ローレンツ・アトラクタ

アトラクター上のどこかに、一辺1、すなわち体積1の立方体があるとします。現在の状態がこの領域に収まっていることだけが分かっているとして、そこから10単位時間だけ発展させてみましょう。 先へ進む前に、この立方体がどのような形になり、体積がいくつになるかを少し考えてみてください。考えがまとまったら、The classic runを押してツールをρ = 28に設定してください。

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1. リアプノフ指数は各方向に対応して三つありますが、実際に求める必要があるのは一つだけです。流れに沿った方向には伸びも縮みも生じないため、λ₂ = 0 となります。結果の表にある再規格化から λ₁ = 0.9059 が得られます。残る三つ目は測定すら不要です。三つの指数の和は体積の収縮率と一致しなければならず、その収縮率はあらかじめ厳密に分かっているためです。

   $$\lambda_2=0,\qquad \lambda_1=\left\langle\tfrac{1}{\tau}\ln\tfrac{d(\tau)}{d_0}\right\rangle=0{.}9059$$

2. したがって、λ₃ = ∇·F − λ₁ = −13.6667 − 0.9059 = −14.5726 と求まります。この極端な偏りを見てみましょう。縮む方向の力は伸びる方向の16倍も強くなっています。塊が丸みを帯びたままではなく、平たく潰れていく理由はまさにここにあるのです。

   $$\lambda_3=\nabla\!\cdot\!F-\lambda_1=-13{.}6667-0{.}9059=-14{.}5726$$

3. 次に、それぞれの方向に t = 10 を適用してみましょう。立方体の各辺の長さは e^(λt) 倍になります。

   $$\begin{array}{l|rr} \text{direction} & \lambda & e^{\lambda t},\ t=10 \\ \hline \text{stretching} & +0{.}9059 & 8{,}594 \\ \text{along the flow} & 0 & 1 \\ \text{squeezing} & -14{.}5726 & 5{.}15\times10^{-64} \end{array}$$

4. これら三つの倍率を掛け合わせると、体積が求まります。すなわち 8,594 × 1 × 5.15 × 10⁻⁶⁴ = 4.43 × 10⁻⁶⁰ です。一方で全体の収縮率を使えば、三つの方向を一切持ち出すことなく e^(−13.6667 × 10) = 4.43 × 10⁻⁶⁰ と同じ答えが導かれます。このように二つの計算ルートが一致することが、求めた指数が正しいことの確認になるのです。

   $$8{,}594\cdot 1\cdot 5{.}15\times10^{-64}=4{.}43\times10^{-60} \qquad\text{and}\qquad e^{-13{.}6667\cdot 10}=4{.}43\times10^{-60}$$

5. ここからが、計算結果が突きつけてくる事実です。アトラクターの幅はx方向に約38、高さはz方向に約46ですが、あの立方体は長さ8,594の帯に引き伸ばされています。帯が収まるべき空間の幅の226倍にもなる長さです。したがって、軌道を周回するたびに何度も折りたたまれ、そのたびに既存の層の上に新たな層が積み重なっていくことになります。

   $$\dfrac{8{,}594}{38}\approx 226$$

6. このように層が重なってできた物体は、面よりは分厚く、立体よりは薄い存在となります。それが具体的にどの程度の厚みなのかは、次元が教えてくれます。D = 2 + λ₁/|λ₃| = 2 + 0.9059/14.5726 = 2.0622 です。この 2 は面を、0.0622 は折りたたみを表しています。

   $$D=2+\dfrac{\lambda_1}{\left|\lambda_3\right|} =2+\dfrac{0{.}9059}{14{.}5726}=2{.}0622$$