Primitivas

La integración tiene una regla de la potencia, al igual que la derivación, y en todas las tablas figura con una excepción: n = −1. Desliza n por esa excepción y observa adónde va. Luego, sigue una integral regla por regla y prueba por tu cuenta: escribe una primitiva, y la página la derivará para compararla con el integrando.

Regla de la potencia	$\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C,\qquad n\neq-1$
La excepción, n = −1	$\int\frac{dx}{x}=\ln\|x\|+C$

Ejemplo resuelto — Primitivas

Constante entre ambas fórmulas	100,00
Diferencia con ln x, entre n + 1	0,9654

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

Cargando simulación interactiva...

Lección

La teoría — Primitivas

Una primitiva de f en un intervalo es una función F con F′(x) = f(x) en cada x del intervalo. Si F es una de ellas, también lo es F + C para cualquier constante C, y en un intervalo esas son todas; en un dominio partido en dos, como x ≠ 0 para 1/x, cada parte lleva su propia constante. La integral indefinida ∫f(x) dx da nombre a toda la familia.

Qué significa cada símbolo

F_n: la primitiva de xⁿ que pasa por (1, 0): (xⁿ⁺¹ − 1)/(n + 1), que es ∫₁^x tⁿ dt, y ln x en n = −1
C: la constante de integración. Su derivada es 0, así que cualquier valor sirve como primitiva

De dónde viene la fórmula

Por qué 1/(n + 1) es la constante que hay que quitar. F_n(x) = ∫₁^x tⁿ dt es el área bajo tⁿ desde 1 hasta x. Un pequeño cambio en n modifica un poco cada altura tⁿ, así que el área cambia solo un poco: F_n no puede dar saltos cuando n pasa por −1, y en n = −1 tiene que ser el área bajo 1/t desde 1 hasta x, que es ln x. La fórmula de los libros es F_n + 1/(n + 1), y esa constante es la que se dispara.
$F_n(x)=\int_{1}^{x}t^{n}\,dt=\frac{x^{n+1}-1}{n+1}=\frac{x^{n+1}}{n+1}-\underbrace{\frac{1}{n+1}}_{\to\,\pm\infty}$
El límite, calculado. Haz h = n + 1 y desarrolla xʰ en serie de h. La diferencia con ln x es aproximadamente h(ln x)²/2, que para x = 4 vale 0,9609h: el valor al que se aproxima la última columna de la tabla.
$x^{h}=e^{h\ln x}=1+h\ln x+\frac{h^{2}(\ln x)^{2}}{2}+\cdots\ \Rightarrow\ F_n(x)=\frac{x^{h}-1}{h}=\ln x+\frac{h(\ln x)^{2}}{2}+\cdots$

Supone: La comprobación es numérica. La página deriva tu F de forma exacta, con las mismas reglas que usarías tú, y luego compara F′ con f en 120 puntos repartidos por el intervalo, ninguno de ellos entero. Acepta una diferencia relativa de hasta 10⁻⁶; perder un factor o equivocarse de signo supone una diferencia de orden 1. Si f está definida y tu F no, la respuesta es incorrecta. Si f es continua en todo el intervalo, la página también integra f numéricamente entre puntos vecinos y lo compara con el cambio de tu F. Así atrapa respuestas que son correctas a trozos pero que pegan saltos.

Problemas resueltos al detalle

Desarrolla antes de integrar 3 pasos
Calcula ∫(x² + 1)² dx.

Abre este problema en la herramienta
1. No existe una regla de la potencia para un paréntesis. Desarrolla el producto para que cada término quede como una potencia de x:
  
  $(x^{2}+1)^{2}=x^{4}+2x^{2}+1$
2. Integra término a término: suma uno al exponente y divide entre ese nuevo exponente:
  
  $\int\left(x^{4}+2x^{2}+1\right)dx=\frac{x^{5}}{5}+2\cdot\frac{x^{3}}{3}+x+C$
3. Comprueba derivando:
  
  $\frac{d}{dx}\left(\frac{x^{5}}{5}+\frac{2x^{3}}{3}+x\right)=x^{4}+2x^{2}+1$
Respuesta

x⁵/5 + 2x³/3 + x + C. Elevar directamente el paréntesis a (x² + 1)³/3 es el despiste clásico. Su derivada es 2x(x² + 1)², y ese 2x procede de dentro del paréntesis, algo que la regla de la potencia no contempla. Abre el problema en la herramienta e introduce esa respuesta para ver cómo se separan las dos curvas.

