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Explorador de funções racionais

f(x) = k(x − z)/(x − p): arrasta o zero e o polo no gráfico ou define os valores de z, p e k. Os cálculos das interseções com os eixos e das assíntotas aparecem abaixo.

Assíntotas verticais Q(a)=0, P(a)≠0 ⇒ x=aQ(a)=0,\ P(a)\ne0\ \Rightarrow\ x=a
Pontos em falta (x−a)P1(x)(x−a)Q1(x), Q1(a)≠0 ⇒ (a, P1(a)Q1(a))\frac{(x-a)P_{1}(x)}{(x-a)Q_{1}(x)},\ Q_{1}(a)\ne0\ \Rightarrow\ \left(a,\ \tfrac{P_{1}(a)}{Q_{1}(a)}\right)
Assíntota horizontal deg⁡P<deg⁡Q: y=0deg⁡P=deg⁡Q: y=anbn\begin{aligned}&\deg P<\deg Q:\ y=0\\&\deg P=\deg Q:\ y=\frac{a_{n}}{b_{n}}\end{aligned}
Assíntota oblíqua deg⁡P=deg⁡Q+1: PQ=mx+c+RQy=mx+c\begin{aligned}&\deg P=\deg Q+1:\ \frac{P}{Q}=mx+c+\frac{R}{Q}\\&y=mx+c\end{aligned}
A família de funções desta página k x−zx−p=k+k(p−z)x−pk\,\frac{x-z}{x-p}=k+\frac{k(p-z)}{x-p}
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Lição

A teoria — Explorador de funções racionais

Uma função racional é um quociente P(x)/Q(x) de dois polinómios. Não está definida nos pontos em que Q(x) = 0.

De onde vem a fórmula

  1. Fatoriza e simplifica. Um fator comum ao numerador e ao denominador pode ser simplificado. Se esse fator se anular num ponto onde o denominador simplificado não se anula, fica um ponto em falta no gráfico: a função simplificada tem valor nesse ponto, mas a original não está aí definida.
    x2−4x2−x−2=(x−2)(x+2)(x−2)(x+1)=x+2x+1,  x≠2\begin{aligned}\frac{x^{2}-4}{x^{2}-x-2}&=\frac{(x-2)(x+2)}{(x-2)(x+1)}\\&=\frac{x+2}{x+1},\ \ x\ne2\end{aligned}
  2. As assíntotas verticais correspondem aos zeros do denominador que permanecem após a simplificação. Perto de cada um desses pontos, a função diverge para infinito, com um sinal que depende do lado por onde nos aproximamos.
    x+1=0 ⇒ x=−1f(−1.01)=−99,f(−0.99)=101\begin{aligned}&x+1=0\ \Rightarrow\ x=-1\\&f(-1.01)=-99,\qquad f(-0.99)=101\end{aligned}
  3. Interseções com os eixos. Os zeros do numerador simplificado, nos pontos em que o denominador original não se anula, dão as abcissas das interseções com o eixo horizontal; f(0) é a ordenada na origem.
    x+2=0 ⇒ x=−2;f(0)=21=2x+2=0\ \Rightarrow\ x=-2;\qquad f(0)=\frac{2}{1}=2
  4. No infinito, compara os graus. Dividir o numerador e o denominador pela maior potência de x permite obter o limite: 0 se o grau do denominador for superior; o quociente dos coeficientes dos termos de maior grau se os graus forem iguais.
    x+2x+1=1+2x1+1x→1(x→±∞)\frac{x+2}{x+1}=\frac{1+\frac{2}{x}}{1+\frac{1}{x}}\to1\quad(x\to\pm\infty)
  5. Se o grau do numerador exceder o do denominador em uma unidade, há uma assíntota oblíqua. Efetua a divisão: o quociente dá a equação da reta de que a curva se aproxima, e o resto dividido por Q tende para 0.
    x2+3x+1x+1=x+2−1x+1 → y=x+2\frac{x^{2}+3x+1}{x+1}=x+2-\frac{1}{x+1}\ \to\ y=x+2

