空気抵抗・風を考慮した放物運動シミュレーター

理想的な軌道と空気抵抗の影響を受けた軌道を比較します。

対気速度に対する2乗則の空気抵抗	$\begin{gathered}\mathbf F=-k\,\|\mathbf v_{\mathrm{rel}}\|\,\mathbf v_{\mathrm{rel}},\qquad \mathbf v_{\mathrm{rel}}=\mathbf v-\mathbf w\\ k=\tfrac12\rho\,C_dA\end{gathered}$
終端速度：空気抵抗と重力が釣り合う速さ	$v_t=\sqrt{\frac{mg}{k}}$
静止からの鉛直落下、および鉛直投げ上げ	$\begin{gathered}v^{2}=v_t^{2}\left(1-e^{-2ky/m}\right)\\ H=\frac{m}{2k}\ln\!\left(1+\frac{v_0^{2}}{v_t^{2}}\right)\end{gathered}$

計算例 — 空気抵抗・風を考慮した放物運動シミュレーター

終端速度	18.083 m/s
発射時の対気速度	25 m/s
発射時の空気抵抗	18.75 N
真空中の到達距離	63.71 m
真空中の最高高度	15.928 m
到達距離	28.283 m
最高高度	9.643 m
最高点での水平距離	16.259 m

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レッスン

理論 — 空気抵抗・風を考慮した放物運動シミュレーター

速度の2乗に比例する空気抵抗は、手で投げられるあらゆる物体に働く抵抗力です。対気速度 v_rel = v − w と逆向きに作用する力 k|v_rel|² で表され、係数は k = ½ρC_dA です。|v_rel| の中に水平と鉛直の両成分が含まれるため、二つの運動は分かちがたく結びつき、軌道をそのまま書き下せる初等的な公式は失われます。このページでは、最大でも5 ms刻みのステップで運動を数値積分しています。

各記号の意味

θ: 打ち出し角。抵抗がなければ最適値はどの初速でもどの質量でも 45°——問題の定数である。抵抗があればそのいずれでもなくなる。この授業の主題はそこにある。
k/m: 抵抗係数を質量で割った量。方程式に現れるのはこの組み合わせだけで、k 単独も m 単独も決して現れない。六つの入力欄のうち二つは、一つの数に付いた二本の取っ手である。
v_rel: 空気に対する相対速度（対気速度）、v − w。空気抵抗はこの速度に作用するのであり、対地速度に働くことは決してありません。
R: 到達距離。この画面には二つの値が表示されます。真空の公式による R₀ と数値積分による R であり、その隔たりこそが空気に奪われた距離です。

公式の導き方

まず空気のない場合から。ここでは二つの軸は互いに口をきかない。水平速度は一定、鉛直位置は時間の放物線で、時間を消去すると R = v₀² sin(2θ)/g が残る。最大化すれば sin(2θ) は 2θ = 90° で最大。何が消えたかに注目してほしい——この条件に v₀ も質量も現れない。だから 45° は、これまで行われたあらゆる打ち出しにとって最良の角度なのだ。結果としてではなく事実として記憶されている理由がこれである。
$R=\frac{v_0^{2}\sin2\theta}{g}\le\frac{v_0^{2}}{g}\ \Rightarrow\ \theta^{*}=45^\circ$
空気抵抗を加えると、座標軸の独立性が失われます。加速度は −g ŷ − (k/m)|v_rel|v_rel と表されますが、|v_rel| には両成分が含まれるため、水平方向の運動方程式は上昇速度に、鉛直方向の方程式は前方への移動速度に依存します。この非線形な連立方程式は変数分離もできず、R を与える初等的な公式は残りません。結果の表に到達距離が積分の形のまま示されているのは、それがまさに積分そのものとしてしか表せない量だからです。
$\frac{d\mathbf v}{dt}=-g\,\hat{\mathbf y}-\frac{k}{m}\,|\mathbf v_{\mathrm{rel}}|\,\mathbf v_{\mathrm{rel}},\qquad |\mathbf v_{\mathrm{rel}}|=\sqrt{(v_x-w)^{2}+v_y^{2}}$
m で割ると、残るのは k/m だけです。重いボールを投げることは、密度の薄い空気の中で軽いボールを投げることと等価です。m = 3 に対して k = 0.03 と設定すると、最後のひと桁に至るまで m = 1 かつ k = 0.01 の軌道と完全に一致します。したがってプリセットの重いボールは低抵抗のケースを名前を変えて見せているにすぎず、質量の入力欄から分かることは空気抵抗の欄が教えてくれることと何ら変わりません。
$\frac{k}{m}=\frac{0.03}{3}=\frac{0.01}{1}=0.01\ \mathrm{m^{-1}}$
最適投射角は45°を下回ります。高く投げ上げるほど滞空時間は長くなり、そのあいだずっと空気に速さを奪われます。そのため無風下で地面から投げる場合、最も遠くまで飛ぶ角度は45°を下回り、速度が増すほど抵抗も大きくなるため、強く投げるほど最適角はさらに低下します。真空中であれば、初速によって最適角が変わることは決してありません。標準の空気抵抗では、初速25 m/sで最も遠くへ届く角度は38.939°（45°での28.283 mに対し28.743 m）、90 m/sでは29.34°（66.493 mに対し72.117 m）です。どのような設定であっても、表の最下行がその最適角を導き出してくれます。風が吹けば最適角はふたたび変わり、初速25 m/sの投射で背後から20 m/sの追い風を受けると、47.093°まで上がります。
$v_0=25:\ \ R(45^\circ)=28.283<R(38.939^\circ)=28.743\ \mathrm{m};\qquad v_0=90:\ \ R(45^\circ)=66.493<R(29.34^\circ)=72.117\ \mathrm{m}$