$\int(x^{2}+1)^{2}\,dx=\frac{x^{5}}{5}+\frac{2x^{3}}{3}+x+C$
Divide antes de integrar 3 pasos
Calcula ∫(x³ − 2√x + 5)/x dx para x > 0.

Abre este problema en la herramienta
Mostrar solución
1. Divide cada término entre x y escríbelo en forma de potencia:
  
  $\frac{x^{3}-2\sqrt{x}+5}{x}=x^{2}-2x^{-1/2}+5x^{-1}$
2. En los dos primeros aplicas la regla de la potencia:
  
  $\int x^{2}\,dx=\frac{x^{3}}{3},\qquad -2\int x^{-1/2}\,dx=-2\cdot\frac{x^{1/2}}{1/2}=-4\sqrt{x}$
3. El tercero es x⁻¹, la única potencia donde la regla no puede dividir:
  
  $5\int x^{-1}\,dx=5\ln|x|=5\ln x\quad(x>0)$
Respuesta

x³/3 − 4√x + 5 ln x + C. Puedes prescindir de las barras en ln|x|: el problema está planteado para x > 0, algo que √x ya exige de todos modos.

$\int\frac{x^{3}-2\sqrt{x}+5}{x}\,dx=\frac{x^{3}}{3}-4\sqrt{x}+5\ln x+C$
Tres filas de la tabla 2 pasos
Calcula ∫(2 cos x − 3 sin x + 4/(1 + x²)) dx.

Abre este problema en la herramienta
Mostrar solución
1. Cada término figura en la tabla:
  
  $\int\cos x\,dx=\sin x,\qquad \int\sin x\,dx=-\cos x,\qquad \int\frac{dx}{1+x^{2}}=\arctan x$
2. Mantén cada constante y sustituye cada función por su primitiva:
  
  $2\sin x-3(-\cos x)+4\arctan x$
Respuesta

2 sin x + 3 cos x + 4 arctan x + C. El término intermedio es el que suele fallar. La primitiva de sin x es −cos x, así que −3 sin x se integra como +3 cos x; ese signo menos surge al derivar cos x, que da −sin x.

$\int\left(2\cos x-3\sin x+\frac{4}{1+x^{2}}\right)dx=2\sin x+3\cos x+4\arctan x+C$
Una condición fija la constante 2 pasos
Halla f si f′(x) = 6x² − 4x + 1 y f(1) = 5.

Abre este problema en la herramienta
Mostrar solución
1. Integra primero, manteniendo C:
  
  $f(x)=\int\left(6x^{2}-4x+1\right)dx=2x^{3}-2x^{2}+x+C$
2. Sustituye luego x = 1 y despeja C:
  
  $f(1)=2-2+1+C=1+C=5\ \Rightarrow\ C=4$
Respuesta

f(x) = 2x³ − 2x² + x + 4. La herramienta comprueba la condición además de la derivada. Si dejas C en 0, acepta F′ = f; después indica que F(1) = 1, no 5, y te pide modificar la constante en 4.

$f(x)=2x^{3}-2x^{2}+x+4$
Dos integraciones, dos constantes 2 pasos
Halla f si f″(x) = 12x − 6, f′(0) = 2 y f(0) = −1.

Abre este problema en la herramienta
Mostrar solución
1. Integra una vez para obtener f′ y usa la condición sobre f′ para fijar su constante:
  
  $f'(x)=\int(12x-6)\,dx=6x^{2}-6x+C_{1},\qquad f'(0)=C_{1}=2$
2. Integra de nuevo y usa la condición sobre f:
  
  $f(x)=\int\left(6x^{2}-6x+2\right)dx=2x^{3}-3x^{2}+2x+C_{2},\qquad f(0)=C_{2}=-1$
Respuesta

f(x) = 2x³ − 3x² + 2x − 1. Cada integración introduce su propia constante y cada condición fija una de ellas. La herramienta se abre en la segunda integración, con f′ como integrando y f(0) = −1 como condición.

$f(x)=2x^{3}-3x^{2}+2x-1$
ln|x| en el lado negativo 2 pasos
Halla f si f′(x) = 2/x para x < 0 y f(−1) = 3.

Abre este problema en la herramienta
Mostrar solución
1. Para x negativo, ln x no está definido, pero ln(−x) sí lo está y su derivada es 1/x:
  
  $x<0:\quad \frac{d}{dx}\ln(-x)=\frac{-1}{-x}=\frac{1}{x}$
2. De modo que f(x) = 2 ln|x| + C, y la condición fija C:
  
  $f(x)=2\ln|x|+C,\qquad f(-1)=2\ln1+C=C=3$
Respuesta

f(x) = 2 ln|x| + 3 para x < 0. La condición no dice nada sobre las x positivas. Como 1/x no está definida en 0, una función que valga 2 ln x + 7 para x > 0 respondería igual de bien al problema.

$f(x)=2\ln|x|+3\quad(x<0)$
Calcula ln 4 con una tecla de raíz cuadrada 4 pasos
Una calculadora tiene tecla de raíz cuadrada pero no tiene tecla ln. Usa el límite de esta página para hallar ln 4 con cuatro decimales. Pulsa primero n = −0,99: la curva que pasa por (1, 0) marca 1,3959 en x = 4, todavía muy por encima de ln 4 = 1,3863.

Abre este problema en la herramienta
Mostrar solución
1. Diez pulsaciones en la tecla de raíz cuadrada convierten el 4 en 4 elevado a 1/1024, así que h = n + 1 = 1/1024:
  
  $4^{1/1024}=1{.}001354720,\qquad h=n+1=\dfrac{1}{1024}$
2. La curva por (1, 0) para esa h, la fórmula de la página con una resta y una multiplicación:
  
  $F(h)=\dfrac{4^{h}-1}{h}=1{.}3872332$
3. Su distancia a ln 4 es de aproximadamente h(ln 4)²/2, la última columna de la tabla multiplicada por h. Es demasiado grande para sacar cuatro decimales:
  
  $\dfrac{h\,(\ln 4)^{2}}{2}=\dfrac{0{.}9609}{1024}=0{.}000938$
4. Una raíz cuadrada más reduce h a la mitad, y con ella la distancia. El doble del nuevo valor menos el antiguo cancela el término principal de esa diferencia:
  
  $2\,F\!\left(\tfrac{h}{2}\right)-F(h)=2\times1{.}3867637-1{.}3872332=1{.}386294$
Respuesta

ln 4 ≈ 1,3863. La combinación 2F(h/2) − F(h) elimina el error proporcional a h y deja uno proporcional a h², que aquí ronda los 2×10⁻⁷. La página mueve n en pasos de 0,01, por lo que h = 1/2048 va mucho más allá de lo que permite su deslizador.

$\ln 4\approx1{.}3863$

Problemas complementarios, solo con la respuesta

Calcula ∫ (4x³ − 6x + 2) dx.

Mostrar respuesta

x⁴ − 3x² + 2x + C.

$x^{4}-3x^{2}+2x+C$
Calcula ∫ (√x + 1/√x) dx.

Mostrar respuesta

(2/3)x^3/2 + 2√x + C. Escribe primero los términos como potencias: x^1/2 y x^−1/2.

$\tfrac23x^{3/2}+2\sqrt{x}+C$
Calcula ∫ (eˣ + 1/x²) dx.

Mostrar respuesta

eˣ − 1/x + C. La regla de la potencia transforma x⁻² en x⁻¹/(−1); ln x solo corresponde a x⁻¹.

$e^{x}-\frac{1}{x}+C$
Calcula ∫ 2/√(1 − x²) dx.

Mostrar respuesta

2 arcsin x + C.

