Achterbahn-Energiesimulator

Ziehe den Positionsregler entlang der Strecke. Energieerhaltung bestimmt die Geschwindigkeit an jedem Punkt.

Ohne Reibung: Energie pro Kilogramm bleibt erhalten	$\tfrac12v^{2}+gh=\tfrac12v_0^{2}+gh_0\ \Rightarrow\ v=\sqrt{v_0^{2}+2g(h_0-h)}$
Mit Reibung: d ist die zurückgelegte Horizontalstrecke	$\tfrac12v^{2}+gh=\tfrac12v_0^{2}+gh_0-\mu g\,d$

Rechenbeispiel — Achterbahn-Energiesimulator

Streckendistanz	0 m
Höhe	5 m
Startenergie / Masse	49,05 J/kg
Verlorene Energie (Reibung)	0 J/kg
Geschwindigkeit	0 m/s
Kinetische Energie	0 J
Potenzielle Energie	49,05 J
Energiebilanz	49,05 J

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

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Lektion

Die Theorie — Achterbahn-Energiesimulator

Auf einer reibungsfreien Bahn bleibt die mechanische Energie erhalten: Die Summe aus kinetischer und potenzieller Energie ist überall gleich. Dieser einzige Satz legt die Geschwindigkeit an jedem Punkt der Fahrt allein aus der Ausgangshöhe fest — ganz ohne Kräfte, Zeitverlauf oder die Form des Hügels zu benötigen.

Was die einzelnen Symbole bedeuten

h: die Höhe über dem Bezugsniveau. Welche Ebene du als Null wählst, ändert nie ein Ergebnis: in die Formel geht nur die Differenz h₀ − h ein, sodass ein verschobenes Bezugsniveau beide Höhen zugleich verschiebt.
v: die Geschwindigkeit, die die Anzeige aus der Energie statt aus einer Kraft ableitet.
KE: kinetische Energie, ½mv².
PE: potenzielle Energie, mgh — 49.05 J zu Beginn, aus 1 × 9.81 × 5.
μ: der Reibungskoeffizient. Liegt er über null, kostet jeder horizontal zurückgelegte Meter genau μg Joule pro Kilogramm, völlig unabhängig von der Steigung.

Woher die Formel kommt

Ohne Reibung bleibt die Gesamtenergie erhalten. Die Summe aus kinetischer und potenzieller Energie ist an jedem Punkt der Fahrt dieselbe wie am Anfang.
$\tfrac12mv^{2}+mgh=\tfrac12mv_0^{2}+mgh_0$
In jedem Term steckt die Masse, kürze sie also heraus. Sie fällt komplett weg, und zwar ein für alle Mal.
$\tfrac12v^{2}+gh=\tfrac12v_0^{2}+gh_0$
Löse nach der Geschwindigkeit auf. In der Rechnung zählt allein der Höhenverlust, und der Wagen kann sich nur dort bewegen, wo die Wurzel reell bleibt: Er steigt niemals höher, als seine Anfangsenergie reicht.
$v=\sqrt{v_0^{2}+2g(h_0-h)},\qquad h\le h_0+\frac{v_0^{2}}{2g}$
Reibung auf einer geraden Strecke mit dem Neigungswinkel θ: Die Normalkraft beträgt mg cos θ und das Teilstück hat die Länge d/cos θ. Die Reibungsarbeit ist damit gleich μmg mal die Horizontalstrecke d. Zieh diese Arbeit von der Energie ab, bevor du nach der Geschwindigkeit auflöst.
$W_f=\mu\,(mg\cos\theta)\,\frac{d}{\cos\theta}=\mu mg\,d\ \Rightarrow\ v=\sqrt{v_0^{2}+2g(h_0-h)-2\mu g\,d}$

Setzt voraus: Eine Punktmasse gleitet entlang der Bahn: ohne Rotation, ohne Luftwiderstand und immer mit genug Tempo, um auf den Schienen zu bleiben. Reibung wird nur auf geraden Teilstücken berechnet. Der zusätzliche Druck bei schneller Kurvenfahrt, der in Senken die Normalkraft vergrößert, bleibt unberücksichtigt. Ebenso wenig prüft das Modell, ob der Wagen auf einer Kuppe den Kontakt verliert.
Versagt, wenn: Schritt 2 solltest du lieber nachprüfen als ihm blind zu vertrauen – und diese Seite macht es dir leicht. Klick auf Halfpipe und zieh den Positionsregler in die Mitte: Die Geschwindigkeitsanzeige steht bei 9.9045 m/s. Ändere die Masse von 1 kg auf 500 kg, und sie zeigt noch immer 9.9045 m/s, während die kinetische Energie von 49.05 J auf 24,525 J hochspringt. Schwerere Wagen führen zwar weit mehr Energie mit, fahren aber kein Stück schneller. Selbst Reibung ändert daran nichts: Der Verlust pro Masseeinheit beträgt μgd, ist also ebenfalls unabhängig von der Masse.

