ビオ・サバールの法則

電流が流れると、そのまわりに磁場ができます。導線の微小な部分がつくる磁場を表すのが、ビオ・サバールの法則です。dB = (μ₀/4π) I dl × r̂/r²。その向きは、導線にも、電流素片から観測点へ引いた直線にも垂直です。各部分の寄与を足し合わせれば、どんな形の導線でも磁場を求められます。形と電流を選び、公式の値と、N個の微小な直線部分による計算値を比べてみましょう。

電流素片がつくる磁場	$d\vec B=\frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{I\,d\vec l\times\hat r}{r^{2}}$
電流に働く力と、二本の導線の間に働く力	$\vec F=I\vec L\times\vec B,\qquad\frac{F}{L}=\frac{\mu_0I_1I_2}{2\pi d}$

計算例 — ビオ・サバールの法則

Pでの磁場B	22.48 μT
12個の電流素片から求めた磁場	23.32 μT
円形コイルの中心での磁場B	31.42 μT
このzでの双極子近似による磁場	251.3 μT

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レッスン

理論 — ビオ・サバールの法則

ビオ・サバールの法則は、電流素片I dlが距離rの点につくる磁場を表します。dB = (μ₀/4π) I dl × r̂/r²。ここでμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/Aです。導線全体の磁場は、各電流素片の寄与を足し合わせたもので、導線に沿った積分で求めます。

各記号の意味

I dl: 微小な導線に流れる電流を、電流の向きを向くベクトルで表したもの
r̂: 電流素片から観測点へ向かう単位ベクトル
φ: dlとr̂のなす角。電流素片がつくる磁場はsin φに比例する

公式の導き方

電流素片がつくる磁場。I dlによる磁場はdlとr̂の両方に垂直で、向きは右ねじの法則で決まります。大きさは(μ₀/4π) I dl sin φ/r²。電流素片がPを通る直線上にあるとき、その寄与は0です。
$d\vec B=\frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{I\,d\vec l\times\hat r}{r^{2}},\qquad dB=\frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{I\,dl\,\sin\varphi}{r^{2}}$
直線電流。Pでは、どの電流素片も同じ向きの磁場をつくります。x = d tan θと置くと、r = d/cos θ、sin φ = cos θとなり、積分は∫cos θ dθの形になります。無限に長い導線なら、積分範囲はθ = −90°から90°です。
$B=\frac{\mu_0I}{4\pi d}\int_{\theta_1}^{\theta_2}\cos\theta\,d\theta=\frac{\mu_0I}{4\pi d}\left(\sin\theta_2-\sin\theta_1\right)\ \to\ \frac{\mu_0I}{2\pi d}$
円形電流の軸上。どの電流素片もPからの距離は√(R² + z²)で、Pへ引いた直線に垂直です。円周全体で足し合わせると、軸に垂直な成分は打ち消し合います。軸方向には、各電流素片がつくる磁場のR/√(R² + z²)倍が残ります。
$B_z=\oint\frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{I\,dl}{R^{2}+z^{2}}\cdot\frac{R}{\sqrt{R^{2}+z^{2}}}=\frac{\mu_0IR^{2}}{2\left(R^{2}+z^{2}\right)^{3/2}}$
円弧電流の中心。どの電流素片も中心からの距離はRで、半径方向に垂直です。そのため、積分の結果はμ₀I/(4πR)に円弧の中心角を掛けたものになります。
$B=\int_{0}^{\theta_0}\frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{IR\,d\theta}{R^{2}}=\frac{\mu_0I\theta_0}{4\pi R}$
導線に働く力。磁場中の電流素片には、dF = I dl × Bの力が働きます。導線内を動く電荷に働く力を足し合わせたものです。長い直線導線を、もう一方の導線がつくる磁場の中に置けば、単位長さ当たりの力が求まります。
$d\vec F=I\,d\vec l\times\vec B,\qquad\frac{F}{L}=I_2\,\frac{\mu_0I_1}{2\pi d}$

前提: 真空中または空気中の細い導線に、定常電流が流れる場合を考えます。円弧に接続する直線導線は中心を通る直線上にあるものとし、中心での磁場への寄与は0とします。Pから離れたところを通る接続導線があれば、その直線部分による磁場も加わります。

