積の微分と商の微分

横が u、縦が v の長方形があります。x を h だけ進めると、右側に縦長の帯、上側に横長の帯、そして隅に小さな角が加わります。h を小さくしながら各部分を h で割り、三つのうちどれが極限で生き残るかを確かめてみましょう。

積の微分法	$(uv)'=u'v+uv'$
商の微分法	$\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^{2}},\qquad v\neq0$

計算例 — 積の微分と商の微分

x での面積	6
右側の帯	3
上側の帯	4
角	2
増えた面積（三つの合計）	9
u′ × v	3
u × v′	4
積の微分公式 (uv)′	7

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レッスン

理論 — 積の微分と商の微分

u と v が x で微分可能であるとき、積の導関数は u′v + uv′、v ≠ 0 であるところでは商の導関数は (u′v − uv′)/v² となります。どちらも、ひとつの図から自然に導かれます。x が増えるにつれて大きくなる、横幅 u・高さ v の長方形です。

各記号の意味

u: 長方形の横幅。x の微分可能な関数
v: 長方形の高さ。同じく微分可能な関数
h: x の増分。Δu = u(x + h) − u(x)、Δv も同様

公式の導き方

長方形を広げる。 x を h だけ進めます。横幅は u + Δu、高さは v + Δv となり、新しい長方形から元の面積を引いた差は三つの部分に分かれます。右側の帯、上側の帯、そして角の小片です。図の青、琥珀色、深紅の部分がそれぞれ対応しています。
$(u+\Delta u)(v+\Delta v)-uv=\Delta u\,v+u\,\Delta v+\Delta u\,\Delta v$
h で割り、h を小さくする。 Δu/h は u′ へ、Δv/h は v′ へと近づくため、二つの帯から u′v + uv′ が生まれます。角の小片は (Δu/h)·Δv。変化率と変化量の積です。x で微分可能な関数はその点において必ず連続ですから、変化量 Δv は 0 へ向かいます。二つ目のパネルで帯の線が一定値へと落ち着くあいだに、角の線がゼロへと落ちていくのはそのためです。直感で選びがちな u′v′ という答えは、こうして姿を消してしまう唯一の小片なのです。
$\frac{\Delta A}{h}=\frac{\Delta u}{h}\,v+u\,\frac{\Delta v}{h}+\underbrace{\frac{\Delta u}{h}}_{\to\,u'}\,\underbrace{\Delta v}_{\to\,0}\ \longrightarrow\ u'v+uv'$
積から商を導く。商を q = u/v とおけば、u = q·v と表せます。先ほど求めた積の公式でこの両辺を微分し、q′ について解いてみましょう。公式に現れるマイナス符号の正体は、等式の反対側へ移項された上側の短冊 qv′ です。もっとも、この導出は q の導関数がそもそも存在することを前提にしています。実際には、v ≠ 0 である限り導関数は存在します。差分をとると Δq = (v·Δu − u·Δv)/(v(v + Δv)) であり、これを h で割って h を 0 に近づければ、v + Δv は v に近づくため、まったく同じ公式が得られます。
$u=qv\ \Rightarrow\ u'=q'v+qv'\ \Rightarrow\ q'=\frac{u'-qv'}{v}=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}$

前提: 図を描くには長方形の二辺がともに正である必要がありますが、公式そのものにそのような制限はありません。x で微分可能なすべての u と v について成り立ち、商についても v(x) ≠ 0 でありさえすれば成立します。

全プロセスの詳細解説

二つの多項式と x = 2 における接線 4 ステップ
f(x) = (x² + 1)(3x − 2) を微分し、先に展開した結果と照合して確かめ、さらに x = 2 における接線の方程式を求めましょう。

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1. 二つの因数をそれぞれ u, v と置き、個別に微分します。使うのはべき乗の微分公式だけです：
  
