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Explorador de convergência de séries

Observe as somas parciais crescerem. A série converge para um limite finito ou diverge?

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Cinquenta termos, seis decimais exatas

Escolha 1/n² com N = 50 e a página exibe S50 = 1,625133, ainda 0,0198 abaixo de π²/6. Essa diferença é a cauda que ficou de fora, e a cauda equivale quase a uma área: os termos após o 50º somam quase exatamente a área sob 1/x² a partir de 50 (que é 1/50), descontada a metade do 50º termo. Devolva o valor à conta e terá 1,625133 + 0,02 − 0,0002 = 1,644933, com erro apenas na sexta casa decimal (um desvio de 1,3 × 10⁻⁶). A soma simples precisa de cerca de 750.000 termos para chegar tão perto. Com N = 10, a mesma correção fornece 1,549768 + 0,1 − 0,005 = 1,644768, garantindo três decimais exatas a partir de dez termos.

O que é de fato uma soma parcial

Uma série infinita nunca é somada de uma só vez. Em vez disso, acompanha-se a soma parcial SN, o total acumulado dos N primeiros termos, e observa-se para onde ele tende à medida que N cresce. No gráfico, se essa curva se achata em direção a uma linha horizontal, a série converge para essa altura; se continua subindo, diverge. Convergência é apenas uma sequência de totais que se estabiliza.

Como a série harmônica empilha blocos

Empilhe blocos iguais na borda de uma mesa. O do topo pode se projetar além da borda no máximo ½ HN, metade da N-ésima soma parcial harmônica. Como a série harmônica diverge, esse balanço não tem limite: com blocos suficientes, o do topo fica inteiramente além da borda. Bastam 4 blocos para ultrapassar o comprimento de um bloco inteiro, pois H4 ≈ 2.08.

TEORIA DE SÉRIES — QUAL TESTE DE CONVERGÊNCIA USAR

Escolher o teste de convergência: case o teste com o formato

Nenhum teste isolado resolve toda série. Cada um é feito para um formato específico do termo geral — razão constante, potência simples de n, fatorial, sinais alternados — e aplicar o errado costuma devolver «inconclusivo» em vez de uma resposta errada. Leia o termo primeiro, reconheça o formato, e o teste se escolhe sozinho.

Teste do termo geral — só consegue provar divergência lim an ≠ 0 ⇒ ∑an → ∞
Geométrica — razão constante entre os termos Σarn, |r| < 1
Série p — uma potência simples de n embaixo Σ1/np, p > 1
Teste da razão — fatoriais e potências n-ésimas L = lim |an+1/an|
Alternada — o sinal vira a cada termo Σ(−1)nbn, bn ↓ 0
Telescópica — o miolo da soma se cancela Σ[f(n) − f(n+1)]

01

Teste do termo geral — só consegue provar divergência

O termo parece: Qualquer série. Verifique isto primeiro; custa um único limite.

Teste: lim an ≠ 0 ⇒ ∑an → ∞

Exemplo resolvido: Σ1/n tem aₙ → 0, então o teste não diz nada — e a série diverge mesmo assim.

Abrir este caso: Harmônica
Teste do termo geral — só consegue provar divergência. As somas parciais harmônicas continuam subindo mesmo com os termos individuais sumindo. Qualquer série. Verifique isto primeiro; custa um único limite.
As somas parciais harmônicas continuam subindo mesmo com os termos individuais sumindo.

02

Geométrica — razão constante entre os termos

O termo parece: Cada termo é um múltiplo fixo do anterior: aₙ₊₁/aₙ = r, o mesmo r sempre.

Teste: Σarn, |r| < 1

Exemplo resolvido: Σ(1/2)ⁿ tem r = 1/2, então converge — e o total é exatamente a/(1 − r).

Abrir este caso: Geométrica
Geométrica — razão constante entre os termos. Razão constante abaixo de 1: as somas parciais se achatam sobre o limite exato. Cada termo é um múltiplo fixo do anterior: aₙ₊₁/aₙ = r, o mesmo r sempre.
Razão constante abaixo de 1: as somas parciais se achatam sobre o limite exato.

03

Série p — uma potência simples de n embaixo

O termo parece: O termo é 1/nᵖ e nada mais: sem fatorial, sem sinal alternado.

Teste: Σ1/np, p > 1

Exemplo resolvido: 1/n² converge (p = 2); 1/n diverge (p = 1). A fronteira é exatamente p = 1.

Abrir este caso: p-série
Série p — uma potência simples de n embaixo. p = 2 se assenta rápido enquanto p = 1 segue subindo. O limiar é exatamente p = 1. O termo é 1/nᵖ e nada mais: sem fatorial, sem sinal alternado.
p = 2 se assenta rápido enquanto p = 1 segue subindo. O limiar é exatamente p = 1.

04

Teste da razão — fatoriais e potências n-ésimas

O termo parece: O termo contém n!, cⁿ ou nⁿ. Calcule L = lim |aₙ₊₁/aₙ|.

Teste: L = lim |an+1/an|

Exemplo resolvido: Σ1/n! dá L = lim 1/(n+1) = 0 < 1, então converge — e muito rápido.

Abrir este caso: Série e−1
Teste da razão — fatoriais e potências n-ésimas. 1/n! desaba sobre o seu limite em meia dúzia de termos. O termo contém n!, cⁿ ou nⁿ. Calcule L = lim |aₙ₊₁/aₙ|.
1/n! desaba sobre o seu limite em meia dúzia de termos.

05

Alternada — o sinal vira a cada termo

O termo parece: O termo carrega (−1)ⁿ, e os módulos decrescem de forma constante até zero.

Teste: Σ(−1)nbn, bn ↓ 0

Exemplo resolvido: Σ(−1)ⁿ⁺¹/n converge para ln 2, mesmo com Σ1/n divergindo.

Abrir este caso: Harm. alternada
Alternada — o sinal vira a cada termo. As somas parciais passam e ficam aquém alternadamente, fechando sobre o limite. O termo carrega (−1)ⁿ, e os módulos decrescem de forma constante até zero.
As somas parciais passam e ficam aquém alternadamente, fechando sobre o limite.

06

Telescópica — o miolo da soma se cancela

O termo parece: O termo se parte numa diferença f(n) − f(n+1), em geral por frações parciais.

Teste: Σ[f(n) − f(n+1)]

Exemplo resolvido: 1/(n(n+1)) = 1/n − 1/(n+1), então Sₙ = 1 − 1/(n+1) → 1.

Abrir este caso: Telescópica
Telescópica — o miolo da soma se cancela. Tudo entre o primeiro e o último termo se cancela, restando Sₙ = 1 − 1/(n+1). O termo se parte numa diferença f(n) − f(n+1), em geral por frações parciais.
Tudo entre o primeiro e o último termo se cancela, restando Sₙ = 1 − 1/(n+1).
Referências (2)

Problema resolvido na íntegra

  1. A 50.ª soma parcial de 1 + 1/2 + 1/3 + … 5 passos

    A 50.ª soma parcial de 1 + 1/2 + 1/3 + … é 4,499, os termos já desceram para 0,02 e o critério da razão dá 0,98. Tudo no painel parece convergência. Prove que ela diverge — e depois determine até onde teria de ir para alcançar 100.

    1. Arrumemos primeiro o critério da razão. Ele compara termos consecutivos e, para 1/n, essa razão é (n − 1)/n, que sobe para 1 a partir de baixo aconteça o que acontecer. O teste devolve inconclusivo, não converge. Uma página que apresentasse 0,98 sem essa palavra seria enganadora por omissão.

      ∣a50a49∣=4950=0.98 ⟶ 1(test inconclusive)\left|\frac{a_{50}}{a_{49}}\right|=\frac{49}{50}=0.98\ \longrightarrow\ 1\quad(\text{test inconclusive})

    2. A demonstração é de Oresme e tem sete séculos. Agrupe os termos em blocos que terminam em cada potência de dois: 1/3 + 1/4 excede 1/2, os quatro termos seguintes excedem 1/2, os oito seguintes também. Cada bloco contribui com pelo menos metade, e há infinitos blocos.

      ∑n=12m1n ≥ 1+m2⟹unbounded\sum_{n=1}^{2^m}\frac1n\ \ge\ 1+\frac{m}{2}\quad\Longrightarrow\quad \text{unbounded}

    3. Isso resolve a divergência, mas não dá qualquer taxa, e a taxa é o que torna a divergência credível perante uma soma apresentada de 4,5. Comparar a soma com ∫dx/x fornece uma: as somas parciais acompanham ln n mais uma constante, e essa constante é γ.

      Hn=ln⁡n+γ+12n+O(n−2),γ=0.5772157H_n=\ln n+\gamma+\frac{1}{2n}+O(n^{-2}),\qquad \gamma=0.5772157

    4. Teste-o. ln 50 + γ = 4,489239 contra os 4,499205 apresentados, e os 0,009967 restantes são o termo seguinte da expansão, 1/2n = 0,01. A aproximação não é apenas próxima; é próxima de uma forma que prevê o seu próprio erro.

      ln⁡50+γ=4.489239,4.499205−4.489239=0.009967≈12×50\ln 50+\gamma=4.489239,\qquad 4.499205-4.489239=0.009967\approx\frac{1}{2\times50}

    5. Portanto, inverta-a. Uma soma de 10 precisa de cerca de e^(10−γ) ≈ 12 000 termos. Uma soma de 100 precisa de e^(100−γ).

      Hn=100 ⟹ n≈e 100−γ=1.5×1043H_n=100\ \Longrightarrow\ n\approx e^{\,100-\gamma}=1.5\times10^{43}

    Resposta

    A ferramenta apresenta 4,499205 após 50 termos e classifica a série como divergente, e ambos são verdadeiros ao mesmo tempo — o que constitui toda a dificuldade deste exemplo. A soma cresce como ln n, pelo que acaba por ultrapassar qualquer objetivo finito. Alcançar 10 demora cerca de 12 000 termos; alcançar 100 demora 1,5 × 10⁴³. A divergência é uma afirmação sobre a eternidade, não sobre os próximos milhares de termos, e 1/n é a prova padrão de que essas duas coisas não são a mesma. Mude a série para 1/n² e os mesmos 50 termos fixam-se em 1,625 e ali permanecem: π²/6 é 1,645, e todo o resto infinito vale 0,02.

    H50=4.499205,Hn∼ln⁡n ⟹ Hn=100 at n≈1.5×1043H_{50}=4.499205,\qquad H_n\sim\ln n\ \Longrightarrow\ H_n=100\ \text{at}\ n\approx1.5\times10^{43}

Percurso de aprendizagem

Séries infinitas e convergência

· Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.