信号のサンプリングとナイキストの定理

8 ビット変換器について、1 ビットあたり 6 dB の法則をゼロから導出せよ（唐突に現れる 1.76 はどこから来るのか？）。そして、この法則が何を保証しないかを述べよ。

1. 最も近いレベルへと丸めることで生じる誤差は半ステップ以下であり、複雑に変化する信号においては、その誤差は区間全体に均等に広がる。その分散は、一様分布における e² の積分となる。

   $$\Delta=\frac{V_{FS}}{2^{N}},\qquad e\sim\mathcal{U}\!\left(-\tfrac{\Delta}{2},\tfrac{\Delta}{2}\right),\qquad \sigma_e^{2}=\frac{1}{\Delta}\int_{-\Delta/2}^{\Delta/2}\!e^{2}\,de=\frac{\Delta^{2}}{12}$$

2. 参照信号は入力範囲全体を満たす正弦波であるため、その電力は振幅の二乗の半分となる。

   $$P_{\text{sig}}=\frac{(V_{FS}/2)^{2}}{2}=\frac{V_{FS}^{2}}{8}$$

3. 両者を割り算する。フルスケール範囲が相殺されるため、結果は電圧ではなく純粋にビット数の関数となる。

   $$\mathrm{SNR}=\frac{V_{FS}^{2}/8}{\Delta^{2}/12}=\frac{12}{8}\left(\frac{V_{FS}}{\Delta}\right)^{2}=\frac{3}{2}\cdot2^{2N}$$

4. 対数を取る。6.02 は 20 log₁₀2 であり（1 ビットでレベル数が 2 倍になる）、1.76 は前行から残された 3/2 である。

   $$\mathrm{SNR_{dB}}=10\log_{10}\!\tfrac{3}{2}+20N\log_{10}2=1.76+6.02\,N$$

5. 8 ビット、次いで 16 ビットで評価する。追加の 1 ビットごとに 6 dB 強の価値があるため、CD オーディオの 8 ビットの追加は 48 dB を買っていることになる。

   $$N=8:\ 6.02(8)+1.76=49.92\ \mathrm{dB};\qquad N=16:\ 98.08\ \mathrm{dB}$$

人間の可聴域をはるかに超える30 kHzの成分をマイクが拾い、事前のフィルターを通さずにそのまま44.1 kHzの変換器に到達したとします。録音データには何が残り、他のどんな音と区別がつかなくなるでしょうか。

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1. まずは上限から考える。毎秒44,100サンプルで動作するコンバータが忠実に表現できるのは、そのレートの半分未満のものだけである。今回のトーンはその限界を超えているため、サンプリング結果が後からどのように見えようとも、それが一見して意味するように見えるものを表しているはずがない。

   $$f_{Nyquist}=\frac{f_s}{2}=\frac{44\,100}{2}=22\,050\ \mathrm{Hz}\qquad 30\,000>22\,050$$

2. コンバータが実際に何を保存しているかを書き出してみる。コンバータは波形そのものを見ることは決してない。1/44,100秒に1回、波形の値を見るだけであり、それ以外のものは一切見ていない。

   $$x[n]=\sin\!\left(2\pi f\,\frac{n}{f_s}\right)=\sin\!\left(2\pi\cdot\frac{30\,000}{44\,100}\,n\right)$$

3. ここで、あるサンプルと次のサンプルの間に整数サイクルの波を加えてみる。各サンプルは位相が余分に2πkだけ進むが、正弦波はちょうど何周回っても変化しない。記録される数値は、一桁たりとも違わず完全に一致する。

   $$\sin\!\left(2\pi\,\frac{f+k f_s}{f_s}\,n\right)=\sin\!\left(2\pi\frac{f}{f_s}n+2\pi k n\right)=\sin\!\left(2\pi\frac{f}{f_s}n\right)\qquad k\in\mathbb{Z}$$

4. したがって、得られたサンプルは周波数を一意に特定するものではない。特定されるのは周波数の族であり、再生側はその構成要素の中から1つを選ばなければならない。再生側が選ぶのは0に最も近いものであり、これは30,000 Hzからサンプリングレートの最も近い倍数までの距離となる。

   $$k=\operatorname{round}\!\left(\frac{30\,000}{44\,100}\right)=1,\qquad f_{alias}=\left|30\,000-1\cdot44\,100\right|=14\,100\ \mathrm{Hz}$$

5. これが、ツールが表示する数値である。14,100 Hzは細く甲高い笛のような音であり、大半の若い聴者には聞こえるものの、加齢とともに真っ先に聞こえなくなる音の一つである。しかも、その音はその部屋の中には存在していなかった。録音するという行為そのものによって、耳に聞こえない成分が聞こえる音へと変えられてしまったのである。

   $$\mathrm{OSR}=\frac{f_s}{2f_{signal}}=\frac{44\,100}{2\cdot30\,000}=0.735<1$$

6. 他にどのような音が同じ場所に落ち着くのでしょうか。同じ系列の音すべてです。しかも無数にあります。サンプリング周波数一つ分高い音は、まったく同じ数値となって現れます。折り返された音はすべてのサンプルの符号が反転して現れますが、これは位相が反転しただけの同じ音です。いずれにしても、録音データはサンプルごとに一つの数値を保持するだけで、どの音がその数値を作り出したかという記録は残しません。

   $$\left|k\,f_s\pm14\,100\right|=\{14\,100,\ 30\,000,\ 58\,200,\ 74\,100,\ 102\,300,\ \dots\}$$

7. これが、フィルタがアナログでなければならず、コンバータの前段に配置されなければならない理由である。そしてこのことが、フィルタの遮断特性がいかに急峻でなければならないかを決定づける。20 kHzを通過させ、22,050 Hzまでに遮断しなければならず、その間隔はオクターブのおよそ7分の1にすぎない。アナログ電子回路でこれを実現するのは難しく、これこそがオーバーサンプリングコンバータが存在する実際的な理由である。サンプリングを高速化すればガードバンドが広がり、アナログフィルタは緩やかなもので済むようになり、急峻な遮断という過酷な処理はコストの低いデジタル演算へと移行できる。

   $$\log_{2}\frac{22\,050}{20\,000}=0.141\ \text{octave}$$