Aufgaben vollständig gelöst

Ein 1-kg-Wagen, der aus der Ruhe bei 5 m auf der Bahn losgelassen wird 6 Schritte
Ein Wagen mit einer Masse von 1 kg wird aus der Ruhe bei 5 m auf der Strecke 0,5; 2,3; 3,6; 5,1; 7,4; 9,2; 10,5 losgelassen. Bestimmen Sie, wo er endet – und es ist nicht das ferne Ende.
1. Ohne Reibung wird die Gesamtenergie durch die Ausgangshöhe festgelegt und ändert sich nie. Ein Kilogramm und 5 Meter sind alle Eingaben, die diese Aufgabe hat.
  
  $E_0=mgh_0=1\times9.81\times5=49.05\ \mathrm{J},\qquad v_0=0$
2. Nach der Geschwindigkeit umgestellt, wird dieselbe Aussage zu einer Einschränkung: Der Wagen kann sich nur dort befinden, wo die Quadratwurzel reell ist. Das ist bereits die gesamte Lösung, noch bevor irgendeine Strecke gezeichnet wird.
  
  $\tfrac{1}{2}mv^{2}=mg(h_0-h)\ \Longrightarrow\ v=\sqrt{2g(h_0-h)},\quad\text{real only where }h\le h_0$
3. Lesen Sie das Maximum der Strecke ab. Der Gipfel liegt über dem Startpunkt, was die Frage entscheidet – und beachten Sie, dass der Abfall auf 1 m dahinter gar nicht erst in die Argumentation eingeht.
  
  $\text{track max}=6\ \mathrm{m}>h_0=5\ \mathrm{m}\quad\Longrightarrow\quad\text{the hill at }x=3\text{ is unreachable}$
4. Bestimmen Sie den Umkehrpunkt exakt. Er liegt auf dem Anstieg von (2,3) nach (3,6), wo das gerade Segment die Ausgangshöhe wieder kreuzt.
  
  $(2,3)\to(3,6):\ y=5\ \text{at}\ x=2+\tfrac{5-3}{6-3}=2.667$
5. Der Positionsregler misst die Strecke entlang der Bahn, daher hilft die Gesamtlänge: sechs Abschnitte, sechsmal Pythagoras.
  
  $s=\sum\sqrt{\Delta x^{2}+\Delta y^{2}}=2.828+3.162+5.385+3.606+2.828+3.162=20.972\ \mathrm{m}$
6. Zwei Geschwindigkeiten schließen die Betrachtung ab: die höchste Geschwindigkeit, die der Wagen auf seiner kurzen Fahrt tatsächlich erreicht, und die Startgeschwindigkeit, die den Rest der Fahrt freischalten würde.
  
  $v_{\max}=\sqrt{2g(5-3)}=6.26\ \mathrm{m/s};\qquad v_0\ \text{needed}=\sqrt{2g(6-5)}=4.43\ \mathrm{m/s}$
Antwort

Bei x = 2,667 m kehrt der Wagen um und erreicht den restlichen Teil der Bahn nie. Der Hügel bei x = 3 ist 6 m hoch, der Wagen ist aber auf 5 m gestartet. Dafür reicht die Energie schlicht nicht aus. Hinter diesem Punkt zeigt die Anzeige an jeder Position angehalten an; das Werkzeug bestätigt damit das Ergebnis, statt zu versagen. Bemerkenswert ist, dass du dafür überhaupt keine Simulation brauchst. Aus der Energieerhaltung wird statt einer Differentialgleichung die Ungleichung h ≤ h₀. Welche Form die Bahn zwischen dem Start und dem Hindernis hat, spielt keine Rolle. Gib dem Wagen oben eine Geschwindigkeit von 4,43 m/s, und die gesamten 20,972 m werden zugänglich, einschließlich der Durchfahrt durch die Senke bei x = 5 mit 9,90 m/s. Bei einer geringeren Geschwindigkeit bleibt ihm dieser ganze Teil der Bahn verwehrt.

