m}\right)^{n}=a^{mn} \qquad\Longrightarrow\qquad \left(3^{2}\right)^{3}=3^{6}=729$$

2. 今度はその同じ法則に、指数を 1/2、外側の累乗を 2 にして当てはめてみます。右辺は a¹ となり、つまり a のことです。

   $$\left(a^{1/2}\right)^{2}=a^{\frac{1}{2}\times 2}=a^{1}=a$$

3. これが何を意味しているのか読み解いてみましょう。a½ とは、2乗すると a になる数、つまり平方根のことです。ここで新たな定義は何も行われていません。法則が他の解釈の入り込む余地を残さなかったのです。

   $$a^{1/2}=\sqrt{a}$$

4. 全く同じ手順で、すべての累乗根が定まります。外側の累乗を 3 にすれば、3乗して a になる数が得られます。

   $$\left(a^{1/3}\right)^{3}=a^{1}=a \qquad\Longrightarrow\qquad a^{1/3}=\sqrt[3]{a}$$

5. そして、さらなる規則を付け足すことなく、分数の指数も解決します。16 の 3/2 乗は、平方根の 3乗であるか、3乗の平方根であるかのどちらかですが、法則はこれらが一致すると告げています。4³ も √4096 も、ともに 64 です。

   $$16^{3/2}=\left(16^{1/2}\right)^{3}=4^{3}=64, \qquad \left(16^{3}\right)^{1/2}=\sqrt{4096}=64$$

6. ここで問題になるのは代数計算ではなく、どの根を選ぶのかという点です。−8 には −2 という実数の立方根が一つあり、さらに二つの複素数の立方根も存在します。三つのプログラムに計算させると、三つの異なる答えが返ってくるでしょう。実数の慣例に沿った −2、JavaScript が返す NaN、そして代わりに主値を取る Python が出力する 1 + i√3 です。

   $$(-8)^{1/3}\in\left\{-2,\ 1+i\sqrt{3},\ 1-i\sqrt{3}\right\}$$