  $u=x^{2}+1,\quad u'=2x;\qquad v=3x-2,\quad v'=3$
2. u′v + uv′ にあてはめ、同類項を整理します：
  
  $f'(x)=2x(3x-2)+3\left(x^{2}+1\right)=9x^{2}-4x+3$
3. 先に式を展開してから項別に微分してみましょう。まったく同じ多項式に戻ることで、公式が正しく機能していることが確かめられます：
  
  $f(x)=3x^{3}-2x^{2}+3x-2\ \Rightarrow\ f'(x)=9x^{2}-4x+3$
4. x = 2 で曲線の高さは 20、傾きは 31 です。したがって接線は、点 (2, 20) を通り傾き 31 の直線となります：
  
  $f(2)=5\cdot4=20,\quad f'(2)=36-8+3=31,\qquad y-20=31(x-2)$
解答

f′(x) = 9x² − 4x + 3、x = 2 における接線は y = 31x − 42 です。画面上では x = 2 での微係数 31 の内訳が表示されています。右側の短冊 u′v = 4 × 4 から 16、上側の短冊 uv′ = 5 × 3 から 15 がそれぞれ加わっています。

$f'(x)=9x^{2}-4x+3,\qquad y=31x-42$
べき関数と正弦関数の積 3 ステップ
f(x) = x² sin x を微分し、x = π/2 における傾きを求めましょう。

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1. それぞれの因数と、その導関数です：
  
  $u=x^{2},\quad u'=2x;\qquad v=\sin x,\quad v'=\cos x$
2. 公式にあてはめます。共通因数 x でくくり出した形にしておくのが自然です：
  
  $f'(x)=2x\sin x+x^{2}\cos x=x\left(2\sin x+x\cos x\right)$
3. x = π/2 では正弦が 1、余弦が 0 になるため、二つ目の項が消えて u′v だけが残ります：
  
  $f'\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=2\cdot\tfrac{\pi}{2}\cdot1+\left(\tfrac{\pi}{2}\right)^{2}\cdot0=\pi$
解答

f′(x) = 2x sin x + x² cos x、f′(π/2) = π ≈ 3.1416 です。画面上では、上側の短冊 uv′ の値が 0 と表示されます。高さ sin x が山の頂上で変化を止めているため、この瞬間の変化率はすべて底辺の伸びから生じています。

$f'(x)=2x\sin x+x^{2}\cos x,\qquad f'\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=\pi\approx3{.}1416$
x eˣ の接線が水平になる点 4 ステップ
f(x) = x eˣ のグラフで接線が水平になる点を求め、それが極大か極小かを判定しましょう。

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1. それぞれの因数と、その導関数です。eˣ の導関数は自分自身です：
  
  $u=x,\quad u'=1;\qquad v=e^{x},\quad v'=e^{x}$
2. 公式にあてはめ、共通因数の eˣ でくくります。積が 0 になるのは因数のいずれかが 0 のときだけですから、因数分解した形で表すのが定石です：
  
  $f'(x)=e^{x}+xe^{x}=e^{x}(1+x)$
3. eˣ が 0 になることは決してないため、傾きが 0 になるのは括弧の中身が 0 になるときだけです：
  
  $e^{x}>0\ \Rightarrow\ f'(x)=0\iff x=-1,\qquad f(-1)=-e^{-1}\approx-0{.}3679$
4. その前後を調べてみましょう。傾きは −2 で負、0 で正となるため、曲線は下がってから上がることになります：
  
  $f'(-2)=-e^{-2}<0,\qquad f'(0)=1>0$
解答

(−1, −1/e) ≈ (−1, −0.3679) で極小をとります。x = −1 において、画面は二つの短冊 0.3679 と −0.3679 がぴったり相殺して 0 になる様子を示しています。一辺 u = −1 が負になるため画面に長方形を描くことはできませんが、公式は何事もなく成立します。

$f_{\min}=f(-1)=-\tfrac{1}{e}\approx-0{.}3679$
べき乗と対数の積 3 ステップ
x > 0 で f(x) = x³ ln x を微分し、減少が止まる点を求めましょう。