$2\arcsin x+C$

ln x es el propio límite de la regla de la potencia

Pulsa n = −0,99. La primitiva de xⁿ de los libros de texto es xⁿ⁺¹/(n + 1), que divide por cero en n = −1, y por eso las tablas incluyen ∫x⁻¹ dx = ln|x| como regla propia e independiente. El fantasma a trazos muestra lo que hace la fórmula por el camino: en x = 4 marca 101,40, y crece sin límite a medida que n se acerca. Todo ese crecimiento recae en la constante. Réstale 1/(n + 1), que aquí es 100,00, y obtendrás la primitiva que pasa por (1, 0), la curva continua, en 1,3959 frente a ln 4 = 1,3863. Pulsa Barre n de −2 a 0 y observa cómo n pasa por −1: el fantasma sale del gráfico, la curva continua nunca da saltos, y en n = −1 es ln x. No puede saltar, porque es el área bajo tⁿ de 1 a x, y un pequeño cambio en n apenas modifica la altura de cada tⁿ. Grégoire de Saint-Vincent llegó al mismo hecho desde el otro lado en su Opus geometricum de 1647: el área bajo la hipérbola de a a b depende solo de b/a. Su alumno Alphonse Antonio de Sarasa vio que esto convierte el área en un logaritmo.

ln x responde a 1/x solo en la mitad de la recta

Pulsa ln x para 1/x. El entrenador busca una primitiva de 1/x en −4 ≤ x ≤ 4, y se ha escrito ln x. Allí donde ln x existe, su derivada es 1/x, así que parece correcta, y aun así la comprobación la rechaza: en x = −2,75, donde 1/x es −0,364, ln x no tiene ningún valor. Lo que funciona en ambos lados es ln|x|, porque ln(−x) se deriva como −1/(−x) = 1/x. Escríbelo, y el panel superior dibujará dos ramas con copias grises que desplazan cada rama una cantidad distinta. Esas también pasarían. Escribe ln|x| + 3sgn(x), que es ln|x| + 3 a la derecha del 0 y ln|x| − 3 a la izquierda, y pasará; el panel dibuja su diferencia respecto a ln|x| como dos tramos planos, en 3 y −3. 1/x no está definida en 0, así que no hay nada que una la constante de la izquierda con la de la derecha. Las tablas escriben ln|x| + C con una sola C, pero en todo el dominio la primitiva general lleva una constante para cada lado. Cuando el integrando es continuo en todo el intervalo, como ocurre con x³, la comprobación rechaza las respuestas con saltos, incluso si su derivada coincide allí donde existe.

Dos respuestas que no se parecen en nada pueden ser ambas correctas

Pulsa Dos formas equivalentes. El integrando es (x + 1)². Suma uno al exponente y divide, y obtendrás (x + 1)³/3; desarrolla primero, y te quedará x³/3 + x² + x. Puestas una junto a la otra parecen una respuesta correcta y otra equivocada, y el entrenador acepta ambas. La fila Tu F menos la nuestra explica por qué: −1/3 en cada punto, porque (x + 1)³/3 se desarrolla como x³/3 + x² + x + 1/3. Pulsa 2 sin x cos x para ver un caso aún más claro. sin²x, −cos²x y −cos(2x)/2 no comparten ningún término visible, y las tres son correctas, a una distancia de 1 y de ½ entre sí. Así que la comprobación nunca juzga comparando tu respuesta con la de la página. Deriva la tuya, porque la derivación es un procedimiento de resultado único, y la compara con el integrando. Encontrar una primitiva es una búsqueda, y dos buenas búsquedas pueden detenerse en constantes distintas.

Ruta de aprendizaje

Técnicas de integración

Referencias (2)

The definition the page checks against (“F is an antiderivative of f if F′(x) = f(x) for all x in the domain of f”), the power rule with its exception (Theorem 4.15: for n ≠ −1, ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C), and the derivation of d/dx ln|x| = 1/x from ln(−x) on x < 0: G. Strang and E. Herman, Calculus Volume 1, OpenStax (2016), section 4.10, “Antiderivatives”.
Grégoire de Saint-Vincent's Opus geometricum (Antwerp, 1647) showed that the area under a rectangular hyperbola over [a, b] equals the area over [c, d] when a/b = c/d, and his pupil Alphonse Antonio de Sarasa made the connection with logarithms: J. J. O'Connor and E. F. Robertson, “Grégoire de Saint-Vincent”, MacTutor History of Mathematics Archive, University of St Andrews (last updated November 2010).

Por el equipo de 7 Raven Room · Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones.