Inequações

Toque num termo para o retirar de ambos os membros e observe a reta numérica. A resposta é uma região em vez de um único ponto, e uma das operações inverte a relação.

Ao adicionar ou subtrair, mantém-se o sentido	$a<b\iff a+c<b+c$
Ao multiplicar por um número positivo, mantém-se o sentido	$k>0:\quad a<b\iff ka<kb$
Ao multiplicar por um número negativo, inverte-se o sentido	$k<0:\quad a<b\iff ka>kb$

Exemplo resolvido — Inequações

Fronteira	4 (excluído)

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

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Lição

A teoria — Inequações289 palavras

Resolver uma inequação significa determinar o conjunto de valores que a satisfazem. Este conjunto é definido por duas componentes distintas: a posição da fronteira e a inclusão do respetivo ponto fronteiriço.

O que significa cada símbolo

<: uma relação estrita. A fronteira fica excluída e o conjunto solução é aberto nessa extremidade.
≤: uma relação não estrita. A fronteira está incluída e o conjunto é fechado nessa extremidade.
sup: o supremo — o menor valor que não é superado por qualquer elemento do conjunto. Um conjunto majorado possui sempre um supremo, pertença ele ou não ao conjunto.

Pressupõe: Parte do princípio de que a fronteira é o ponto exato onde os dois membros são iguais. É por este motivo que aplicamos a aritmética das equações na resolução de uma inequação. O símbolo de relação não efetua cálculos. A sua função é escolher um dos lados e determinar a pertença ao conjunto.
Falha quando: A escolha de uma condição estrita dita algo mais profundo do que a simples pertença: define se existe sequer um valor máximo. Em x ≤ 5, a maior solução é o 5, um número concreto que podemos apresentar. Em x < 5 não há qualquer solução máxima. Indique um candidato abaixo de 5. O ponto médio entre esse número e o 5 será um valor ainda maior que continuará a pertencer ao conjunto, infinitamente. O conjunto continua a ter 5 como supremo; simplesmente não o contém. É por isto que um problema de otimização com uma restrição estrita pode não ter resposta, enquanto o mesmo problema com ≤ a tem. O que num exercício escolar parece ser apenas pontuação assume o peso de toda a estrutura no exato momento em que procuramos maximizar algo.

Problemas resolvidos na íntegra

Uma entrega a custar 5 mais 2 por quilómetro com um orçamento inferior a 20 7 passos
Uma entrega custa 5 mais 2 por quilómetro. O seu orçamento é inferior a 20. Até onde pode ir — e o que acontece à álgebra se a tarifa for apresentada como um desconto?

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1. Escreva o problema como uma inequação e não como uma equação, pois a questão não é saber que distância custa exatamente 20.
  
  $5 + 2x < 20$
2. Subtraia 5 em ambos os membros. A adição e a subtração nunca afetam a relação, seja qual for o sinal daquilo que se adiciona.
  
  $2x < 15$
3. Divida por 2. Sendo um número positivo, a desigualdade mantém-se e a resposta é um intervalo aberto no extremo superior.
  
  $x < 7.5$
4. Menos de 7,5 quilómetros. O extremo é excluído porque o orçamento era estritamente inferior a 20. Aos 7,5 exatos, a tarifa é rigorosamente 20 — o que já excede o valor estipulado, ainda que por pouco.
  
  $5 + 2(7.5) = 20 \;\not<\; 20$
5. Passemos à versão do desconto. Suponha, em vez disso, que cada quilómetro retira 2 a um crédito de 20 e que precisa de manter o saldo acima de 5.
  
  $20 - 2x > 5$
6. A divisão por −2 inverte a relação, e a resposta é o mesmo intervalo de há pouco. E tinha de ser: trata-se da mesma viagem descrita da perspetiva oposta. Esquecer a inversão daria x > 7,5, que é o lado incomportável da fronteira em vez do lado acessível.
  
  $-2x > -15 \;\Rightarrow\; x < 7.5$
7. É aqui que a aritmética deixa de ajudar. Ambas as formas resultam em x < 7,5 e nenhuma delas resolve se o próprio 7,5 é viável. Saber se "menos de 20" significa 19,99 ou 20 é uma questão sobre o contrato e não sobre a inequação. O símbolo estrito faz um trabalho que a álgebra não tem como verificar.
  
  $x < 7.5 \quad\text{vs}\quad x \leq 7.5$
Resposta

Menos de 7,5 quilómetros, com o próprio 7,5 excluído. Escrita como um desconto, a mesma viagem exige uma divisão por −2 e a respetiva inversão, e esquecê-la devolve-lhe antes o lado incomportável.
A inequação que fica sem x 6 passos
Esta predefinição é 2x + 5 ≥ 2x + 5. Resolva-a e decida depois se uma inequação que perde o seu x não conseguiu produzir uma resposta ou produziu uma resposta enorme.

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1. Subtraia 2x a ambos os membros. Somar a mesma quantidade aos dois membros preserva a relação, seja essa quantidade qual for, pelo que o movimento é seguro mesmo envolvendo x, ao contrário do que sucede ao multiplicar por x.
  
  $2x + 5 \;\ge\; 2x + 5 \qquad \Big|\ -\,2x$
2. O que resta é 5 ≥ 5. Ambos os membros têm agora coeficiente zero em x, portanto não há nada para isolar nem nada por que dividir.
  
  $0\cdot x + 5 \;\ge\; 5$
3. A fórmula da fronteira mostra o mesmo obstáculo em termos aritméticos. Resolver ax + b ≥ cx + d dá x = (d − b)/(a − c), que aqui é 0 ÷ 0. O painel apresenta um travessão na linha da fronteira porque não há fronteira para apresentar.
  
  $x = \frac{d-b}{a-c} = \frac{5-5}{2-2} = \frac{0}{0}$
4. 5 ≥ 5 é verdadeiro, e é-o sem mencionar x. Logo, todos os números reais satisfazem a inequação original, e é isso que a linha da resposta diz.
  
  $5 \ge 5 \ \text{is true and holds no } x \;\Longrightarrow\; \text{every } x \ \text{is a solution}$
5. Torne a relação estrita e 5 > 5 é falso: nada serve. Em vez disso, desloque a constante do lado direito para 5,001 e a proposição passa a 0 ≥ 0,001, falsa outra vez. Quase os mesmos quatro números, e o conjunto das soluções passa da reta inteira para absolutamente nada.
  
  $2x+5 > 2x+5 \Rightarrow 5 > 5 \ \text{false} \Rightarrow \varnothing; \qquad 2x+5 \ge 2x+5.001 \Rightarrow 0 \ge 0.001 \ \text{false} \Rightarrow \varnothing$
6. Esse salto parece uma descontinuidade e não é. Mantenha o segundo membro em 5,001 e deixe os dois coeficientes de x diferirem por ε em vez de coincidirem. A fronteira fica em 0,001/ε: com ε = 0,1 a resposta é x ≥ 0,01, com ε = 0,001 é x ≥ 1, com ε = 0,0001 é x ≥ 10. A semirreta recua para o infinito à medida que ε se fecha, e é assim que o conjunto vazio chega em câmara lenta.
  
  $a-c = \varepsilon,\ d-b = 0.001: \quad x \ge \frac{0.001}{\varepsilon}: \quad \varepsilon = 0.1 \Rightarrow x \ge 0.01, \quad 0.001 \Rightarrow x \ge 1, \quad 0.0001 \Rightarrow x \ge 10$
Resposta

Todos os x. A resposta vazia é a sua gémea e não a sua oposta: quando os dois coeficientes de x coincidem, o termo em x anula-se e decidem sozinhas as duas constantes, pelo que a proposição ou é verdadeira e qualquer número a resolve, ou é falsa e nenhum a resolve. Nenhum dos casos tem fronteira, e é por isso que a linha da fronteira fica vazia em ambos e a linha da resposta é a única que vale a pena ler. A escolha entre estrito e não estrito, que em qualquer outra predefinição desloca um único ponto, nesta desloca a reta real inteira.

$a \neq c: \ x \gtrless \frac{d-b}{a-c}; \qquad a = c: \ \text{the constants alone decide, and the answer is } \mathbb{R} \ \text{or} \ \varnothing$
x nos dois membros e inversão do sentido da desigualdade 4 passos
Resolve 3 − 2x ≥ 7 + 2x.

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1. Subtrai 2x a ambos os membros para reunir os termos com x num só membro.
  
  $3-2x\ge7+2x\ \Rightarrow\ 3-4x\ge7$
2. Subtrai 3 a ambos os membros.
  
  $-4x\ge4$
3. Divide por −4. Ao dividir por um número negativo, inverte-se o sentido da desigualdade: ≥ passa a ≤.
  
  $x\le-1$
4. Verifica com um valor que satisfaça a condição obtida: para x = −2, o primeiro membro vale 7 e o segundo vale 3. A desigualdade 7 ≥ 3 é verdadeira.
  