全プロセスの詳細解説

直線導線の中点のそば 3 ステップ
長さ20 cmの直線導線に5.0 Aが流れています。中点から垂直に5.0 cm離れた点の磁場Bを求め、無限に長い導線の場合と比べましょう。

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1. 垂線の足から各端までの距離は10 cmです。
  
  $\sin\theta_{2}=-\sin\theta_{1}=\frac{0{.}10}{\sqrt{0{.}10^{2}+0{.}05^{2}}}\approx0{.}8944$
2. 有限の直線電流の公式に代入します。
  
  $B=\frac{\mu_0I}{4\pi d}\left(\sin\theta_2-\sin\theta_1\right)=\frac{(10^{-7})(5{.}0)}{0{.}05}\,(1{.}789)\approx1{.}789\times10^{-5}\ \mathrm{T}$
3. 同じ距離にある、無限に長い直線電流の場合は、
  
  $B_{\infty}=\frac{\mu_0I}{2\pi d}=\frac{(2\times10^{-7})(5{.}0)}{0{.}05}=2{.}0\times10^{-5}\ \mathrm{T}$
解答

17.89 μTです。無限に長い導線なら20 μTになります。点Pから導線を見込む角度は、無限に長い場合の180°に対して126.9°です。

$B\approx17{.}89\ \mu\mathrm{T},\qquad B_{\infty}=20\ \mu\mathrm{T}$
観測点の正面で終わる導線 1 ステップ
5.0 Aが流れる長い直線導線が、観測点から下ろした垂線の足で終わっています。観測点と導線との距離は5.0 cmです。この点の磁場Bを求めましょう。

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1. 導線に対応する角度の範囲はθ₁ = 0からθ₂ = 90°です。
  
  $B=\frac{\mu_0I}{4\pi d}\left(1-0\right)=\frac{(10^{-7})(5{.}0)}{0{.}05}=1{.}0\times10^{-5}\ \mathrm{T}$
解答

10 μT。無限に長い導線による20 μTの半分です。

$B=\frac{\mu_0I}{4\pi d}=10\ \mu\mathrm{T}$
円形コイルの中心と軸上 2 ステップ
半径10 cmの円形コイルに5.0 Aが流れています。中心と、中心から軸に沿って5.0 cm離れた点の磁場Bを求めましょう。

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1. 中心ではz = 0なので、
  
  $B_{0}=\frac{\mu_0I}{2R}=\frac{(4\pi\times10^{-7})(5{.}0)}{2\,(0{.}10)}\approx3{.}142\times10^{-5}\ \mathrm{T}$
2. z = 5.0 cmでは、
  
  $B=\frac{\mu_0IR^{2}}{2\left(R^{2}+z^{2}\right)^{3/2}}=\frac{(4\pi\times10^{-7})(5{.}0)(0{.}01)}{2\,(0{.}0125)^{3/2}}\approx2{.}248\times10^{-5}\ \mathrm{T}$
解答

中心では31.42 μT、5.0 cm離れた点では22.48 μTです。

$B_{0}\approx31{.}42\ \mu\mathrm{T},\qquad B(5\ \mathrm{cm})\approx22{.}48\ \mu\mathrm{T}$
四分円 1 ステップ
半径10 cmの四分円に曲げた導線に5.0 Aが流れています。接続する直線導線は、円の中心を通る直線上にあります。中心の磁場Bを求めましょう。

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1. 接続導線はPを通る直線上にあるので、どの電流素片でもsin φ = 0です。円弧上では、どの電流素片もPから距離Rにあり、dlとr̂は垂直です。
  
  $B=\frac{\mu_0I\theta_0}{4\pi R}=\frac{(10^{-7})(5{.}0)(\pi/2)}{0{.}10}\approx7{.}854\times10^{-6}\ \mathrm{T}$
解答

7.854 μT。円全体に電流を流した場合の31.42 μTの1/4です。

$B=\frac{\mu_0I}{8R}\approx7{.}854\ \mu\mathrm{T}$
U字形導線 3 ステップ
5.0 Aが流れる長い導線が、半径10 cmの半円で折り返し、元の直線部分と平行に戻ります。半円の中心の磁場Bを求めましょう。