表示の読み方

破線で示した曲線は、空気をなくした同じ条件での打ち出し、すなわち前のページで扱った放物線を表しています。二つの曲線のあいだに生じた隙間こそが、空気抵抗によって失われたものにほかなりません。空気抵抗をゼロに設定すると、実線は破線の上に寸分違わず重なります。数値積分による到達距離は、表に表示されるすべての桁において真空の公式と完全に一致します。したがって、空気抵抗を入れたときに見られるずれは、計算誤差などではなく、まぎれもなく空気そのものが生み出したものなのです。

前提: どの高さでも同じ速さで吹く一定の水平風を除いて空気は静止しており、密度は上空まで一様、抵抗係数は速さによって変わらないものとする。質点であること：揚力なし、スピンなし、マグヌス力なし。したがって切れた打球も横に逸れる砲弾も、このモデルが語れる範囲の外にある。

全プロセスの詳細解説

線形抵抗か、2乗抵抗か？ 4 ステップ
空気中を速さ v で運動する直径 D の球体は、粘性抵抗 3πηDv（ストークスの法則）と圧力抵抗 ½ρC_d(πD²/4)v² という二種類の抵抗を受けます。η = 1.8 × 10⁻⁵ Pa·s、ρ = 1.2 kg/m³、C_d = 0.47 とするとき、40 m/s で飛ぶ野球ボール（D = 7.4 cm）と、0.10 mm/s で漂う油滴（D = 1.5 µm）では、それぞれどちらが支配的になるでしょうか。
1. 二つの抵抗の比をとってみましょう。大半の係数が約分され、残る項は物体の大きさと速さの双方に比例します：
  
  $\frac{F_{\mathrm{quad}}}{F_{\mathrm{lin}}}=\frac{\tfrac12\rho C_d\,\tfrac{\pi D^{2}}{4}\,v^{2}}{3\pi\eta Dv}=\frac{\rho C_d}{24\eta}\,Dv$
2. 空気の物性値を代入して定数をまとめます：
  
  $\frac{\rho C_d}{24\eta}=\frac{1.2\times0.47}{24\times1.8\times10^{-5}}=1305.6\ \mathrm{s/m^{2}}$
3. 野球ボール：
  
  $1305.6\times0.074\times40=3864.4$
4. 油滴：
  
  $1305.6\times(1.5\times10^{-6})\times(1.0\times10^{-4})=1.9583\times10^{-7}$
解答

野球ボールでは2乗則が支配的で、圧力抵抗は粘性抵抗の 3864 倍に達します。一方、油滴は線形領域にあり、2乗項は粘性抵抗の 2.0 × 10⁻⁷ にとどまります。手で投げる物体はことごとく2乗則の領域に入ります。このページで採用しているのもその法則です。ストークスの法則が当てはまるのは、塵や霧、ミリカンの油滴のような微小な世界です。