  $x=-2:\quad7\ge3\ \checkmark$
Resposta

x ≤ −1, incluindo o próprio −1, pois a desigualdade inicial tinha o sinal ≥.

$x\le-1$
Duas desigualdades em simultâneo 4 passos
Resolve −3 < 2x + 1 ≤ 7. Que números inteiros satisfazem esta condição?
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1. Aplica a mesma operação aos três membros: subtrai 1 a cada um.
  
  $-3<2x+1\le7\;\Big|\;-1$
2. Divide os três membros por 2. Como o divisor é positivo, mantém-se o sentido das duas desigualdades.
  
  $-4<2x\le6\;\Big|\;\div2$
3. O resultado impõe duas condições em simultâneo: x é maior do que −2 e menor ou igual a 3.
  
  $-2<x\le3$
4. −2 fica excluído e 3 fica incluído, pelo que os números inteiros são −1, 0, 1, 2 e 3.
  
  $x\in\{-1,\ 0,\ 1,\ 2,\ 3\}$
Resposta

−2 < x ≤ 3. Na reta numérica: um círculo aberto em −2, um círculo preenchido em 3 e o segmento entre eles sombreado.

$-2<x\le3$

Problemas suplementares, só com a resposta

Resolve 4x − 5 > 11.

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x > 4.

$4x>16\ \Rightarrow\ x>4$
Resolve 2 − 3x ≤ 8.

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x ≥ −2. A divisão por −3 inverte o sentido da desigualdade ≤.

$-3x\le6\ \Rightarrow\ x\ge-2$
Resolve 5(x − 1) < 2x + 4.

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x < 3.

$5x-5<2x+4\ \Rightarrow\ x<3$
Resolve −1 ≤ (x − 3)/2 < 2.

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1 ≤ x < 7. Multiplica os três membros por 2 e depois adiciona 3 a cada um.

$-2\le x-3<4\ \Rightarrow\ 1\le x<7$
Qual é o maior número inteiro n que satisfaz 3n + 4 < 25?

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6. Da desigualdade obtém-se n < 7, pelo que o próprio 7 fica excluído.

$3n<21\ \Rightarrow\ n<7,\quad n=6$

Um único passo inverte o sinal, e já sabe porquê

Qualquer operação permitida numa equação também o é aqui. Somar aos dois membros, subtrair, multiplicar ou dividir. Tudo válido, tudo reversível. Nada disto altera os valores que satisfazem a condição. A exceção é a multiplicação por um negativo, que inverte a relação. Isto vem diretamente da reta numérica: −5 é menor do que −3, mas 5 é maior do que 3. Mudar o sinal reflete a reta em torno do zero. Refletir significa trocar a esquerda pela direita. Pressione A relação inverte-se e evite fazer essa troca de cabeça: obtém x < −4 no lugar de x > −4, que é a outra metade da reta.

A resposta é uma região e o extremo exige uma decisão

Uma equação tem uma solução. Uma inequação tem um conjunto delas, pelo que resolvê-la implica encontrar dois elementos: uma fronteira e uma direção. A fronteira é o local onde ambas as expressões são exatamente iguais. É por isso que a mesma aritmética funciona. A partir daí, a relação define se esse ponto único pertence ao conjunto. Pressione O extremo conta. A expressão −4x ≥ 12 resulta em x ≤ −3. Para x = −3 ambos os membros valem 12. Como 12 ≥ 12 é verdadeiro, −3 faz parte da solução. Mude o símbolo ≥ para > e o ponto passa a aberto, sem que mais nada se altere. Apenas um ponto, que é a única diferença entre os dois símbolos.

O passo que não está disponível

Pressione Multiplicar por x. A ferramenta não o fará. Multiplicar por um negativo inverte a relação, por um positivo não. O x é precisamente aquilo que ainda não descobriu. Não existe uma única resposta a dar. É por este motivo que os denominadores de x/(x−2) > 1 não podem ser eliminados multiplicando toda a expressão. Quem o faz chega a um resultado que está certo de um lado de 2 e errado do outro. As equações perdoam isto. Uma equação multiplicada por uma incógnita ganha soluções que se podem detetar e descartar com uma simples verificação. Uma inequação não oferece essa mesma possibilidade. A resposta é uma região inteira, e não uma pequena lista de candidatos que se possa testar um por um.

Percurso de aprendizagem

Isolar o x, a partir do sinal de menos

Referências (1)

Where the guarantee comes from that a least upper bound always exists, even when no largest member does: R. Dedekind, Stetigkeit und irrationale Zahlen. Vieweg, Braunschweig, 1872.

Pela equipa 7 Raven Room · Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.