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1. 各因数とその導関数：
  
  $u=x^{3},\quad u'=3x^{2};\qquad v=\ln x,\quad v'=\tfrac{1}{x}$
2. 式を組み立てます。第二項は x³ · 1/x = x² と簡単になり、両項に共通因数 x² が現れます：
  
  $f'(x)=3x^{2}\ln x+x^{3}\cdot\tfrac{1}{x}=3x^{2}\ln x+x^{2}=x^{2}\left(3\ln x+1\right)$
3. x > 0 では x² は正ですから、0 になり得るのは括弧の中身だけです：
  
  $3\ln x+1=0\ \Rightarrow\ \ln x=-\tfrac13\ \Rightarrow\ x=e^{-1/3}\approx0{.}7165$
解答

f′(x) = x²(3 ln x + 1)。x = e^(−1/3) ≈ 0.7165 で 0 になります。この左側では括弧内が負となって f は減少し、右側では増加します。x = 1 では ln 1 = 0 のため画面には u′v = 0 と表示され、変化率 1 のすべてを二番目の帯が担っています。x を 0.71 から 0.72 へスライドさせてみてください。計算値の符号が −0.0138 から 0.0075 へと反転します。

$f'(x)=x^{2}\left(3\ln x+1\right),\qquad f'\!\left(e^{-1/3}\right)=0,\quad e^{-1/3}\approx0{.}7165$
平方根と多項式の積 4 ステップ
f(x) = √x (x² − 4) を微分し、答えを一つの分数にまとめましょう。

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1. まず √x をべき乗の形に直せば、あとは通常通りべき乗の微分公式が使えます：
  
  $u=x^{1/2},\quad u'=\tfrac12x^{-1/2}=\dfrac{1}{2\sqrt{x}};\qquad v=x^{2}-4,\quad v'=2x$
2. 公式に当てはめます：
  
  $f'(x)=\dfrac{x^{2}-4}{2\sqrt{x}}+2x\sqrt{x}$
3. 両項を通分して分母を 2√x に揃えます。√x · √x = x ですから、第二項は 4x²/(2√x) となります：
  
  $2x\sqrt{x}=\dfrac{4x^{2}}{2\sqrt{x}}\ \Rightarrow\ f'(x)=\dfrac{x^{2}-4+4x^{2}}{2\sqrt{x}}=\dfrac{5x^{2}-4}{2\sqrt{x}}$
4. x = 4（√x = 2）で確かめてみます：
  
  $f'(4)=\dfrac{80-4}{2\cdot2}=\dfrac{76}{4}=19$
解答

f′(x) = (5x² − 4)/(2√x)。x = 4 では画面に 19 と表示されます。右の帯からの 3 と、上の帯からの 16 を足し合わせた結果です。

$f'(x)=\dfrac{5x^{2}-4}{2\sqrt{x}}$
eˣ sin x の二階微分 3 ステップ
f(x) = eˣ sin x の f′(x) と f″(x) を求めましょう。

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1. 各因数とその導関数：
  
  $u=e^{x},\quad u'=e^{x};\qquad v=\sin x,\quad v'=\cos x$
2. 公式に当てはめて、eˣ でくくります：
  
  $f'(x)=e^{x}\sin x+e^{x}\cos x=e^{x}\left(\sin x+\cos x\right)$
3. f′ 自体も eˣ と (sin x + cos x) の積ですから、もう一度公式を適用します。sin の項は相殺されます：
  
  $f''(x)=e^{x}\left(\sin x+\cos x\right)+e^{x}\left(\cos x-\sin x\right)=2e^{x}\cos x$
解答

f′(x) = eˣ(sin x + cos x)、f″(x) = 2eˣ cos x。x = 0 では画面に f′ = 1 と表示されます。これはすべて上の帯（e⁰ cos 0）によるものです。二階導関数はこの画面の一歩先ですが、計算させる工夫があります。u = e^x、v = sin(x) + cos(x) と入力してみてください。0 で画面が表示する計算結果は f″(0) = 2 となります。

