Integrales trigonométricas

Una potencia impar de seno o coseno se integra con una sola sustitución. Una potencia par necesita antes una identidad; el área de una vuelta ayuda a entender por qué. Con x = sen θ, √(1 − x²) queda sobre una circunferencia y cada término del resultado corresponde a una parte del dibujo. Sigue el ejemplo paso a paso y después prueba por tu cuenta.

Potencias pares: usa el ángulo mitad	$\begin{aligned}\sin^{2}x&=\tfrac12\left(1-\cos2x\right)\\ \cos^{2}x&=\tfrac12\left(1+\cos2x\right)\end{aligned}$
Una potencia impar: un factor pasa a ser du	$\begin{aligned}\sin^{2k+1}x&=\left(1-\cos^{2}x\right)^{k}\sin x\\ u&=\cos x\end{aligned}$
Una raíz de a² ± x²	$\begin{aligned}\sqrt{a^{2}-x^{2}}&:\ x=a\sin\theta\\ \sqrt{a^{2}+x^{2}}&:\ x=a\tan\theta\end{aligned}$

Ejemplo resuelto — Integrales trigonométricas

Área de 0 a b	0,0000
Área de una vuelta, de 0 a 2π	0,0000
Valor medio en una vuelta, c₀	0,0000
Área bajo xᵏ√(1 − x²), de 0 a X	0,5618
La misma área en θ	0,5618
Término angular, c₀·θ	0,3218
Término algebraico, el resto	0,2400

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

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Lección

La teoría — Integrales trigonométricas

Las integrales trigonométricas integran productos de potencias de sen x y cos x. La sustitución trigonométrica transforma la raíz de una expresión cuadrática en una de esas integrales: x = a sen θ para √(a² − x²), x = a tan θ para √(x² + a²) y x = a sec θ para √(x² − a²). Cada sustitución se obtiene de un triángulo rectángulo. Para integrar una potencia impar, separa un factor y sustituye la otra función. Si todos los exponentes son pares, reduce primero las potencias con las identidades del ángulo mitad sen²x = ½ − ½cos 2x y cos²x = ½ + ½cos 2x.

Qué significa cada símbolo

θ: el ángulo de la sustitución; para x = a sen θ, varía de −π/2 a π/2, donde cos θ ≥ 0, por lo que √(a² − x²) = a cos θ
c₀: el valor medio de senᵐx·cosⁿx en una vuelta: 0 si m o n es impar, y (m − 1)!!·(n − 1)!!/(m + n)!! si ambos son pares, donde n!! = n(n − 2)(n − 4)… hasta llegar a 1 o 2, y 0!! = (−1)!! = 1

De dónde viene la fórmula

Por qué una potencia par hace crecer la primitiva. Para cualquier primitiva F de senᵐx·cosⁿx, la diferencia F(x + 2π) − F(x) es el área de una vuelta, 2π·c₀, sea cual sea x. Por tanto, F(x) − c₀·x tiene período 2π. Las sustituciones u = cos x y u = sen x dan una función de cos x o de sen x, que también tiene período 2π. Solo pueden dar el resultado completo cuando c₀ = 0, es decir, cuando algún exponente es impar.
$F(x+2\pi)-F(x)=\int_{x}^{x+2\pi}\sin^{m}t\cos^{n}t\,dt=2\pi c_0\ \Rightarrow\ F(x)-c_0x=F(x+2\pi)-c_0(x+2\pi)$

Problemas resueltos al detalle

Potencia impar del seno 3 pasos
Calcula ∫sin³x dx.

Abre este problema en la herramienta
1. Reserva un sin x para du y convierte los otros dos en cosenos:
  
  $\sin^{3}x=\left(1-\cos^{2}x\right)\sin x,\qquad u=\cos x,\quad du=-\sin x\,dx$
2. Un polinomio en u:
  
  $\int\left(1-u^{2}\right)(-du)=-u+\frac{u^{3}}{3}$
3. De vuelta a x:
  
  $-\cos x+\frac{\cos^{3}x}{3}+C$
Respuesta

−cos x + cos³x/3 + C. du = −sin x dx lleva un signo menos; perderlo invierte cada término y la herramienta te lo marcará como un error de signo.