$h_{\text{track}}=6>h_0=5\ \Longrightarrow\ \text{it stops at }x=2.667,\ \text{never reaching the drop}$
Geschwindigkeit am Boden der Halfpipe 4 Schritte
Ein 250 kg schwerer Wagen startet aus der Ruhe am 5 m hohen Rand der Halfpipe. Wie schnell fährt er ohne Reibung auf dem flachen Boden, welche kinetische Energie besitzt er dort und welches Tempo hat er 2 m über dem Boden am Gegenhang?

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1. Energie am Start und am Boden, mit dem Boden als Bezugspunkt für die Höhe null:
  
  $E_0=mgh_0=250(9{.}81)(5)=12\,262{.}5\ \mathrm{J},\qquad E_{\mathrm{bottom}}=\tfrac12mv^{2}$
2. Die Masse kürzt sich heraus, die Geschwindigkeit ergibt sich also allein aus der Fallhöhe:
  
  $\tfrac12mv^{2}=mgh_0\ \Rightarrow\ v=\sqrt{2gh_0}=\sqrt{2(9{.}81)(5)}=9{.}9045\ \mathrm{m/s}$
3. Für die kinetische Energie wird die Masse dagegen benötigt:
  
  $E_k=\tfrac12(250)(9{.}9045)^{2}=12\,263\ \mathrm{J}$
4. In 2 m Höhe am Gegenhang beträgt der Höhenunterschied zum Start nur noch 3 m:
  
  $v=\sqrt{2g(h_0-h)}=\sqrt{2(9{.}81)(5-2)}=7{.}672\ \mathrm{m/s}$
Antwort

9,9045 m/s am Boden mit 12.263 J kinetischer Energie und 7,672 m/s in 2 m Höhe am Gegenhang. Da der Boden völlig flach ist, durchquert der Wagen den gesamten Bereich mit unveränderten 9,9045 m/s.

$v_{\mathrm{bottom}}=9{.}9045\ \mathrm{m/s},\quad E_k=12\,263\ \mathrm{J},\quad v(2\ \mathrm{m})=7{.}672\ \mathrm{m/s}$
Die Mindeststartgeschwindigkeit für die Kuppe 3 Schritte
Auf der klassischen Bahn startet der Wagen in 5 m Höhe; die Kuppe bei x = 3 ist 6 m hoch. Welche Anfangsgeschwindigkeit braucht er ohne Reibung mindestens, um über die Kuppe zu kommen, und wie schnell ist er danach in der 1 m tiefen Senke bei x = 5?

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1. Am Gipfel darf die Geschwindigkeit im Grenzfall null sein. Energiebilanz vom Start bis zur Kuppe:
  
  $\tfrac12v_0^{2}+gh_0=\tfrac12v_{\mathrm{top}}^{2}+gh_{\mathrm{top}},\qquad v_{\mathrm{top}}\ge0$
2. Nach der Startgeschwindigkeit auflösen:
  
  $v_0=\sqrt{2g(h_{\mathrm{top}}-h_0)}=\sqrt{2(9{.}81)(6-5)}=\sqrt{19{.}62}=4{.}4294\ \mathrm{m/s}$
3. Energiebilanz vom Start bis zur Senke, 4 m unterhalb der Starthöhe:
  
  $v=\sqrt{v_0^{2}+2g(h_0-h)}=\sqrt{19{.}62+2(9{.}81)(5-1)}=\sqrt{98{.}1}=9{.}9045\ \mathrm{m/s}$
Antwort

4,4294 m/s und anschließend 9,9045 m/s in der Senke. Das entspricht genau der Geschwindigkeit nach 5 m freiem Fall aus der Ruhe, weil der Startschwung exakt den 1 m Höhenunterschied ausgeglichen hat, den die Kuppe verlangte.

$v_0=4{.}4294\ \mathrm{m/s},\qquad v_{\mathrm{dip}}=9{.}9045\ \mathrm{m/s}$
Eine Bahn mit Reibung 3 Schritte
Ein 1 kg schwerer Wagen startet aus der Ruhe in 5 m Höhe auf der Bahn mit Reibung, die 10 m weiter auf Bodenhöhe endet. Der Reibungskoeffizient beträgt 0,05. Wie schnell kommt er an und wie viel Energie hat die Reibung geschluckt?

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1. Auf jedem geraden Teilstück kostet die Reibung μmg mal die Horizontalstrecke. Für die gesamte Bahn gilt daher:
  
  $W_f=\mu mg\,d=0{.}05(1)(9{.}81)(10)=4{.}905\ \mathrm{J}$
2. Die Energie am Start entspricht der Energie am Ziel plus der geleisteten Reibungsarbeit:
  
  $mgh_0=\tfrac12mv^{2}+W_f\ \Rightarrow\ v=\sqrt{2gh_0-2\mu g\,d}=\sqrt{98{.}1-9{.}81}=9{.}3963\ \mathrm{m/s}$
3. Ohne Reibung ergäbe dieselbe Höhendifferenz:
  
  $\mu=0:\quad v=\sqrt{2(9{.}81)(5)}=9{.}9045\ \mathrm{m/s}$
Antwort

9,3963 m/s, wobei 4,905 J durch Reibung verloren gehen. Die beiden Senken und die Kuppe dazwischen ändern an diesem Verlust nichts: Eine einzige gerade Rampe von 5 m Höhe über dieselben 10 m Länge würde zur exakt selben Endgeschwindigkeit führen.

$v=9{.}3963\ \mathrm{m/s},\qquad W_f=4{.}905\ \mathrm{J}$
Wie hoch hinauf am Gegenhang? 3 Schritte
Die Halfpipe hat einen 5 m hohen Startrand, eine Rampe über 2 m Horizontalstrecke nach unten, 4 m flachen Boden und eine Rampe über 2 m Horizontalstrecke hinauf zum 5 m hohen Gegenrand. Wie hoch steigt der Wagen am Gegenhang, wenn er aus der Ruhe mit einem Reibungskoeffizienten von 0,05 startet?

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1. Der Wagen komme am Gegenhang bei der Höhe h zum Stillstand. Die Rampe steigt über 2 m Horizontalstrecke um 5 m an; bis zur Höhe h legt er also 2h/5 dieser Strecke zurück. Die gesamte Horizontaldistanz ab Start beträgt damit:
  
  $d=2+4+\tfrac25h=6+0{.}4h$
2. Die Anfangsenergie entspricht der potenziellen Energie am Haltepunkt plus der Reibungsarbeit:
  
  $gh_0=gh+\mu g\,(6+0{.}4h)$
3. Nach h auflösen:
  
  $h=\frac{h_0-6\mu}{1+0{.}4\mu}=\frac{5-0{.}3}{1{.}02}=4{.}6078\ \mathrm{m}$
Antwort

4,6078 m, also etwa 0,39 m unterhalb des Rands. Danach rollt er wieder zurück, und jede weitere Durchquerung der Sohle kostet ihn zusätzliche Energie.

$h=4{.}6078\ \mathrm{m}$
Der Looping: Wie hoch muss der Start liegen? 3 Schritte
Ein Wagen rollt reibungsfrei aus der Ruhe eine Rampe hinab in einen kreisförmigen, vertikalen Looping mit dem Radius 4,0 m. Aus welcher Höhe muss er starten, damit er sich am höchsten Punkt auf der Bahn hält, und mit welcher Kraft drückt die Schiene am tiefsten Punkt auf eine 70 kg schwere Person?
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1. Am Scheitelpunkt kann die Schiene nur nach unten drücken; die Gewichtskraft allein muss daher mindestens die nötige Zentripetalkraft liefern:
  
  $mg\le\frac{mv_{\mathrm{top}}^{2}}{R}\ \Rightarrow\ v_{\mathrm{top}}^{2}\ge gR$
2. Energiebilanz vom Start bis zum Scheitelpunkt des Loopings in Höhe 2R:
  
  $gh=\tfrac12v_{\mathrm{top}}^{2}+g(2R)\ \ge\ \tfrac12gR+2gR\ \Rightarrow\ h\ge\tfrac52R=10\ \mathrm{m}$
3. Am tiefsten Punkt ergibt sich die Geschwindigkeit aus der vollen Fallhöhe, und die Schiene muss die Gewichtskraft plus die Zentripetalkraft aufbringen:
  
  $v_{\mathrm{bottom}}^{2}=2gh=5gR,\qquad N=mg+\frac{mv_{\mathrm{bottom}}^{2}}{R}=6mg=6(70)(9{.}81)=4120\ \mathrm{N}$
Antwort

Mindestens 10 m, also das Zweieinhalbfache des Radius; am tiefsten Punkt drückt die Schiene mit 4.120 N gegen die Person – das Sechsfache ihres Körpergewichts. Genau diese Sechs ist der Grund, warum reale Loopings keine Kreise sind: Eine Klothoide hält den Radius oben klein, wo die Geschwindigkeit niedrig ist, und unten groß, wo sie hoch ist.

$h_{\min}=2{.}5R=10\ \mathrm{m},\qquad N_{\mathrm{bottom}}=6mg=4120\ \mathrm{N}$

Weitere Aufgaben, nur mit Lösungen

Ein 600 kg schwerer Wagen fährt mit 2,0 m/s an der Kante eines 30 m tiefen Gefälles los und rollt eine reibungsfreie Bahn hinab. Wie schnell ist er 10 m über dem Boden?

Ergebnis anzeigen

19,91 m/s.

$v=\sqrt{2{.}0^{2}+2(9{.}81)(30-10)}=\sqrt{396{.}4}=19{.}91\ \mathrm{m/s}$
Ein Schlitten gleitet mit 8,0 m/s am Fuß eines reibungsfreien Hangs nach oben. Welche Höhe erreicht er?

Ergebnis anzeigen

3,262 m.

$h=\frac{v^{2}}{2g}=\frac{8{.}0^{2}}{2(9{.}81)}=3{.}262\ \mathrm{m}$
Ein Klotz startet aus der Ruhe in 3,0 m Höhe auf einer geraden Rampe und gleitet anschließend auf einem ebenen Boden weiter. Der Reibungskoeffizient beträgt überall 0,15. Welche Horizontalstrecke legt er vom Startpunkt aus zurück, bis er zum Stillstand kommt?

Ergebnis anzeigen

20 m für jede Rampe, die steil genug ist, um überhaupt ins Rutschen zu kommen (tan θ > 0,15, steiler als 8,53°): Die Reibung verbraucht μg pro Meter horizontaler Strecke, und 3,0/0,15 = 20. Auf einer flacheren Rampe bewegt sich der Block gar nicht.

$mgh=\mu mg\,d\ \Rightarrow\ d=\frac{h}{\mu}=\frac{3{.}0}{0{.}15}=20\ \mathrm{m}$
Ein Wagen startet aus der Ruhe am Beginn eines 45 m hohen Gefälles und legt auf dem Weg nach unten 60 m Horizontalstrecke zurück, bei einem Reibungskoeffizienten von 0,02. Wie schnell ist er am Ende der Bahn?

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29,315 m/s.

$v=\sqrt{2g(h-\mu d)}=\sqrt{2(9{.}81)(45-0{.}02\times60)}=29{.}315\ \mathrm{m/s}$
Ein Wagen startet aus der Ruhe 12 m über der Sohle eines reibungsfreien kreisförmigen Loopings. Was ist der größte Loopingradius, den er durchfahren kann, ohne den Kontakt zur Schiene zu verlieren?

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4,8 m, da der Startpunkt mindestens das 2,5-Fache des Radius über der Sohle liegen muss.

$h\ge\tfrac52R\ \Rightarrow\ R\le\frac{12}{2{.}5}=4{.}8\ \mathrm{m}$

Reibung kostet Horizontalstrecke, nicht Bahnlänge

Auf einer geraden Rampe mit dem Neigungswinkel θ beträgt die Normalkraft mg cos θ, und die Rampe hat bei einer Horizontalstrecke d eine Länge von d/cos θ. Die beiden Kosinusfaktoren kürzen sich weg: Die Reibungsarbeit beträgt daher unabhängig vom Winkel stets μmgd. Ein steiler Absturz und eine sanfte Rampe über dieselbe Horizontalstrecke kosten also exakt gleich viel Energie, und ein senkrechter Fall kostet gar keine. Das Profil Mit Reibung fällt über 10 m Horizontalstrecke um 5 m ab, durchquert zwei Senken sowie eine Kuppe, verliert 4,905 J/kg und kommt mit 9,3963 m/s an – genau wie eine einzige gerade Rampe von 5 m Höhe über dieselben 10 m. Der Kurvenverlauf spielt erst dort eine Rolle, wo echte Kurven gekrümmt sind, was dieses Modell ausspart: Eine reale Senke presst den Wagen stärker auf die Schiene und schluckt mehr Energie, als unsere Formel ansetzt. Die Halfpipe führt den Extremfall vor. Reibungsfrei klettert der Wagen exakt auf seine Ausgangshöhe zurück; die kleinste Reibung lässt ihn daher am Gegenhang stranden: Bei μ = 0,05 bleibt er bereits bei 4,6078 m stehen.

Die Geschwindigkeit hängt nur von der Höhe ab

Auf einer reibungsfreien Bahn hängt die Geschwindigkeit der Kugel an jedem Punkt einzig davon ab, wie tief sie gegenüber dem Start gefallen ist – die Form der Bahn dazwischen spielt keine Rolle. Ein fast senkrechter Sturz und ein langes, sanftes Gefälle zur selben Tiefe führen zur exakt selben Geschwindigkeit. Genau deshalb kann die Kugel niemals höher steigen als zu Beginn: Dazu bräuchte sie Energie, die sie nicht besitzt. Kommt Reibung ins Spiel, zweigt jeder Meter Horizontalstrecke Energie in Form von Wärme ab.

Echte Loopings sind nicht kreisrund

Ein Achterbahn-Looping sieht rund aus, ist es aber fast nie — er ist eine tropfenförmige Klothoide, eine Kurve, deren Radius sich nach oben hin verengt. Ein wirklich kreisrunder Looping, schnell genug, um oben auf der Bahn zu bleiben, würde die Fahrgäste unten mit brutalen g-Kräften erdrücken. Der deutsche Ingenieur Werner Stengel führte 1976 den Klothoiden-Looping ein: kleiner Radius oben (wenig Tempo nötig), sanfter Radius unten. Gleiche Energieerhaltung — klügere Geometrie.

Übung

Prüfe dich selbst

Sage die Antwort zuerst voraus und probiere es dann oben aus. Zeige die Lösung erst, wenn du dich entschieden hast — genau das macht es zur Übung.

Klick auf Halfpipe, zieh die Position in die Mitte des flachen Bodens und lies die Geschwindigkeit ab. Ändere nun die Masse von 1 kg auf 500 kg. Versuche zuerst, die Geschwindigkeit vorherzusagen.

Antwort anzeigen

Sie bleibt bei 9.9045 m/s. In der Energiegleichung enthält jeder Term den Faktor m. Die Masse kürzt sich heraus, sodass die Geschwindigkeit allein von der Höhendifferenz abhängt. Die kinetische Energie ändert sich allerdings sehr wohl, und zwar von 49.05 J auf 24,525 J: Ein schwererer Wagen hat wesentlich mehr Energie, ist aber keinen Deut schneller.
Zu Beginn zeigt die Anzeige eine potenzielle Energie von 49.05 J und eine kinetische Energie von 0 J. Wo erreicht der Wagen auf dieser Bahn seine höchste Geschwindigkeit, und wie hoch ist die Gesamtenergie an dieser Stelle?

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Am tiefsten Punkt, den er tatsächlich erreichen kann: auf 3 m Höhe bei x = 2, wo er sich mit 6.2642 m/s bewegt. Die Senke auf 1 m Höhe bei x = 5 liegt zwar tiefer, befindet sich aber hinter der 6 m hohen Kuppe, die der Wagen nicht überwinden kann. Die Gesamtenergie beträgt auch dort unverändert 49.05 J, davon 19.62 J kinetisch.
Stelle den Reibungskoeffizienten auf einen Wert über null. Hängt der Energieverlust davon ab, wie weit der Wagen entlang der Schiene gefahren ist, oder von etwas anderem?

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Von der zurückgelegten Horizontalstrecke. Bei Gefälle sinkt die Normalkraft mit cos θ, während die Schienenlänge mit 1/cos θ anwächst. Am Ende steht der Verlust μgd, wobei d horizontal gemessen wird und nicht entlang der Schiene. Ein senkrechter Fall kostet gar keine Energie, eine waagerechte Fahrt am meisten pro Schienenmeter. Da dieser Verlust ebenfalls massenunabhängig ist, gilt die vorherige Antwort auch mit Reibung.

Lernpfad

Energie statt Kräfte

Quellen (1)

Why real loops are not circles, and what that does to the forces at the top: A.-M. Pendrill, "Roller coaster loop shapes revisited." Physics Education 51(3), 030106, 2016.

Vom 7-Raven-Room-Team · Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen.