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Estimativa de Fermi

Construa uma cadeia de estimativas e indique a margem de erro de cada uma. A ferramenta mostra o que se espera que a resposta valha e o que realmente vale.

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O pior cenário é 729. O que acontece é 2,85.

Defina seis fatores com ×3 cada e observe lado a lado o pior caso e o erro típico. O pior caso, em que todos os palpites erram na mesma direção, é 3⁶ = 729. O erro típico é 2,85, e em 86% das vezes o resultado fica dentro de um fator de dez. Essa diferença é todo o método. A cadeia do próprio Fermi é ainda mais rigorosa, pois ele conhecia a população de Chicago melhor do que sabia quantos lares tinham um piano: ela chega a 100 afinadores com uma margem de 2,8, e em 98% das vezes cai dentro de um fator de dez. Seis números, nenhum deles pesquisado, e uma resposta boa o bastante para sustentar um debate.

Multiplicar é somar, quando se usa logaritmos

Os erros num produto não se acumulam, porque multiplicar números significa somar os seus logaritmos. Coisas independentes que se somam combinam-se em quadratura, logo a dispersão de n fatores cresce como √n, não n. Seis fatores são 2,4 vezes mais incertos do que um, não seis vezes. O que significa que adicionar um sétimo fator melhora a estimativa por fator. Mude o tamanho da cadeia nas predefinições e observe a margem crescer muito mais devagar do que o pior cenário ao lado.

Onde falha e porque Drake é o exemplo famoso

Prima Quando para de funcionar. Cinco fatores a ×3 e um a ×10.000, que é aproximadamente o que a equação de Drake pede que aceite sobre o tempo que uma civilização se mantém audível. A margem passa para ×246, a probabilidade de calhar num fator de dez cai para 32%, e a coluna de partilha atira 93% da dúvida para essa única linha. O cancelamento exige erros limitados. O facto de conhecer a população de Chicago com uma margem de 50% significa que uma estimativa alta e outra baixa acabam por se compensar. Ninguém conhece o último fator de Drake num intervalo de quatro ordens de grandeza, portanto não há nada para cancelar e √n não consegue ajudar. A página da equação de Drake declara a outra metade disto: um produto desmorona no seu elo mais fraco.

Problemas resolvidos na íntegra

  1. Litros de água que uma cidade de 500 000 bebe num ano 7 passos

    Quantos litros de água uma cidade de 500.000 habitantes bebe em um ano? Estime cada valor e, em seguida, calcule o impacto dessas suposições.

    1. Comece pela cadeia. Apenas água potável, sem considerar banhos: cerca de 2 litros por pessoa ao dia, 365 dias, meio milhão de pessoas.

      2×365×500,000=365,000,0002 \times 365 \times 500{,}000 = 365{,}000{,}000

    2. Trezentos e sessenta e cinco milhões de litros. Qual a margem de erro aceitável para cada fator? A população vem de um censo, então consideremos ×1,2. Os 2 litros são um puro palpite — alguns bebem 3, outros bebem 1,3 — portanto, ×1,5. Os dias do ano são exatos.

      σi=ln⁡ki3:ln⁡1.53=0.234,ln⁡1.23=0.105\sigma_i = \frac{\ln k_i}{\sqrt{3}}: \quad \frac{\ln 1.5}{\sqrt3} = 0.234, \quad \frac{\ln 1.2}{\sqrt3} = 0.105

    3. Cada fator incerto por ×k contribui com ln(k)/√3 para a dispersão do logaritmo, e as contribuições independentes somam-se em quadratura.

      σ=0.2342+0.1052=0.257\sigma = \sqrt{0.234^2 + 0.105^2} = 0.257

    4. Um desvio padrão corresponde a um fator de 1,3. A resposta honesta, portanto, fica em torno de 365 milhões de litros, e seria uma surpresa errar por mais de 30%.

      e0.257=1.29e^{0.257} = 1.29

    5. Compare isso com o receio ingênuo. Se ambas as estimativas errassem na mesma direção, o desvio seria de 1,2 × 1,5 = 1,8. A dispersão real é 1,3, e a diferença entre esses dois números é o único motivo para se fazer estimativas.

      1.2×1.5=1.8vs1.291.2 \times 1.5 = 1.8 \quad \text{vs} \quad 1.29

    6. O argumento da √n exige que os erros sejam independentes. Ao estimar a população a partir de um dado desatualizado e usar esse mesmo número para calcular a quantidade de lares, você cometeu um erro duas vezes, e ele não se anula.

      σtot=∑σi2  ⟸  Cov(i,j)=0\sigma_{\text{tot}} = \sqrt{\textstyle\sum \sigma_i^2} \;\Longleftarrow\; \mathrm{Cov}(i,j) = 0

    7. Esse é o modo de falha que a estimativa de Fermi não tem como enxergar por dentro. É por isso que o método prefere fatores extraídos de origens distintas: um censo demográfico, uma taxa fisiológica, um calendário. Três fontes capazes de errar de maneira independente. Uma fonte usada três vezes parece idêntica no papel e entrega um intervalo que é ficção.

      n σ  ⟶  n σ(ρ=1)\sqrt{n}\,\sigma \;\longrightarrow\; n\,\sigma \quad (\rho = 1)

    Resposta

    Cerca de 365 milhões de litros, e é improvável errar por mais de 30%. O pior caso foi 1,8, a margem real é 1,3, e a distância entre eles é o próprio método. O único dado que a ferramenta não pode conferir por você é se os seus palpites foram de fato independentes.

  2. Batimentos numa vida, e se um rato recebe mesmo menos 7 passos

    Calcule quantas vezes bate um coração humano ao longo de uma vida e qual a largura da banda dessa resposta. Decida depois se um rato recebe realmente menos batimentos do que uma pessoa ou se apenas o parece.

    Abrir este problema na ferramenta

    1. Cinco linhas, multiplicadas pela ordem que quiser. 70 batimentos por minuto durante 78 anos dão cerca de 2,9 × 10⁹.

      70×60×24×365×78=2,869,776,000≈2.9×10970 \times 60 \times 24 \times 365 \times 78 = 2{,}869{,}776{,}000 \approx 2.9\times10^{9}

    2. Só duas das cinco linhas podem estar erradas. Os minutos de uma hora, as horas de um dia e os dias de um ano são definições, e a coluna da repartição atribui 0% da dúvida a cada uma delas, enquanto a frequência cardíaca e a esperança de vida ficam com 50% cada. Cinco linhas com a incerteza de duas.

      σi=ln⁡1.23=0.105  (×2),σ=0.1052=0.149\sigma_i = \frac{\ln 1.2}{\sqrt3} = 0.105 \ \ (\times 2), \qquad \sigma = 0.105\sqrt2 = 0.149

    3. Um desvio padrão dá um fator de 1,16, que o painel arredonda para ×1,2. As duas estimativas falharem ao mesmo tempo no mesmo sentido dá ×1,4 e, tendo cada uma sido declarada como limite e não como tendência, isso é um muro e não uma cauda.

      e0.149=1.16,1.2×1.2=1.44e^{0.149} = 1.16, \qquad 1.2 \times 1.2 = 1.44

    4. Portanto, a resposta está entre 2,0 e 4,1 mil milhões, e em mais lado nenhum.

      [2.87×1091.44,  2.87×109×1.44]=[1.99×109,  4.13×109]\left[\frac{2.87\times10^{9}}{1.44},\; 2.87\times10^{9}\times1.44\right] = \left[1.99\times10^{9},\; 4.13\times10^{9}\right]

    5. Agora as mesmas cinco linhas para outros dois animais: as três definições intactas, duas estimativas novas. Um rato a 600 batimentos por minuto que vive 2 anos, um elefante a 30 batimentos por minuto que vive 60.

      600⋅60⋅24⋅365⋅2=6.3×108,30⋅60⋅24⋅365⋅60=9.5×108600 \cdot 60 \cdot 24 \cdot 365 \cdot 2 = 6.3\times10^{8}, \qquad 30 \cdot 60 \cdot 24 \cdot 365 \cdot 60 = 9.5\times10^{8}

    6. As duas estimativas do elefante são mais frouxas do que as humanas, portanto conceda-lhes ×1,5 a cada uma. O seu intervalo chega então a 2,1 × 10⁹, e o intervalo humano começa em 2,0 × 10⁹. Os dois tocam-se, e a comparação não decide nada.

      k=1.5:[9.5×1082.25,  9.5×108×2.25]=[4.2×108,  2.1×109]k = 1.5:\quad \left[\frac{9.5\times10^{8}}{2.25},\; 9.5\times10^{8}\times2.25\right] = \left[4.2\times10^{8},\; 2.1\times10^{9}\right]

    7. Aperte-as. Uma frequência cardíaca e uma esperança de vida são ambas mensuráveis, pelo que ×1,2 é honesto para um animal que alguém tenha estudado, e o elefante fica então limitado a 1,4 × 10⁹ contra um piso humano de 2,0 × 10⁹. Agora os intervalos separam-se.

      k=1.2:[9.5×1081.44,  9.5×108×1.44]=[6.6×108,  1.4×109]k = 1.2:\quad \left[\frac{9.5\times10^{8}}{1.44},\; 9.5\times10^{8}\times1.44\right] = \left[6.6\times10^{8},\; 1.4\times10^{9}\right]

    Resposta

    Cerca de 2,9 × 10⁹ batimentos, com um intervalo honesto de 2,0 a 4,1 × 10⁹. Três das cinco linhas são definições e não carregam nada da dúvida, e é por isso que cinco fatores se comportam aqui como dois. Uma pessoa recebe de facto várias vezes mais batimentos do que um rato ou um elefante, mas a estimativa só o afirma depois de as estimativas do próprio animal serem apertadas até ×1,2. Com ×1,5 os intervalos sobrepõem-se e a distância entre as duas estimativas pontuais não significa nada, que é a pergunta a fazer a quaisquer duas estimativas antes de acreditar na diferença entre elas.

    σ=∑iσi2,σi=0  ⟺  ki=1\sigma = \sqrt{\textstyle\sum_i \sigma_i^{2}}, \qquad \sigma_i = 0 \iff k_i = 1

Percurso de aprendizagem

Ordens de grandeza

Referências (2)
  • Why independent errors combine in quadrature rather than accumulating Taylor, J. R. (1997). An Introduction to Error Analysis: The Study of Uncertainties in Physical Measurements (2nd ed.). University Science Books — Chapter 3, on propagation for products and quotients.
  • The piano-tuner problem itself Weinstein, L. and Adam, J. A. (2008). Guesstimation: Solving the World's Problems on the Back of a Cocktail Napkin. Princeton University Press.

· Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.