$\int\sin^{3}x\,dx=-\cos x+\frac{\cos^{3}x}{3}+C$
Potencia impar de coseno junto a un seno par 2 pasos
Calcula ∫sin²x cos³x dx.

Abre este problema en la herramienta
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1. La potencia impar es la del coseno: reserva un cos x para du y expresa el resto en senos:
  
  $\sin^{2}x\cos^{3}x=\sin^{2}x\left(1-\sin^{2}x\right)\cos x,\qquad u=\sin x,\quad du=\cos x\,dx$
2. Un polinomio en u = sin x:
  
  $\int\left(u^{2}-u^{4}\right)du=\frac{u^{3}}{3}-\frac{u^{5}}{5}$
Respuesta

sin³x/3 − sin⁵x/5 + C. La potencia impar decide la sustitución. Si las dos son impares, sirve cualquiera.

$\int\sin^{2}x\cos^{3}x\,dx=\frac{\sin^{3}x}{3}-\frac{\sin^{5}x}{5}+C$
Ambas potencias pares: reduce el ángulo dos veces 3 pasos
Calcula ∫sin²x cos²x dx.

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1. No hay potencias impares que reservar para du. Primero, el ángulo doble:
  
  $\sin x\cos x=\tfrac12\sin2x\ \Rightarrow\ \sin^{2}x\cos^{2}x=\tfrac14\sin^{2}2x$
2. Luego, la identidad del ángulo mitad en sin²2x:
  
  $\tfrac14\sin^{2}2x=\tfrac18\left(1-\cos4x\right)$
3. Integra término a término:
  
  $\int\tfrac18\left(1-\cos4x\right)dx=\frac{x}{8}-\frac{\sin4x}{32}+C$
Respuesta

x/8 − sin 4x/32 + C. El término x/8 es el ascenso propio de una potencia par: un octavo por unidad de x. Si lo omites, la herramienta avisará de que a la derivada le falta 1/8 en todas partes.

$\int\sin^{2}x\cos^{2}x\,dx=\frac{x}{8}-\frac{\sin4x}{32}+C$
Dos frecuencias distintas: de producto a suma 3 pasos
Calcula ∫sin 3x cos x dx.

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1. Un producto de senos y cosenos con múltiplos distintos de x es una suma disfrazada:
  
  $\sin A\cos B=\tfrac12\left[\sin(A+B)+\sin(A-B)\right]$
2. Con A = 3x y B = x:
  
  $\sin3x\cos x=\tfrac12\left(\sin4x+\sin2x\right)$
3. Integra cada seno:
  
  $\int\tfrac12\left(\sin4x+\sin2x\right)dx=-\frac{\cos4x}{8}-\frac{\cos2x}{4}+C$
Respuesta

−cos 4x/8 − cos 2x/4 + C. El ½ de la identidad es el factor que suele olvidarse; sin él, la respuesta resulta el doble de grande, que es justo lo que señalará la herramienta.

$\int\sin3x\cos x\,dx=-\frac{\cos4x}{8}-\frac{\cos2x}{4}+C$
Primero, una identidad 2 pasos
Calcula ∫tan²x dx.

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1. tan²x no tiene primitiva inmediata, pero sec²x sí:
  
  $\tan^{2}x=\sec^{2}x-1$
2. Integra término a término:
  
  $\int\left(\sec^{2}x-1\right)dx=\tan x-x+C$
Respuesta

tan x − x + C. Si escribes solo tan x olvidas el −1; la herramienta indicará una derivada 1 unidad mayor en cada punto.

$\int\tan^{2}x\,dx=\tan x-x+C$
√(1 − x²): sitúa x en la circunferencia 3 pasos
Calcula ∫x²/√(1 − x²) dx.