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1. 半円部分による磁場は、円全体の場合の半分です。
  
  $B_{1}=\frac{\mu_0I}{4R}=\frac{(4\pi\times10^{-7})(5{.}0)}{4\,(0{.}10)}\approx1{.}571\times10^{-5}\ \mathrm{T}$
2. 各直線部分の端は、中心から下ろした垂線の足にあり、中心との距離はRです。それぞれの磁場は無限に長い直線電流の場合の半分で、向きはどちらも半円部分による磁場と同じです。
  
  $B_{2}=2\cdot\frac{\mu_0I}{4\pi R}=2\cdot\frac{(10^{-7})(5{.}0)}{0{.}10}=1{.}0\times10^{-5}\ \mathrm{T}$
3. それぞれの寄与を足すと、
  
  $B=\frac{\mu_0I}{4R}\Bigl(1+\frac{2}{\pi}\Bigr)\approx2{.}571\times10^{-5}\ \mathrm{T}$
解答

25.71 μTです。半円と二本の直線部分による磁場は、すべて同じ向きです。半円を流れる電流が反時計回りに見えるとき、磁場は紙面の手前を向きます。

$B\approx25{.}71\ \mu\mathrm{T}$
正方形コイルの中心 2 ステップ
一辺20 cmの正方形コイルに5.0 Aが流れています。中心の磁場Bを求めましょう。

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1. 各辺はd = 10 cm、両端がx = ±10 cmの直線部分なので、sin θ = ±1/√2です。
  
  $B_{1}=\frac{\mu_0I}{4\pi d}\Bigl(\frac{1}{\sqrt2}+\frac{1}{\sqrt2}\Bigr)=\frac{(10^{-7})(5{.}0)}{0{.}10}\,\sqrt2\approx7{.}071\times10^{-6}\ \mathrm{T}$
2. 四辺がつくる磁場は、すべて同じ向きです。
  
  $B=4B_{1}=\frac{2\sqrt2\,\mu_0I}{\pi a}\approx2{.}828\times10^{-5}\ \mathrm{T}$
解答

28.28 μT。この正方形に内接する半径10 cmの円形コイルの31.42 μTより、少し小さくなります。

$B=\frac{2\sqrt2\,\mu_0I}{\pi a}\approx28{.}28\ \mu\mathrm{T}$
平行な二本の導線の間に働く力 2 ステップ
5.0 cm離れた二本の長い平行導線に、それぞれ同じ向きに10 Aが流れています。各導線の長さ1 m当たりに働く力の大きさと向きを求めましょう。

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1. 導線1が導線2の位置につくる磁場は、
  
  $B_1=\frac{\mu_0I_1}{2\pi d}=\frac{(2\times10^{-7})(10)}{0{.}05}=4{.}0\times10^{-5}\ \mathrm{T}$
2. 導線2の長さLの部分に働く力はI₂L × B₁です。導線に垂直で、導線1に向かいます。
  
  $\frac{F}{L}=I_2B_1=(10)(4{.}0\times10^{-5})=4{.}0\times10^{-4}\ \mathrm{N/m}$
解答

長さ1 m当たり0.40 mNの引力です。片方の電流を逆向きにすると、同じ大きさの斥力になります。

$\frac{F}{L}=\frac{\mu_0I_1I_2}{2\pi d}=0{.}40\ \mathrm{mN/m}$
ヘルムホルツコイル 2 ステップ
半径10 cmの二つの円形コイルを、同軸上に10 cm離して置き、それぞれ同じ向きに5.0 Aを流します。中間点の磁場Bを求めましょう。

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1. 各コイルから中間点までの距離はs/2 = R/2です。
  
  $B=2\cdot\frac{\mu_0IR^{2}}{2\left(R^{2}+R^{2}/4\right)^{3/2}}$
2. 式を整理すると、
  
  $B=\frac{\mu_0IR^{2}}{\left(\tfrac{5}{4}R^{2}\right)^{3/2}}=\frac{8}{5\sqrt5}\,\frac{\mu_0I}{R}=\frac{8}{5\sqrt5}\cdot\frac{(4\pi\times10^{-7})(5{.}0)}{0{.}10}\approx4{.}496\times10^{-5}\ \mathrm{T}$
解答

44.96 μT。コイル一つが自分の中心につくる磁場の1.431倍です。

$B=\frac{8}{5\sqrt5}\,\frac{\mu_0I}{R}\approx44{.}96\ \mu\mathrm{T}$
円形コイルから遠く離れた点 3 ステップ
問題3のコイルの磁気モーメントを求め、中心から軸に沿って50 cm離れた点の磁場Bを、双極子の公式で見積もりましょう。この近似はどのくらい正確でしょうか。