$\frac{F_{\mathrm{quad}}}{F_{\mathrm{lin}}}=3864\ \ (D=7.4\ \mathrm{cm}),\qquad \frac{F_{\mathrm{quad}}}{F_{\mathrm{lin}}}=2.0\times10^{-7}\ \ (D=1.5\ \mu\mathrm{m})$
投射時の抵抗と終端速度 4 ステップ
無風の空気中で、質量 1.0 kg、抵抗係数 k = 0.030 kg/m のボールを仰角 45°、初速 25 m/s で投げ出しました。投射直後にボールが受ける空気抵抗を求め、重力と比較してください。また、終端速度はいくらになるでしょうか。

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1. 無風のとき、空気に対する速度（対気速度）はボール自身の速度そのものです：
  
  $|\mathbf v_{\mathrm{rel}}|=|\mathbf v|=25\ \mathrm{m/s}\qquad(w=0)$
2. 2乗抵抗の大きさは、この速さの2乗に k を掛けた値です：
  
  $F=k\,|\mathbf v_{\mathrm{rel}}|^{2}=0.030\times25^{2}=18.75\ \mathrm{N}$
3. 重力と比較してみましょう：
  
  $mg=1.0\times9.81=9.81\ \mathrm{N},\qquad \frac{F}{mg}=\frac{18.75}{9.81}=1.9113$
4. 終端速度とは、空気抵抗と重力が釣り合う速さのことです：
  
  $k\,v_t^{2}=mg\ \Rightarrow\ v_t=\sqrt{\frac{mg}{k}}=\sqrt{\frac{1.0\times9.81}{0.030}}=18.083\ \mathrm{m/s}$
解答

投射直後の抵抗は 18.75 N で重力の 1.9113 倍、終端速度は 18.083 m/s です。ボールは自然落下では決して到達できないほどの速さで手から放たれます。そのため、減速して 18.083 m/s を下回るまでは、重力よりも空気抵抗のほうが強くボールを押しているのです。

$F=18.75\ \mathrm{N}=1.9113\,mg,\qquad v_t=18.083\ \mathrm{m/s}$
向かい風と追い風 4 ステップ
同じ投擲を、8.0 m/s の向かい風の中で行います。投射直後の対気速度と空気抵抗を求めてください。続いて、背後から風が吹く追い風の場合についても同様に求めましょう。

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1. 対地速度の各成分は先ほどと変わりません：
  
  $v_x=25\cos45^\circ=17.678\ \mathrm{m/s},\qquad v_y=25\sin45^\circ=17.678\ \mathrm{m/s}$
2. 向かい風では空気が w = −8.0 m/s で流れています。ボールの速度から風の速度を差し引きます：
  
  $\mathbf v_{\mathrm{rel}}=(v_x-w,\ v_y)=(17.678+8.0,\ 17.678)=(25.678,\ 17.678),\qquad |\mathbf v_{\mathrm{rel}}|=31.174\ \mathrm{m/s}$
3. 空気抵抗の大きさは、この速さの2乗に比例します：
  
  $F=k\,|\mathbf v_{\mathrm{rel}}|^{2}=0.030\times31.174^{2}=29.155\ \mathrm{N}$
4. 追い風では w = +8.0 m/s となり、風速を差し引く向きが逆転します：
  
  $w=+8.0:\quad \mathbf v_{\mathrm{rel}}=(9.6777,\ 17.678),\quad |\mathbf v_{\mathrm{rel}}|=20.153\ \mathrm{m/s},\quad F=12.185\ \mathrm{N}$
解答

向かい風では対気速度 31.174 m/s、空気抵抗 29.155 N となり、追い風では 20.153 m/s、12.185 N となります。ボールが手から放たれる速さはいずれも 25 m/s です。しかし空気が感じるのは相対速度の差だけであり、この二つの条件の間で空気抵抗は倍以上に跳ね上がります。二つ目の条件は追い風を押して確認してください。

$|\mathbf v_{\mathrm{rel}}|=31.174\ \mathrm{m/s},\ F=29.155\ \mathrm{N}\ \ (w=-8.0);\qquad |\mathbf v_{\mathrm{rel}}|=20.153\ \mathrm{m/s},\ F=12.185\ \mathrm{N}\ \ (w=+8.0)$
100 mからの落下 4 ステップ
同じ球（m = 1.0 kg、k = 0.030 kg/m）を、地上100 mの高さから静止状態で落下させます。着地するときの速さはいくらになるでしょうか。終端速度、そして真空中なら達していたはずの速さと比較してみましょう。