$f'(x)=e^{x}\left(\sin x+\cos x\right),\qquad f''(x)=2e^{x}\cos x$
商としての tan x 3 ステップ
tan x を sin x / cos x と表して商の微分公式で導関数を求めなさい。x = π/4 における傾きはいくらになるでしょうか。

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1. 分子と分母、そしてそれぞれの導関数：
  
  $\begin{aligned}u&=\sin x,&u'&=\cos x\\v&=\cos x,&v'&=-\sin x\end{aligned}$
2. 公式にあてはめます。分子は cos²x + sin²x、すなわち 1 です：
  
  $\begin{aligned}(\tan x)'&=\dfrac{\cos x\cos x-\sin x\,(-\sin x)}{\cos^{2}x}\\&=\dfrac{\cos^{2}x+\sin^{2}x}{\cos^{2}x}=\dfrac{1}{\cos^{2}x}\end{aligned}$
3. π/4 における余弦は √2/2 ですから、その二乗は 1/2 となります：
  
  $\begin{aligned}&\cos^{2}\tfrac{\pi}{4}=\left(\tfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}=\tfrac12\\&(\tan x)'\big|_{x=\pi/4}=2\end{aligned}$
解答

(tan x)′ = 1/cos²x = sec²x であり、π/4 における傾きは 2 です。画面上では u′v が 0.5、uv′ が −0.5 と表示されています。商の公式では後者を引くため、分子は 0 ではなく 1 になります。cos²x が 1 を超えることは決してありませんから、傾きが 1 を下回ることもありません。定義域内であればどこでも、tan x は直線 y = x と同等以上の急な勾配で立ち上がっていきます。

$\begin{aligned}&(\tan x)'=\dfrac{1}{\cos^{2}x}=\sec^{2}x\\&(\tan x)'\big|_{x=\pi/4}=2\end{aligned}$
x/(x² + 1) が向きを変えるところ 3 ステップ
f(x) = x/(x² + 1) の停留点を求め、どちらが極大でどちらが極小かを判定しなさい。

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1. 分子と分母、そしてそれぞれの導関数：
  
  $\begin{aligned}u&=x,&u'&=1\\v&=x^{2}+1,&v'&=2x\end{aligned}$
2. 公式にあてはめ、分子を整理します：
  
  $\begin{aligned}f'(x)&=\dfrac{1\cdot\left(x^{2}+1\right)-x\cdot2x}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}\\&=\dfrac{1-x^{2}}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}\end{aligned}$
3. 分母の (x² + 1)² はすべての x において正ですから、f′ の符号は 1 − x² で決まります。±1 で 0、その間では正、外側では負です。
  
  $\begin{aligned}&f'(x)=0\iff x=\pm1\\&f'(0)=1>0,\qquad f'(\pm2)=-\tfrac{3}{25}<0\end{aligned}$
解答

極大値 f(1) = 1/2、極小値 f(−1) = −1/2 です。x = 1 では画面の u′v と uv′ がともに 2 を示しており、その差、すなわち傾きは 0 になります。

$f_{\max}=f(1)=\tfrac12,\qquad f_{\min}=f(-1)=-\tfrac12$
先に割り算をする 3 ステップ
f(x) = (x³ − 2)/x² を、商の微分公式を用いる方法と先に割り算をしておく方法の二通りで微分し、x = 1 における傾きを求めなさい。

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1. u = x³ − 2、v = x² として商の微分公式にあてはめると：
  
  $\begin{aligned}f'(x)&=\dfrac{3x^{2}\cdot x^{2}-\left(x^{3}-2\right)\cdot2x}{x^{4}}\\&=\dfrac{x^{4}+4x}{x^{4}}=1+\dfrac{4}{x^{3}}\end{aligned}$
2. 先に割り算を済ませておけば二つのべき乗に分かれ、それぞれ単独で微分できます：
  
  $\begin{aligned}f(x)&=\dfrac{x^{3}}{x^{2}}-\dfrac{2}{x^{2}}=x-2x^{-2}\\f'(x)&=1+4x^{-3}=1+\dfrac{4}{x^{3}}\end{aligned}$
3. どちらの方法でも同じ導関数が得られます。x = 1 では：
  
  $f'(1)=1+4=5$
解答

f′(x) = 1 + 4/x³ であり、f′(1) = 5 です。分母が x の単一のべき乗なら、分子の各項をそれぞれ割れば十分で、商の公式を使う必要はありません。もっとも、この画面では常に公式に従って計算しています。x = 1 では u′v = 3、uv′ = −2 と表示されるため、分子は 3 − (−2) = 5、分母は v² = 1 となります。

$f'(x)=1+\dfrac{4}{x^{3}},\qquad f'(1)=5$
三辺がすべて変化する直方体 4 ステップ
長方形に奥行き w = 3 − x を与え、三辺が x + 1、2x + 1、3 − x である直方体を考えます。x = 1 における体積の変化率を求め、任意のステップ h に対する ΔV/h の厳密な式を求めてみましょう。例題を押すと、x = 1 で画面には (uv)′ = 7 と表示され、h = ½ のとき ΔA/h = 8 となります。

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1. 直方体を「底面の長方形 uv × 奥行き w」と見なし、積の微分公式を二度使います。内側の微分はすでに画面上で求めてあります：
  
  $(uvw)'=(uv)'\,w+uv\,w'=7\cdot2+6\cdot(-1)=8$
2. 変化率で確認してみましょう。三辺はそれぞれ自身の大きさに対して 2 に対する 1、3 に対する 2、2 に対する −1 の割合で変化しており、積の変化率はそれらの和になります：
  
  $\frac{V'}{V}=\frac{1}{2}+\frac{2}{3}-\frac{1}{2}=\frac{2}{3},\qquad V'=12\cdot\frac{2}{3}=8$
3. 次は刻み幅 h による厳密な計算です。各辺が直線（一次式）なので Δu = h、Δv = 2h、Δw = −h となり、掛け合わせると三枚の板、三本の縁、そして一つの角の小立方体に分かれます：
  
  $\Delta V=(2+h)(3+2h)(2-h)-12=8h-3h^{2}-2h^{3}$
4. 全体を h で割ります。板の部分が導関数を与え、縁と立方体には h が掛けられているため極限で消え去ります：
  
  $\frac{\Delta V}{h}=8-3h-2h^{2},\qquad h=1:\ 3,\qquad h=\tfrac{1}{2}:\ 6$
解答

厳密に V′(1) = 8、そして ΔV/h = 8 − 3h − 2h² となります。三枚の板 u′vw、uv′w、uvw′（それぞれ 6、8、−6）が極限で生き残り、三本の縁（合計で −3）には h が、角の立方体 u′v′w′ = −2 には h² が伴います。h = 1 という 1 単位のステップでは体積は 12 から 15 へと 3 しか変化せず、8 とは似ても似つかない値になります。h = 1 では縁や角の立方体が他の部分と同じくらい大きく影響してしまうからです。

$V'(1)=8,\qquad \frac{\Delta V}{h}=8-3h-2h^{2}$

補充問題（答えのみ）

(2x + 1)(x² − 3) を微分しましょう。

答えを表示

6x² + 2x − 6

$f'(x)=6x^{2}+2x-6$
x³eˣ を微分し、因数分解した形で答えてください。

答えを表示

x²eˣ(x + 3)

$f'(x)=x^{2}e^{x}(x+3)$
(x + 1)/(x − 1) を微分してみましょう。

答えを表示

−2/(x − 1)²。定義域全体で常に負となります。

$f'(x)=-\dfrac{2}{(x-1)^{2}}$
ln x / x の停留点と、そこでの値を求めましょう。

答えを表示

f′(x) = (1 − ln x)/x²。x = e で 0 となり、そこでの値は f = 1/e ≈ 0.3679 です。

$\begin{aligned}&f'(x)=\dfrac{1-\ln x}{x^{2}}\\&x=e,\quad f(e)=\tfrac1e\approx0{.}3679\end{aligned}$
sin x / x を微分してください。

答えを表示

(x cos x − sin x)/x²

$f'(x)=\dfrac{x\cos x-\sin x}{x^{2}}$
x = 1 における y = x/(x + 1) の接線を求めてみましょう。

答えを表示

y′ = 1/(x + 1)² より傾きは 1/4、接線は y = x/4 + 1/4 です。

$y=\tfrac14x+\tfrac14$

誤った公式の正体は「角」

「角」を押して、ステップ全体の変化を眺めてみてください。長方形の右側に帯が一本、上側にも一本、そして隅に小さな角の小片が加わります。この角こそが、まさに u′v′ です。ここで h を半分にし、さらにもう半分にしてみましょう。h で割った二本の帯はその大きさを保ち続けますが、角の小片は h とともに縮み、極限では消えてしまいます。つまり、(uv)′ = u′v′ という予想は、極限が捨て去る小片を残し、残すべき二本の帯を捨ててしまっているのです。ライプニッツも1675年11月11日の手稿でこの予想を立てましたが、数ページ後には x × x を計算して自ら誤りを退けました。

パーセントで見れば、積の変化率は足し算、商の変化率は引き算

「パーセント」を押してみましょう。x が 1 単位増えるごとに、一方の辺は自身の 3%、もう一方の辺は 2% 伸び、面積は 5% 増加します。積の微分公式の両辺を uv で割ってみると、どんな関数の組み合わせであっても、あらゆる x で同じ事実が語られています。相対変化率は足し算になる、ということです。この足し算は一方が負の値でも成り立ちます。価格を 3% 引き上げて販売数量が 2% 落ちたとしても、売上高はおよそ 1% 伸びるのはそのためです。「比」を押すと、同じ二辺による商が 1% 増加することがわかります。商では変化率が引き算になるからです。商の微分公式にあるマイナス記号は、まさにこの引き算を表しています。

積で打ち消し合う二本の帯は、商では足し算になる

「相殺」を押してみてください。x = π/4 のとき、二辺の長さは sin x と cos x です。横幅の伸びる速さと高さの縮む速さが完全に一致するため、二本の帯は大きさが等しく符号が逆になり、面積の変化が止まります。長方形の面積がこれより大きくなることはありません。ここで「tan x」を押すと、まったく同じ二本の帯が商の微分公式に持ち込まれますが、公式のマイナス記号によって、先ほどの打ち消し合いが足し算へと反転します。分母の v が縮めば商は大きくなります。ですから、積において失われた帯を、商は増加分として手に入れるわけです。

学習の道すじ

微分法：変化率はどう結びつくか

参考文献 (2)

Leibniz's guess that d(xy) is dx·dy, its apparent agreement with one example, and its refutation with x times x (“becomes 2βx, which is quite a different thing from” the product of the increments), in a manuscript dated 11 November 1675; and the later derivation d(xy) = (x + dx)(y + dy) − xy = x dy + y dx + dx dy with dx dy omitted as infinitely small: J. M. Child, The Early Mathematical Manuscripts of Leibniz, translated from the Latin texts published by Carl Immanuel Gerhardt, with critical and historical notes. Chicago and London: Open Court, 1920. Pp. 100–102 (manuscript dated 11 November 1675) and p. 143 (Elementa calculi novi, undated).
The product rule (Theorem 3.5) and quotient rule (Theorem 3.6) as the page states them; the warning that the derivative of a product is not the product of the derivatives, with x² as the example (2x, not 1·1); the proof of the product rule from the limit definition, which uses the continuity of the second factor (the lesson's `assumes`): G. Strang and E. Herman, Calculus Volume 1, OpenStax (2016), section 3.3, “Differentiation Rules”.

7 Raven Room チーム · 公表された資料と照合しています。訂正のご指摘を歓迎します。