Ponha o zero sobre o polo e a divergência desaparece

Arraste o zero até ele ficar exatamente sobre o polo e algo curioso acontece: a curva para de explodir e se achata numa reta horizontal. Com z = p o fator (x − z) cancela o denominador por completo, deixando a constante k em todo lugar — exceto em x = p, onde a fórmula original continua dividindo por zero. Então o gráfico é uma reta com um ponto perfurado, e esta ferramenta passa a relatar um buraco em (p, k) em vez de uma assíntota. Uma raiz do denominador só é um polo se o numerador não a cancelar; caso contrário é um buraco removível, invisível em qualquer nível de zoom.

Um polo só é infinito por opção

Escrita como (ax+b)/(cx+d), toda função com um zero e um polo é uma transformação de Möbius — as aplicações que governam a análise complexa e a geometria hiperbólica. Acrescente um único ponto no infinito (a esfera de Riemann) e o polo deixa de ser uma catástrofe: x=p simplesmente é levado a esse novo ponto, e x=∞ à assíntota horizontal y=k. Na esfera a função é uma bijeção suave e reversível — a «explosão» é apenas um artefato do mapa plano.

FUNÇÕES RACIONAIS — ONDE O GRÁFICO EXPLODE, E ONDE ELE ASSENTA?

Em que caso de função racional você está?

Em f(x) = k(x − z)/(x − p) há só três números, e cada um é dono de um traço do gráfico. O zero z é onde a curva cruza o eixo. O polo p é onde o denominador se anula e a curva dispara para o infinito. O ganho k é o valor em que ela assenta longe dos dois. Leia esses três na fórmula e você já esboçou o gráfico antes de marcar um único ponto.

Bem separados — uma assíntota vertical, uma horizontal e um cruzamento x = p, y = k
Polo e zero bem perto — um pico violento entre eles |z − p| → 0 ⇒ |f| → ∞
Ganho negativo — o mesmo esqueleto com os ramos trocados k < 0 ⇒ f → −f
Polo e zero quase em cima um do outro — quase um buraco (z − p)/(z − p) = 1, z ≠ p

01

Bem separados — uma assíntota vertical, uma horizontal e um cruzamento

O que você sabe: Um polo e um zero a uma distância confortável. A assíntota vertical fica em x = p, a horizontal em y = k, e a curva cruza o eixo em x = z.

Traço: x = p, y = k

Exemplo resolvido: f(x) = (x − 1)/(x + 2): assíntota em x = −2, cruzamento em x = 1 e f → 1 bem longe nos dois sentidos. Em x = 0 o valor é −0,5.

Abrir este caso: básico
Bem separados — uma assíntota vertical, uma horizontal e um cruzamento. O polo e o ganho desenham as duas assíntotas; o zero fixa onde a curva cruza. Um polo e um zero a uma distância confortável. A assíntota vertical fica em x = p, a horizontal em y = k, e a curva cruza o eixo em x = z.
O polo e o ganho desenham as duas assíntotas; o zero fixa onde a curva cruza.

02

Polo e zero bem perto — um pico violento entre eles

O que você sabe: A mesma forma, mas o polo fica perto do zero. A curva precisa ir do eixo ao infinito numa distância curta, então sobe íngreme.

Traço: |z − p| → 0 ⇒ |f| → ∞

Exemplo resolvido: f(x) = 1,4(x − 0,5)/(x − 0,2): o polo em 0,2 está a apenas 0,3 do zero em 0,5, e f(0) já vale 3,5 contra um valor distante de 1,4

Abrir este caso: polo acentuado
Polo e zero bem perto — um pico violento entre eles. Uma distância curta entre polo e zero força a curva por uma excursão estreita e íngreme. A mesma forma, mas o polo fica perto do zero. A curva precisa ir do eixo ao infinito numa distância curta, então sobe íngreme.
Uma distância curta entre polo e zero força a curva por uma excursão estreita e íngreme.

03

Ganho negativo — o mesmo esqueleto com os ramos trocados

O que você sabe: Um k negativo vira a curva inteira em torno do eixo horizontal. As assíntotas não saem do lugar; o que muda é o canto que cada ramo ocupa.

Traço: k < 0 ⇒ f → −f

Exemplo resolvido: f(x) = −(x + 1,5)/(x − 1,2): assíntota em x = 1,2, cruzamento em x = −1,5, assíntota horizontal em y = −1 e f(0) = 1,25

Abrir este caso: ganho negativo
Ganho negativo — o mesmo esqueleto com os ramos trocados. As assíntotas continuam onde estavam, mas cada ramo mudou para o lado oposto. Um k negativo vira a curva inteira em torno do eixo horizontal. As assíntotas não saem do lugar; o que muda é o canto que cada ramo ocupa.
As assíntotas continuam onde estavam, mas cada ramo mudou para o lado oposto.

04

Polo e zero quase em cima um do outro — quase um buraco

O que você sabe: Quando z e p estão muito próximos, os fatores quase se cancelam. Fora dessa vizinhança a função fica perto da constante k, e o polo sobrevive como um pico fininho.

Traço: (z − p)/(z − p) = 1, z ≠ p

Exemplo resolvido: f(x) = (x − 1)/(x − 1,12): só 0,12 de distância, então f(0) = 0,893, perto do valor distante 1 — e ainda assim a assíntota em x = 1,12 continua lá

Abrir este caso: quase cancelado
Polo e zero quase em cima um do outro — quase um buraco. Quase uma constante em toda parte, exceto na janela estreita em que o polo ainda vence. Quando z e p estão muito próximos, os fatores quase se cancelam. Fora dessa vizinhança a função fica perto da constante k, e o polo sobrevive como um pico fininho.
Quase uma constante em toda parte, exceto na janela estreita em que o polo ainda vence.

Problemas resolvidos na íntegra

  1. Interseções com os eixos e assíntotas 5 passos

    Determina as interseções do gráfico de f(x) = 2(x − 3)/(x + 1) com os eixos e as suas assíntotas. Indica também em que regiões ficam os ramos.

    Abrir este problema na ferramenta

    1. Zero: o numerador é 0 em x = 3 e o denominador não se anula nesse ponto.

      2(x−3)=0 ⇒ x=32(x-3)=0\ \Rightarrow\ x=3

    2. Assíntota vertical: o denominador é 0 em x = −1.

      x+1=0 ⇒ x=−1x+1=0\ \Rightarrow\ x=-1

    3. Assíntota horizontal: divide o numerador e o denominador por x.

      2(x−3)x+1=2−6x1+1x→2(x→±∞)\frac{2(x-3)}{x+1}=\frac{2-\frac{6}{x}}{1+\frac{1}{x}}\to2\quad(x\to\pm\infty)

    4. Ordenada na origem: substitui x por 0.

      f(0)=2(0−3)0+1=−6f(0)=\frac{2(0-3)}{0+1}=-6

    5. Decompõe a expressão para localizar os ramos: a fração com denominador x + 1 é negativa à direita de −1. Assim, o ramo direito fica abaixo de y = 2 e o esquerdo acima.

      2(x−3)x+1=2(x+1)−8x+1=2−8x+1\frac{2(x-3)}{x+1}=\frac{2(x+1)-8}{x+1}=2-\frac{8}{x+1}

    Resposta

    Zero x = 3, ordenada na origem −6, assíntotas x = −1 e y = 2; f(x) = 2 − 8/(x + 1), com os ramos nas regiões superior esquerda e inferior direita.

    f(x)=2−8x+1:x=3,  y=−6,  x=−1,  y=2f(x)=2-\frac{8}{x+1}:\quad x=3,\ \ y=-6,\ \ x=-1,\ \ y=2
  2. Um ponto em falta 3 passos

    Considera f(x) = (x² − 4)/(x² − x − 2). Determina os pontos em falta no gráfico, as assíntotas e as interseções com os eixos.

    Mostrar solução

    1. Fatoriza o numerador e o denominador. O fator x − 2 é comum.

      f(x)=(x−2)(x+2)(x−2)(x+1)f(x)=\frac{(x-2)(x+2)}{(x-2)(x+1)}

    2. Simplifica esse fator. A função original não está definida em x = 2; a expressão simplificada permite calcular a ordenada do ponto em falta.

      =x+2x+1,  x≠2;2+22+1=43=\frac{x+2}{x+1},\ \ x\ne2;\qquad\frac{2+2}{2+1}=\frac43

    3. Na expressão simplificada, x + 1 determina a assíntota vertical e x + 2 determina o zero. Como os graus são iguais, também se obtém a assíntota horizontal.

      x+1=0⇒x=−1;x+2=0⇒x=−2y→11=1;f(0)=−4−2=2\begin{aligned}&x+1=0\Rightarrow x=-1;\qquad x+2=0\Rightarrow x=-2\\&y\to\frac11=1;\qquad f(0)=\frac{-4}{-2}=2\end{aligned}

    Resposta

    Ponto em falta em (2, 4/3); assíntotas x = −1 e y = 1; zero x = −2; ordenada na origem 2.

    (2,43);x=−1, y=1;x=−2;f(0)=2\left(2,\tfrac43\right);\quad x=-1,\ y=1;\quad x=-2;\quad f(0)=2
  3. Assíntotas horizontais e graus dos polinómios 3 passos

    Determina a assíntota horizontal, caso exista, de (a) (3x + 1)/(x² + 1), (b) (6x² − x)/(2x² + 5), (c) x³/(x² + 1).

    Mostrar solução

    1. (a) O grau do denominador é superior ao do numerador.

      3x+1x2+1=3x+1x21+1x2→0\frac{3x+1}{x^{2}+1}=\frac{\frac{3}{x}+\frac{1}{x^{2}}}{1+\frac{1}{x^{2}}}\to0

    2. (b) Os graus são iguais: calcula o quociente dos coeficientes dos termos de maior grau.

      6x2−x2x2+5=6−1x2+5x2→62=3\frac{6x^{2}-x}{2x^{2}+5}=\frac{6-\frac1x}{2+\frac{5}{x^{2}}}\to\frac62=3

    3. (c) O grau do numerador excede o do denominador em uma unidade, pelo que não há assíntota horizontal; a divisão permite obter uma assíntota oblíqua.

      x3x2+1=x−xx2+1\frac{x^{3}}{x^{2}+1}=x-\frac{x}{x^{2}+1}

    Resposta

    (a) y = 0, (b) y = 3, (c) não existe: a curva aproxima-se da reta y = x.

    y=0;y=3;y=xy=0;\qquad y=3;\qquad y=x
  4. Uma assíntota oblíqua 3 passos

    Determina as assíntotas de f(x) = (x² + 3x + 1)/(x + 1).

    Mostrar solução

    1. O grau do numerador excede o do denominador em uma unidade. Efetua a divisão.

      x2+3x+1=(x+1)(x+2)−1 ⇒ f(x)=x+2−1x+1x^{2}+3x+1=(x+1)(x+2)-1\ \Rightarrow\ f(x)=x+2-\frac{1}{x+1}

    2. A fração com o resto no numerador tende para 0 quando x tende para mais ou menos infinito.

      1x+1→0(x→±∞)\frac{1}{x+1}\to0\quad(x\to\pm\infty)

    3. O denominador é 0 em x = −1, mas o numerador não se anula nesse ponto: vale −1.

      x+1=0⇒x=−1,(−1)2+3(−1)+1=−1≠0x+1=0\Rightarrow x=-1,\qquad(-1)^{2}+3(-1)+1=-1\ne0

    Resposta

    Vertical x = −1; oblíqua y = x + 2.

    x=−1;y=x+2x=-1;\qquad y=x+2
  5. Interseção com a assíntota horizontal 2 passos

    O gráfico de f(x) = (x² − 2x)/(x² + 1) cruza a sua assíntota horizontal? Se sim, em que ponto?

    Mostrar solução

    1. Os graus são iguais, pelo que a assíntota horizontal é y = 1.

      x2−2xx2+1→11=1\frac{x^{2}-2x}{x^{2}+1}\to\frac11=1

    2. Resolve a equação f(x) = 1. Os termos em x² anulam-se, restando uma equação do primeiro grau.

      x2−2xx2+1=1  ⟺  x2−2x=x2+1  ⟺  x=−12\frac{x^{2}-2x}{x^{2}+1}=1\iff x^{2}-2x=x^{2}+1\iff x=-\frac12

    Resposta

    Sim, uma única vez, em (−1/2, 1). Uma assíntota horizontal descreve apenas o comportamento da função quando x tende para mais ou menos infinito.

    (−12, 1)\left(-\tfrac12,\ 1\right)
  6. Uma inequação racional 3 passos

    Resolve (x − 3)/(x + 1) > 0.

    Abrir este problema na ferramenta

    Mostrar solução

    1. O sinal só pode mudar no zero, 3, e no polo, −1. Estes pontos dividem a reta em três intervalos.

      x<−1,−1<x<3,x>3x<-1,\qquad-1<x<3,\qquad x>3

    2. Escolhe um ponto de cada intervalo e verifica o sinal.

      f(−2)=−5−1=5>0f(0)=−31=−3<0f(4)=15>0\begin{aligned}&f(-2)=\frac{-5}{-1}=5>0\\&f(0)=\frac{-3}{1}=-3<0\\&f(4)=\frac15>0\end{aligned}

    3. Em x = 3, o valor é 0, que não é maior do que 0; x = −1 não pertence ao domínio.

      f(3)=0≯0,x=−1∉dom⁡ff(3)=0\not>0,\qquad x=-1\notin\operatorname{dom}f

    Resposta

    x < −1 ou x > 3

    x<−1  ∨  x>3x<-1\ \ \lor\ \ x>3
  7. Determinar uma função pelas suas características 2 passos

    Determina f(x) = k(x − z)/(x − p), sabendo que tem assíntota vertical x = 2, assíntota horizontal y = 3 e ordenada na origem −3.

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    Mostrar solução

    1. A assíntota vertical determina p; a horizontal determina k.

      x=2⇒p=2;y=3⇒k=3x=2\Rightarrow p=2;\qquad y=3\Rightarrow k=3

    2. A ordenada na origem permite determinar z.

      f(0)=3(0−z)0−2=3z2=−3 ⇒ z=−2f(0)=\frac{3(0-z)}{0-2}=\frac{3z}{2}=-3\ \Rightarrow\ z=-2

    Resposta

    f(x) = 3(x + 2)/(x − 2)

    f(x)=3(x+2)x−2f(x)=\frac{3(x+2)}{x-2}
  8. A curva a atingir a sua assíntota horizontal em y = 1 5 passos

    f(x) = (x − 1)/(x + 2) tem uma assíntota horizontal em y = 1. Determine se a curva chega efetivamente a alcançá-la.

    Abrir este problema na ferramenta

    Mostrar solução

    1. O zero e o polo leem-se diretamente da forma fatorizada: o numerador anula-se em 1, o denominador em −2.

      f(x)=0  ⟺  x=1;x+2=0  ⟺  x=−2 (vertical asymptote)f(x)=0\iff x=1;\qquad x+2=0\iff x=-2\ \text{(vertical asymptote)}

    2. Para valores grandes de |x|, tanto o numerador como o denominador são dominados pelos seus termos em x, pelo que a razão tende para a razão dos coeficientes principais. Essa é a assíntota horizontal, e aqui é 1.

      lim⁡x→±∞x−1x+2=11=1 (horizontal asymptote)\lim_{x\to\pm\infty}\frac{x-1}{x+2}=\frac{1}{1}=1\ \text{(horizontal asymptote)}

    3. Agora faça a pergunta diretamente em vez de avaliar o gráfico a olho: iguale a função à sua assíntota e resolva.

    4. O x cancela-se e deixa −1 = 2, o que é falso para todo o x. Assim, a curva nunca toca em y = 1 — nem ao longe, nem em lado nenhum.

      x−1x+2=1  ⟺  x−1=x+2  ⟺  −1=2— no solution\frac{x-1}{x+2}=1\iff x-1=x+2\iff -1=2\quad\text{— no solution}

    5. Junto da assíntota vertical, o comportamento é diferente. Imediatamente à direita de −2, em −1,99, a função vale −299; imediatamente à esquerda, em −2,01, vale +301. A função diverge em sentidos opostos, sem tender para um mesmo valor de ambos os lados.

      f(−1.99)=−299,f(−2.01)=+301f(-1.99)=-299,\qquad f(-2.01)=+301

    Resposta

    A ferramenta apresenta uma interseção com o eixo dos x em 1, uma assíntota vertical em −2 e uma assíntota horizontal em 1. O resultado que vale a pena reter é que uma assíntota horizontal não é uma barreira — esta nunca é alcançada, mas isso é um facto sobre esta função e não uma regra. Altere o numerador para x − 1 + algo que se anule e a curva pode cruzar a sua assíntota horizontal livremente, até repetidamente. As assíntotas verticais é que são as rigorosas: a função não está definida aí, pelo que nunca as pode cruzar. Confundir as duas é o erro mais comum neste tópico, e uma linha de álgebra resolve o assunto todas as vezes.

    the curve approaches y=1 and never reaches it; the pole flips sign\text{the curve approaches}\ y=1\ \text{and never reaches it};\ \text{the pole flips sign}

Problemas suplementares, só com a resposta

  1. Determina as interseções do gráfico de f(x) = (3x − 6)/(x + 2) com os eixos e as suas assíntotas.

    Mostrar resposta

    Zero 2, ordenada na origem −3; assíntotas x = −2 e y = 3

    x=2,  y=−3;x=−2,  y=3x=2,\ \ y=-3;\qquad x=-2,\ \ y=3

  2. Determina o ponto em falta no gráfico de f(x) = (x² + x − 6)/(x² − 9) e as suas assíntotas.

    Mostrar resposta

    Ponto em falta em (−3, 5/6); assíntotas x = 3 e y = 1

    (−3,56);x=3,  y=1\left(-3,\tfrac56\right);\qquad x=3,\ \ y=1

  3. Determina a assíntota oblíqua de f(x) = (2x² + x − 1)/(x − 1).

    Mostrar resposta

    y = 2x + 3

    y=2x+3y=2x+3

  4. Resolve (x + 2)/(x − 1) ≤ 0.

    Mostrar resposta

    −2 ≤ x < 1

    −2≤x<1-2\le x<1

  5. Determina a assíntota horizontal de f(x) = (4x³ − x)/(2x³ + 7).

    Mostrar resposta

    y = 2

    y=2y=2

Percurso de aprendizagem

Para além da quadrática

Referências (2)
  • Why k(x−z)/(x−p) is a Möbius map, and why circles and lines are the only shapes it produces: T. Needham, Visual Complex Analysis, Chapter 3: Möbius Transformations and Inversion. Oxford University Press, 1997.
  • The asymptotes as ordinary behaviour at a point, once infinity is a point: L. V. Ahlfors, Complex Analysis, 3rd edition. McGraw-Hill, 1979 — rational functions on the extended plane.

· Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.