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1. 磁気モーメントは、
  
  $m=I\pi R^{2}=(5{.}0)\,\pi\,(0{.}10)^{2}\approx0{.}1571\ \mathrm{A\,m^{2}}$
2. 双極子の公式を使うと、
  
  $B\approx\frac{\mu_0m}{2\pi z^{3}}=\frac{(2\times10^{-7})(0{.}1571)}{(0{.}50)^{3}}\approx2{.}513\times10^{-7}\ \mathrm{T}$
3. 厳密な磁場は、
  
  $B=\frac{\mu_0IR^{2}}{2\left(R^{2}+z^{2}\right)^{3/2}}=\frac{(4\pi\times10^{-7})(5{.}0)(0{.}01)}{2\,(0{.}26)^{3/2}}\approx2{.}370\times10^{-7}\ \mathrm{T}$
解答

m = 0.1571 A·m²。双極子の公式では0.2513 μT、厳密には0.237 μTです。半径の5倍の距離では、近似値が6%大きくなります。

$B_{m}\approx0{.}2513\ \mu\mathrm{T},\qquad B\approx0{.}2370\ \mu\mathrm{T}$
一様な磁場中の導線に働く力 1 ステップ
長さ20 cmの直線導線に5.0 Aが流れています。導線は0.30 Tの一様な磁場と30°の角をなしています。導線に働く力を求めましょう。
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1. F = IL × Bで、大きさはILB sin θです。
  
  $F=ILB\sin\theta=(5{.}0)(0{.}20)(0{.}30)\sin30^{\circ}=0{.}15\ \mathrm{N}$
解答

0.15 N。向きは導線にも磁場にも垂直です。

$F=0{.}15\ \mathrm{N}$

補充問題（答えのみ）

長い直線導線に20 Aが流れています。導線から4.0 cm離れた点の磁場Bを求めましょう。

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100 μT。

$B=\frac{\mu_0I}{2\pi d}=100\ \mu\mathrm{T}$
半径5.0 cm、巻数50の平面コイルに2.0 Aが流れています。中心の磁場Bを求めましょう。

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1.257 mT。一巻きがつくる磁場の50倍です。

$B=N\,\frac{\mu_0I}{2R}\approx1{.}257\ \mathrm{mT}$
一辺aの正方形コイルに電流Iが流れています。中心の磁場Bを求めましょう。

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2√2 μ₀I/(πa)。

$B=\frac{2\sqrt2\,\mu_0I}{\pi a}$
5.0 cm離れた二本の長い平行導線に、それぞれ逆向きに10 Aが流れています。中間点の磁場Bを求めましょう。

答えを表示

160 μT。中間点では、両方の磁場が同じ向きになります。

$B=2\cdot\frac{\mu_0I}{2\pi\,(d/2)}=160\ \mu\mathrm{T}$
10 cm × 5.0 cmの長方形コイルに3.0 Aが流れています。コイルの面に平行な0.20 Tの一様な磁場中で、コイルに働く力のモーメントを求めましょう。

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3.0 × 10⁻³ N·m。m = IAとして、τ = mB sin 90°から求まります。

$\tau=IAB=3{.}0\times10^{-3}\ \mathrm{N\,m}$
10 Aが流れる長い直線導線から2.0 cm離れたところを、陽子が導線と平行に、電流と同じ向きへ1.0 × 10⁵ m/sで進んでいます。陽子に働く力を求めましょう。

答えを表示

1.602 × 10⁻¹⁸ Nで、導線に向かいます。

$F=qvB=qv\,\frac{\mu_0I}{2\pi d}\approx1{.}602\times10^{-18}\ \mathrm{N}$

同じ向きに流れる電流は引き合う

二本の導線に同じ向きの電流を押してみましょう。間隔5 cmの導線にそれぞれ10 Aを流すと、長さ1 m当たり0.4 mNの力で引き合います。次に二本の導線に逆向きの電流を押すと、同じ大きさの力で反発します。同符号どうしが反発する電荷とは、関係が逆ですね。導線2に働く単位長さ当たりの力は、電流の向きを向く単位ベクトルと、導線1がつくる磁場μ₀I₁/(2πd)との外積に、I₂を掛けたものです。電流が同じ向きなら、この外積は導線1を向きます。2019年5月20日までは、この力がアンペアの定義に使われていました。1 m離れた二本の導線の間に、長さ1 m当たり2 × 10⁻⁷ Nの力を生じさせる電流を1 Aとしたため、μ₀は厳密に4π × 10⁻⁷ N/A²でした。現在のアンペアは電子の電荷をもとに定義され、μ₀は測定で決まる量になっています。CODATA 2022の値は1.25663706127(20) × 10⁻⁶ N/A²で、かつての値もこの不確かさの範囲内にあります。

円形電流も磁石になる。遠くでは同じ双極子の磁場

円形コイルから遠く離れるとを押してみましょう。半径10 cmのコイルの中心から軸に沿って50 cm離れた位置では、磁場は0.237 μTです。磁気モーメントm = IπR²を使ってμ₀m/(2πz³)を計算すると、0.2513 μT。さらに遠ざかるほど、両者は近づきます。これは磁気双極子の磁場です。電気双極子pの軸上の電場は2kp/z³、円形電流の磁場は(μ₀/4π)·2m/z³。kをμ₀/4πに、pをmに置き換えると、同じ形になります。十分遠くで磁場を決めるのは、電流と面積の積である磁気モーメントです。コイルの形や導線の細部による違いは、近くで初めて効いてきます。小さなコイルと方位磁針の針を、同じように扱えるのはこのためです。

コイルの間隔を半径にそろえると、磁場が最も一様になる

ヘルムホルツコイルを押してみましょう。コイルの間隔を半径と同じ10 cmにすると、中間点の磁場は(8/5√5)μ₀I/R = 44.96 μTです。そこから軸に沿って1 cm動いても、変化は0.011%。コイルが一つだけなら、同じ1 cmで1.5%変わります。円形コイルの軸上の磁場をグラフにすると、コイルの近くでは上に凸、遠くでは下に凸で、z = R/2に変曲点があります。s = Rにすれば、中間点が両コイルそれぞれの変曲点に重なり、そこでの2階微分が0になります。1階微分と3階微分も対称性によって打ち消し合うので、中間点からの磁場の変化はz⁴の項から現れます。sを8 cmにするとグラフの中央が盛り上がり、12 cmにするとくぼみます。

学習の道すじ

電場と磁場はどう生まれるか

参考文献 (6)

The law dB = (μ₀/4π) I dl sin θ/r², and the field at the centre of an arc, μ₀Iθ/(4πR) (Example 12.2): S. J. Ling, J. Sanny and W. Moebs, University Physics Volume 2, OpenStax (2016), section 12.1, “The Biot-Savart Law”.
The infinite straight wire, μ₀I/(2πR), from the integral over θ (Eq. 12.8): S. J. Ling, J. Sanny and W. Moebs, University Physics Volume 2, OpenStax (2016), section 12.2, “Magnetic Field Due to a Thin Straight Wire”.
F/l = μ₀I₁I₂/(2πr), attractive for currents in the same direction and repulsive for opposite ones: S. J. Ling, J. Sanny and W. Moebs, University Physics Volume 2, OpenStax (2016), section 12.3, “Magnetic Force between Two Parallel Currents”.
The loop on its axis, its centre, the far field as a magnetic dipole (Eq. 12.19), and Helmholtz coils (Example 12.5): S. J. Ling, J. Sanny and W. Moebs, University Physics Volume 2, OpenStax (2016), section 12.4, “Magnetic Field of a Current Loop”.
Insight block 1: the pre-2019 definition (“…would produce between these conductors a force equal to 2 × 10⁻⁷ newton per meter of length”) and the new definition's date, 20 May 2019: National Institute of Standards and Technology, “SI Redefinition: Ampere”.
Insight block 1: μ₀ = 1.256 637 061 27(20) × 10⁻⁶ N A⁻², relative standard uncertainty 1.6 × 10⁻¹⁰, CODATA 2022: National Institute of Standards and Technology, CODATA Internationally Recommended 2022 Values of the Fundamental Physical Constants, “vacuum magnetic permeability”.

7 Raven Room チーム · 公表された資料と照合しています。訂正のご指摘を歓迎します。