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1. 落下距離を y、下向きの速さを v とします。加速度を v dv/dy と書き改めると、運動方程式を時間ではなく距離を変数とする形に変形できます：
  
  $v\frac{dv}{dy}=g-\frac{k}{m}v^{2}=g\left(1-\frac{v^{2}}{v_t^{2}}\right)$
2. 変数分離を行い、静止状態から積分します：
  
  $\int_0^{v}\frac{v\,dv}{1-v^{2}/v_t^{2}}=\int_0^{y}g\,dy\ \Rightarrow\ v^{2}=v_t^{2}\left(1-e^{-2ky/m}\right)$
3. 問2で求めた終端速度 18.083 m/s と各数値を代入します：
  
  $\frac{2ky}{m}=\frac{2(0.030)(100)}{1.0}=6.0,\qquad v=18.083\sqrt{1-e^{-6.0}}=18.061\ \mathrm{m/s}$
4. 空気抵抗がない真空中なら、同じ落下で次の値になります：
  
  $v_{\mathrm{vac}}=\sqrt{2gy}=\sqrt{2(9.81)(100)}=44.294\ \mathrm{m/s}$
解答

18.061 m/s：終端速度の99.88%に達しており、真空中の値 44.294 m/s と比べると41%にとどまります。このページでは公式を使わずに同じ落下を数値積分していますが、6.8066 s後、まったく同じ 18.061 m/s に達します。

$v=18.061\ \mathrm{m/s}=0.9988\,v_t=0.41\,v_{\mathrm{vac}}$
鉛直投げ上げ 4 ステップ
同じ球を初速 25 m/s で真上に投げ上げます。最高点の高さはいくらで、そこまで何秒かかるでしょうか。地面に戻ってきたときの速さとあわせて、下りは上りよりも早いのか遅いのかも確かめてみましょう。

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1. 上昇中は、空気抵抗も重力も下向きに働きます。ここでも加速度に v dv/dy を用いると、最高到達点は次のようになります：
  
  $v\frac{dv}{dy}=-g\left(1+\frac{v^{2}}{v_t^{2}}\right)\ \Rightarrow\ H=\frac{v_t^{2}}{2g}\ln\!\left(1+\frac{v_0^{2}}{v_t^{2}}\right)=\frac{327}{19.62}\ln\!\left(1+\frac{625}{327}\right)=17.810\ \mathrm{m}$
2. 一方、所要時間は dv/dt = −g(1 + v²/v_t²) から求めます：
  
  $t_{\mathrm{up}}=\frac{v_t}{g}\arctan\frac{v_0}{v_t}=\frac{18.083}{9.81}\arctan\frac{25}{18.083}=1.7412\ \mathrm{s}$
3. 下りの運動は、高さ 17.810 m から落下させる問4そのものです。e^−2kH/m = (1 + v₀²/v_t²)⁻¹ の関係を用いると、着地速度の式はすっきりと整理できます：
  
  $v_{\mathrm{back}}^{2}=v_t^{2}\left(1-e^{-2kH/m}\right)\ \Rightarrow\ v_{\mathrm{back}}=\frac{v_0v_t}{\sqrt{v_0^{2}+v_t^{2}}}=\frac{25\times18.083}{\sqrt{625+327}}=14.652\ \mathrm{m/s}$
4. その所要時間は、dv/dt = g(1 − v²/v_t²) から導かれます：
  
  $t_{\mathrm{down}}=\frac{v_t}{g}\operatorname{artanh}\frac{v_{\mathrm{back}}}{v_t}=\frac{18.083}{9.81}\operatorname{artanh}\frac{14.652}{18.083}=2.0789\ \mathrm{s}$
解答

1.7412 s で 17.810 m まで上昇し、さらに 2.0789 s かけて 14.652 m/s で戻ってきます。投げ上げたときよりも遅い速さで戻り、下りの方が時間がかかります。上りでは空気抵抗が重力に加勢して球を止め、下りでは重力に逆らって加速を抑えるからです。真空中なら 31.855 m まで上がり、25 m/s で戻ってくるはずでした。画面にはその往復の合計時間である 3.8201 s が示されています。

$H=17.810\ \mathrm{m},\quad t_{\mathrm{up}}=1.7412\ \mathrm{s},\quad v_{\mathrm{back}}=14.652\ \mathrm{m/s},\quad t_{\mathrm{down}}=2.0789\ \mathrm{s}$
真空中の 63.71 m が 28.283 m に縮む理由 5 ステップ
仰角 45°、初速 25 m/s で打ち出される 1.0 kg の球（k = 0.030 kg/m）。真空の公式なら 63.71 m 飛ぶはずです。実際の値がなぜ 28.283 m に留まるのか、そして到達距離と比べて高さの方がはるかによく保たれる理由を解き明かしてみましょう。

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1. まず、空気によって損なわれる前の解答から始める。どちらの真空中の公式も厳密で、1行で導くことができ、この問題における唯一の解析的な拠り所となる。
  
  $R_0=\frac{v_0^{2}\sin2\theta}{g}=\frac{25^{2}\sin90^{\circ}}{9.81}=63.71\ \mathrm{m},\qquad y_{0,\max}=\frac{v_0^{2}\sin^{2}\theta}{2g}=15.928\ \mathrm{m}$
2. ここで実際の運動方程式を立ててみます。空気抵抗は速度ベクトルと常に逆向きに働くため、水平方向の抵抗には鉛直方向の速さが関わり、その逆もまた同様です。二つの軸はもはや独立ではなくなり、放物線という軌道そのものが成り立たなくなります。
  
  $\frac{d\mathbf v}{dt}=-g\,\hat{\mathbf y}-\frac{k}{m}\,|\mathbf v|\,\mathbf v$
3. パネルから2つの損失を割合として読み取る。両者には差があり、その差こそが説明すべき重要な点である。
  
  $R=28.283\ \mathrm{m}=0.4439\,R_0,\qquad y_{\max}=9.643\ \mathrm{m}=0.6054\,y_{0,\max}$
4. 終端速度とは、空気抵抗と重力が釣り合う速さのことです。初速と見比べることで、飛び出し直後はどちらの力が支配的であるかが分かります。
  
  $v_t=\sqrt{\frac{mg}{k}}=\sqrt{\frac{1.0\times9.81}{0.030}}=18.083\ \mathrm{m/s}<v_0=25\ \mathrm{m/s}$
5. 抵抗距離 m/k は、空気が速さの相当な部分を削ぎ落とすまでに球が進む距離スケールです。期待していた水平到達距離と比べてみてください。
  
  $\ell=\frac{m}{k}=\frac{1.0}{0.030}=33.3\ \mathrm{m}\approx\tfrac12R_0$
解答

空気抵抗が効いてくる距離スケールが 33 m なのに対し、この投射はわずか 16 m の高さに対して 64 m もの距離を飛ぼうとするからです。到達距離は真空中の44%しか維持できないのに対し、最高高度は61%が保たれます。空気抵抗が単なる微小な補正にとどまらないことは、二つの数値を見れば明らかです。終端速度は 18.083 m/s で初速の 25 m/s を下回っており、球は打ち出された瞬間から重力以上の激しさで空気にエネルギーを奪われます。また、m/k = 33.3 m は真空中の到達距離の半分しかなく、これが小さな補正で済むためには数倍から十数倍の長さが必要でした。頼れる解析解はありません。空気抵抗が二つの運動軸を分かちがたく連動させるからこそ、このページも公式への代入ではなく数値積分を行っているのです。

$\frac{R}{R_0}=0.44,\qquad \frac{y_{\max}}{y_{0,\max}}=0.61$

補充問題（答えのみ）

質量 0.145 kg の野球ボールの抵抗係数が k = 1.3 × 10⁻³ kg/m であるとき、終端速度はいくらになるでしょうか。

答えを表示

33.08 m/s です。

$v_t=\sqrt{\frac{0.145\times9.81}{1.3\times10^{-3}}}=33.08\ \mathrm{m/s}$
砲丸と球は同じ大きさなので、ともに k = 0.030 kg/m ですが、質量は砲丸が 3.0 kg、球が 1.0 kg です。球が砲丸とまったく同じ軌道を描いて飛ぶには、どれだけの抵抗係数が必要でしょうか。

答えを表示

0.010 kg/m：運動を決めるのは比 k/m だけだからです。

$\frac{k}{m}=\frac{0.030}{3.0}=0.010\ \mathrm{m^{-1}}\ \Rightarrow\ k=0.010\ \mathrm{kg/m}\ \ (m=1.0\ \mathrm{kg})$
k = 0.030 kg/m の 1.0 kg の球を静止状態から落下させます。終端速度の90%に達するまでに落下する距離はいくらでしょうか。

答えを表示

27.68 m です。

$y=-\frac{m}{2k}\ln\!\left(1-0.90^{2}\right)=-\frac{1.0}{0.060}\ln0.19=27.68\ \mathrm{m}$
k/m = 0.010 m⁻¹ の球を 40 m/s で真上に投げ上げます。どれだけの高さまで上がり、戻ってくるときの速さはいくらになるでしょうか。

答えを表示

48.37 m まで上がり、戻るときの速さは 24.66 m/s です。

$v_t^{2}=\frac{9.81}{0.010}=981,\quad H=\frac{981}{19.62}\ln\!\left(1+\frac{1600}{981}\right)=48.37\ \mathrm{m},\quad v_{\mathrm{back}}=\frac{40\times31.32}{\sqrt{1600+981}}=24.66\ \mathrm{m/s}$
k/m = 0.030 m⁻¹ の球が、風速 5.0 m/s の一定の風の中を落下します。十分に長い時間落下したとき、球の対地速度はいくらに落ち着くでしょうか。

答えを表示

18.76 m/s（水平面より 74.54° 下向き）：風下に 5.0 m/s、鉛直下向きに 18.08 m/s です。

$\mathbf v\to(w,\,-v_t)=(5.0,\,-18.08)\ \mathrm{m/s},\qquad |\mathbf v|=18.76\ \mathrm{m/s},\quad \varphi=74.54^\circ$

落下のほうが険しく、遅くなるのはなぜか

上昇するとき、空気抵抗と重力はどちらも下を向き、協力して上昇を押しとどめます。一方、落ちるときには両者が互いに逆向きに引っ張り合うため、ボールは上がるときよりも緩やかに落下し、時間も余計にかかります。初期設定の投射では、上昇に1.2702 s、下降には1.5141 sを要します。そのあいだ中、空気は水平方向の速さをも奪い続けるので、軌道の後半で進む距離は前半よりも短くなります。全飛行距離28.283 mに対して最高点が現れるのは中間点を越えた16.259 m地点で、45°で放たれたボールは62.324°という急な角度で着地します。真空中の放物線が頂点を挟んで対称になるのは、空気抵抗のない運動方程式が時間を過去へ逆回しにしてもそのまま成り立つからです。時間がどちら向きに流れているかを知っているのは、空気抵抗の項なのです。

効くのは対気速度、地上速度ではない

空気抵抗は対気速度 v − w に作用するため、ボールを静止させようとする力ではありません。周囲の空気と同じ速度で運動させようと引き寄せる力です。一定の風が吹く中で十分な時間があれば、どんなボールも最後には風と同じ速さで風下へ流されながら、終端速度で落下していきます。向かい風を押してみてください。正面からの8 m/sの風が着地前に前進方向の速さを奪い尽くし、ボールは水平より下向きに92.328°という角度、すなわち投げ手側へ傾きながら落ちてきます。

なぜディンプル付きのボールは遠くまで飛ぶのか

表面にあえて凹凸をつけることで、空気抵抗を減らせる場合があります。ゴルフボールのディンプルは表面近傍の気流を乱して薄い乱流境界層をつくり出し、これが剥離せずにボールの背面近くまで沿って流れることで、後方に生じる低圧の後流領域を狭く抑えます。球体の抗力係数は、流速が十分に速くなって気流が自然に乱流へと遷移すると急激に低下します。これがいわゆる「抗力危機」ですが、ディンプルはこの急低下をドライバーショットの初速域で人工的に引き起こしているのです。このページではあらゆる速度で k を一定として扱っているため、この抗力危機ばかりはシミュレーションでお見せできません。

学習の道すじ

物を投げること

参考文献 (2)

The lesson — why the coupled equations admit no elementary range formula, and how the optimum angle moves: G. W. Parker, "Projectile motion with air resistance quadratic in the speed." American Journal of Physics 45(7), 606–610, 1977.
Insight block 3 — why roughening a ball reduces its drag: P. W. Bearman and J. K. Harvey, "Golf Ball Aerodynamics." Aeronautical Quarterly 27(2), 112–122, 1976 — wind-tunnel measurements of dimpled against smooth spheres.

7 Raven Room チーム · 公表された資料と照合しています。訂正のご指摘を歓迎します。