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タンクの排水とトリチェリの減衰

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排水するタンクに半減期はない

誰もが充電されたコンデンサのような減衰を予想しますが、そうはなりません。流出量は h ではなく √h に従うため、水位は H(1 − t/T)² の形で下がります — 有限の時間でゼロに到達する放物線です。半分になる時刻を合わせた指数関数を重ねてみると、このタンクが実際に空になる瞬間でも、指数関数はまだ 9.4% 残っていると主張し、しかも永久に空になりません。量そのものが決める速さと、その平方根が決める速さの違いが、ここにあります。

水深が四倍でも、待ち時間は二倍

T = (A / CdA₀)√(2H/g) では、H だけが平方根の下にあり、二つの断面積はそうではありません。同じタンクに四倍の深さまで水を入れても、かかる時間は四倍ではなく 二倍 です。孔の直径を半分にすると、時間はきっかり四倍になります。面積が直径の二乗で効くからです。ここでは水深が寛大な項であり、孔が容赦のない項なのです。

孔は、あなたが開けた孔より小さい

流量係数はごまかしのための係数ではありません。角の鋭いオリフィスに近づく水は瞬時に向きを変えられないため、水流は壁を離れたあとも収縮を続け、真の最小断面に達するのは少し外側です — これが vena contracta（縮流部）です。鋭い縁の孔ではこの値が 0.62 前後になり、実効的な開口は開けた孔の三分の二にも届きません。Cd を 1 にすると、タンクは実際の62%の時間で空になります。図面を信じたときの誤差の大きさが、これです。

全プロセスの詳細解説

  1. 樽の下半分を空にするのに、上半分の2.4倍の時間がかかる理由 8 ステップ

    直径300 mmの樽に水深1.00 mまで水を満たし、底に直径10 mmの孔を開けます。空になるまでどのくらいかかりますか。また、その時間のうち、残りの半分の水を排出するのにどれくらいの時間が費やされるでしょうか。

    1. この問題は、ふたつの断面積からすべて導くことができます。樽の断面積は、水位一ミリメートルが何リットルに相当するかを教えてくれます。流出孔の断面積は、その水がどれほどの速さで流れ出るかを決めるものです。

      A=πd24=π(0.30)24=0.0707 m2,a=π(0.010)24=7.85×10−5 m2A = \frac{\pi d^2}{4} = \frac{\pi (0.30)^2}{4} = 0.0707\ \mathrm{m^2}, \qquad a = \frac{\pi (0.010)^2}{4} = 7.85 \times 10^{-5}\ \mathrm{m^2}

    2. 孔から流れ出る速さはやはりトリチェリの法則に従い、その上にある残りの水深で決まります。水が外に出る際、水流は孔の面積の約62%まで収縮するため、ここで流量係数を用います。流速に孔の面積を掛けて毎秒の体積を求め、それを樽の断面積で割ると、水位が下がる速さが得られます。

      dhdt=−Cd a 2ghA\frac{dh}{dt} = -\frac{C_d\,a\,\sqrt{2gh}}{A}

    3. 両辺に水深が含まれるため、変数を分離して満水から空になるまで積分します。この問題に登場する微積分はこれだけであり、ここから下にあるすべての式の形が導かれます。

      ∫H0dhh=−Cd a 2gA∫0Tdt⟹2H=Cd a 2gA T\int_H^0 \frac{dh}{\sqrt h} = -\frac{C_d\,a\,\sqrt{2g}}{A}\int_0^T dt \quad\Longrightarrow\quad 2\sqrt H = \frac{C_d\,a\,\sqrt{2g}}{A}\,T

    4. 式を整理すると、排水完了までの時間が求まります。ここに数値を代入します。

      T=ACd a2Hg=0.07070.62×7.85×10−52×1.009.81=655.4 sT = \frac{A}{C_d\,a}\sqrt{\frac{2H}{g}} = \frac{0.0707}{0.62 \times 7.85 \times 10^{-5}}\sqrt{\frac{2 \times 1.00}{9.81}} = 655.4\ \mathrm{s}

    5. 同じ積分をゼロではなく水深 h で止め、式を変形すると、任意の時刻における水位が得られます。これは放物線になります。時刻 T にゼロへ達し、その後はゼロにとどまります。コンデンサの放電が完全に終わることはありません。しかし、樽は空になります。最後の水も、最後の水深による圧力で押し出されるからです。

      h(t)=H(1−tT)2h(t) = H\left(1 - \frac{t}{T}\right)^{2}

    6. 水位を半分として時間を解いてみましょう。答えは T の半分にはなりません。

      H2=H(1−tT)2⟹tT=1−12=0.293\frac{H}{2} = H\left(1 - \frac{t}{T}\right)^{2} \quad\Longrightarrow\quad \frac{t}{T} = 1 - \frac{1}{\sqrt 2} = 0.293

    7. 上半分は全体の29.3%の時間で排出され、残りの70.7%の時間は下半分に費やされます。この比率には、水深も直径も、重力も流量係数も一切関与しません。

      T−t1/2t1/2=1/21−1/2=1+2=2.414\frac{T - t_{1/2}}{t_{1/2}} = \frac{1/\sqrt 2}{1 - 1/\sqrt 2} = 1 + \sqrt 2 = 2.414

    8. 時間 T に影響を与える水についての変数は、H の平方根だけです。したがって、同じ樽に2.00 mまで水を満たしても、待ち時間は二倍にはなりません。時間は1.414倍になります。

      T(2.00)T(1.00)=2.001.00=1.414⟹T=926.9 s\frac{T(2.00)}{T(1.00)} = \sqrt{\frac{2.00}{1.00}} = 1.414 \quad\Longrightarrow\quad T = 926.9\ \mathrm{s}

    解答

    655.4秒かかり、そのうちの70.7%が下半分に費やされます。水位は H(1 − t/T)² に従って低下します。これはゼロに漸近するだけの指数関数とは異なり、有限の時間で空に達する放物線です。全体の29.3%の時間が経過した時点で半分の水がなくなり、残りの下半分には上半分の 1 + √2 = 2.414 倍の時間がかかります。この数字のどこにも、タンクの要素は含まれていません。

    T=ACd a2Hg  ∝  HT = \frac{A}{C_d\,a}\sqrt{\frac{2H}{g}} \;\propto\; \sqrt H

学習の道すじ

水槽からの流出：一つの速度、二通りの使い道

参考文献 (1)
  • Torricelli's law applied to quasi-steady tank draining kinetics and parabolic depth decay: E. Torricelli, De motu gravium naturaliter descendentium. Florence, 1644.

· 公表された資料と照合しています。訂正のご指摘を歓迎します。