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1. Haz el cambio x = sin θ, que transforma la raíz en cos θ:
  
  $x=\sin\theta,\quad dx=\cos\theta\,d\theta,\quad \sqrt{1-x^{2}}=\cos\theta$
2. Los cosenos se simplifican y queda una potencia par del seno:
  
  $\int\frac{\sin^{2}\theta}{\cos\theta}\cos\theta\,d\theta=\int\sin^{2}\theta\,d\theta=\frac{\theta}{2}-\frac{\sin2\theta}{4}$
3. Vuelve a x con sin 2θ = 2 sin θ cos θ:
  
  $\sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta=2x\sqrt{1-x^{2}}\ \Rightarrow\ \frac{\arcsin x}{2}-\frac{x\sqrt{1-x^{2}}}{2}+C$
Respuesta

(arcsin x − x√(1 − x²))/2 + C. El arcoseno corresponde al sector y el otro término al triángulo, como en el bloque sobre el triángulo y el sector; aquí el triángulo se resta.

$\int\frac{x^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}}\,dx=\frac{\arcsin x-x\sqrt{1-x^{2}}}{2}+C$
x² + a²: sitúa x en la tangente 3 pasos
Calcula ∫dx/(x² + 4)^3/2.

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1. Haz el cambio x = 2 tan θ, de modo que x² + 4 = 4 sec²θ:
  
  $x=2\tan\theta,\quad dx=2\sec^{2}\theta\,d\theta,\quad x^{2}+4=4\sec^{2}\theta$
2. Casi todo se simplifica:
  
  $\int\frac{2\sec^{2}\theta}{8\sec^{3}\theta}\,d\theta=\frac14\int\cos\theta\,d\theta=\frac{\sin\theta}{4}$
3. Vuelve a x mediante el triángulo de cateto opuesto x, cateto adyacente 2 e hipotenusa √(x² + 4):
  
  $\tan\theta=\frac{x}{2}\ \Rightarrow\ \sin\theta=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+4}}\ \Rightarrow\ \frac{x}{4\sqrt{x^{2}+4}}+C$
Respuesta

x/(4√(x² + 4)) + C. El ¼ sale de 2/8; si lo omites, la herramienta indicará una derivada cuatro veces el integrando.

$\int\frac{dx}{\left(x^{2}+4\right)^{3/2}}=\frac{x}{4\sqrt{x^{2}+4}}+C$
sen⁸x en una vuelta mediante una fórmula recurrente 4 pasos
Los exponentes de la página llegan hasta 6. ¿Cuál es el área de sen⁸x en una vuelta y qué pendiente tiene la recta que sigue su primitiva? Pulsa sen⁴x: por reducción: la página da un área de 2,3562 para sen⁴x, con un valor medio de 0,3750.

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1. Escribe senⁿx = senⁿ⁻¹x·sen x e integra por partes con u = senⁿ⁻¹x. En una vuelta completa, el término de borde −senⁿ⁻¹x cos x vale 0. Al escribir cos²x = 1 − sen²x, Iₙ reaparece en el segundo miembro y puedes despejarlo:
  
  $I_n=\int_{0}^{2\pi}\sin^{n}x\,dx=\Big[-\sin^{n-1}x\cos x\Big]_{0}^{2\pi}+(n-1)\int_{0}^{2\pi}\sin^{n-2}x\left(1-\sin^{2}x\right)dx\ \Rightarrow\ I_n=\frac{n-1}{n}\,I_{n-2}$
2. Parte de I₀ = 2π, el área de la función constante 1 en una vuelta, y aumenta el exponente de dos en dos. I₄ coincide con el valor de la página:
  
  $I_0=2\pi,\qquad I_2=\tfrac12\cdot2\pi=\pi,\qquad I_4=\tfrac34\cdot\pi=\tfrac{3\pi}{4}=2{.}3562$
3. Con dos pasos más llegas a sen⁸x:
  
  $I_6=\tfrac56\cdot\tfrac{3\pi}{4}=\tfrac{5\pi}{8}=1{.}9635,\qquad I_8=\tfrac78\cdot\tfrac{5\pi}{8}=\tfrac{35\pi}{64}=1{.}7181$
4. La pendiente es el área de una vuelta dividida por 2π:
  
  $c_0=\frac{I_8}{2\pi}=\frac{35}{128}=0{.}2734$
Respuesta

35π/64 ≈ 1,7181 por vuelta, con una pendiente de 35/128 ≈ 0,2734. En cada paso multiplicas por (n − 1)/n, así que el valor medio sigue disminuyendo, aproximadamente como √(2/(πn)). Para n = 8, esa aproximación da 0,2821, frente al valor real de 0,2734. Si aplicas la misma reducción en un cuarto de vuelta a las potencias impares, partes de 1 en lugar de π/2. Al acotar cada potencia par entre las impares vecinas, los cocientes se multiplican y dan el producto de John Wallis: π/2 = (2·2·4·4·6·6…)/(1·3·3·5·5·7…). Wallis lo obtuvo en Arithmetica infinitorum (1656), mientras trataba de calcular el área de un cuarto de círculo, ∫₀¹√(1 − x²) dx.

$\int_{0}^{2\pi}\sin^{8}x\,dx=\tfrac{35\pi}{64}\approx1{.}7181,\qquad c_0=\tfrac{35}{128}\approx0{.}2734$

Problemas complementarios, solo con la respuesta

Calcula ∫ sin²x dx.

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x/2 − sin 2x/4 + C, aplicando sin²x = (1 − cos 2x)/2.

$\frac{x}{2}-\frac{\sin2x}{4}+C$
Calcula ∫ tan³x sec²x dx.

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tan⁴x/4 + C, con u = tan x, ya que sec²x es su derivada.

$\tfrac14\tan^{4}x+C$
Calcula ∫ sin 5x sin 2x dx.

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sin 3x/6 − sin 7x/14 + C, aplicando sin A sin B = ½(cos(A − B) − cos(A + B)).

$\frac{\sin3x}{6}-\frac{\sin7x}{14}+C$
Calcula ∫ √(4 − x²) dx.

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2 arcsin(x/2) + x√(4 − x²)/2 + C, con x = 2 sin θ.

$2\arcsin\frac{x}{2}+\frac{x\sqrt{4-x^{2}}}{2}+C$
Evalúa ∫₀^π/2 cos³x dx.

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2/3. Escribe cos³x = (1 − sin²x) cos x y haz u = sin x.

$\int_{0}^{\pi/2}\cos^{3}x\,dx=\tfrac23$

Las potencias impares se compensan en una vuelta; las pares acumulan área

Pulsa sen³x: una vuelta. Entre π y 2π, la gráfica de sen³x es la de 0 a π invertida, de modo que el área de la vuelta es 0,0000. Su primitiva, cos³x/3 − cos x, vuelve al valor inicial cada 2π. Eso es lo que ocurre con cualquier resultado obtenido mediante u = cos x o u = sen x: una función de cos x o de sen x se repite cada 2π. Pulsa ahora sen²x: falta la x. sen²x nunca es negativo y cada vuelta añade π = 3,1416. Su primitiva debe aumentar π por vuelta, siguiendo la recta x/2. Ninguna función de cos x crece así, por lo que esa sustitución no permite obtenerla. La identidad del ángulo mitad, sen²x = ½ − ½cos 2x, sí lo permite: el término constante ½ se integra como x/2, justo el crecimiento que hace falta. En la práctica aparece −sen(2x)/4, el resultado sin x/2, y la comprobación detecta que a su derivada le falta ½ en cada punto. La tabla muestra el aumento por vuelta para cada exponente hasta 6: 0 para los impares, y π, 3π/4 y 5π/8 para los pares.

Los dos términos de ∫√(1 − x²) son un triángulo y un sector

Pulsa Triángulo y sector. √(1 − x²) describe la semicircunferencia superior de radio unidad. Su área de 0 a x es una parte del disco, y el radio que llega al punto (x, √(1 − x²)) la divide en dos. Bajo el radio queda un triángulo rectángulo de catetos x y √(1 − x²), con área x√(1 − x²)/2. A su lado queda un sector de ángulo θ = arcsen x y área θ/2. Para x = 0,6, sus áreas son 0,2400 y 0,3218; suman 0,5618. Cada término de la primitiva, (x√(1 − x²) + arcsen x)/2, corresponde a una de esas partes. En θ, el integrando es cos²θ, una potencia par: la franja bajo la línea discontinua situada en ½ tiene área θ/2, la del sector. El resto de cos²θ se integra como sen 2θ/4, el área del triángulo. Arrastra X hasta 1. El triángulo se aplana hasta desaparecer y el sector ocupa un cuarto del disco, π/4 = 0,7854. Aparece π en el resultado aunque no estuviera en el integrando, porque arcsen 1 es un ángulo.

π aparece en ∫₀¹ xᵏ√(1 − x²) dx exactamente cuando k es par

Pulsa Sin término angular. El área bajo x√(1 − x²) de 0 a 1 es 0,3333, es decir, 1/3, y el término angular del panel inferior vale 0,0000. El factor x es −½ por la derivada de 1 − x², así que basta con u = 1 − x². La respuesta que acepta la práctica, −(1 − x²)^(3/2)/3, no contiene arcsen. Recorre los botones del integrando: π aparece en el área para k = 0, 2 y 4 (π/4, π/16, π/32), pero nunca para k = 1, 3 y 5 (1/3, 2/15, 8/105). La paridad que viste en el primer bloque se traslada a la circunferencia. Con x = sen θ, xᵏ√(1 − x²) dx se convierte en senᵏθ·cos²θ dθ. Si k es impar, queda una potencia impar del seno, cuyo valor medio en una vuelta es 0. Por tanto, no hay término en θ, y solo de ese término puede proceder un arcsen x o un π al evaluar en x = 1. Una raíz √(1 − x²) multiplicada por una potencia impar de x no necesita el triángulo.

Ruta de aprendizaje

Técnicas de integración

Referencias (3)

The strategy for ∫cosʲx·sinᵏx: if k is odd, keep one sin x and write the rest in cos x with sin²x = 1 − cos²x, then u = cos x; if j is odd, the same with the roles swapped and u = sin x; if both are even, the half-angle identities sin²x = ½ − ½cos 2x and cos²x = ½ + ½cos 2x. Example 3.10 integrates sin²x to x/2 − sin(2x)/4: G. Strang and E. Herman, Calculus Volume 2, OpenStax (2016), section 3.2, “Trigonometric Integrals”.
The three substitutions and their reference triangles: x = a sin θ with −π/2 ≤ θ ≤ π/2, where cos θ ≥ 0 so the root is a cos θ (Example 3.21 integrates √(9 − x²) this way); x = a tan θ; x = a sec θ, where the root is |a tan θ| and changes sign between x ≥ a and x ≤ −a. The strategy for √(a² − x²) begins by advising a check that the integral cannot be done more easily, naming x√(a² − x²) as one u-substitution handles, and Example 3.23 does x³√(1 − x²) both ways: G. Strang and E. Herman, Calculus Volume 2, OpenStax (2016), section 3.3, “Trigonometric Substitution”.
Wallis's product π/2 = (2·2·4·4·6·6·8·8…)/(1·3·3·5·5·7·7·9…), in Arithmetica infinitorum (1656), found while trying to compute ∫₀¹ (1 − x²)^(1/2) dx, the area of a quarter of the unit circle: he could integrate (1 − x²)ⁿ for whole n and reached the half power by interpolation, a word the book introduced: J. J. O'Connor and E. F. Robertson, “John Wallis”, MacTutor History of Mathematics Archive, University of St Andrews (2002).

Por el equipo de 7 Raven Room · Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones.