Forma armónica

Introduce a y b (puedes escribir una fracción o una raíz como √3) y elige la forma que te pida el ejercicio. El triángulo relaciona R cos α y R sin α con los coeficientes, la gráfica combina las dos ondas discontinuas en una sola y, si introduces c, resuelve a sin x + b cos x = c en el intervalo.

Amplitud	$R=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$
Como seno	$\begin{aligned}&a\sin x+b\cos x=R\sin(x+\alpha)\\&\tan\alpha=\frac{b}{a}\end{aligned}$
Como coseno	$\begin{aligned}&a\sin x+b\cos x=R\cos(x-\alpha)\\&\tan\alpha=\frac{a}{b}\end{aligned}$

Ejemplo resuelto — Forma armónica

Amplitud R	5
Ángulo de fase α	53,13°
α en radianes	0,9273
Una sola onda	5 sin(x + 53,13°)
Máximo	36,87°
Mínimo	216,87°

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

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Lección

La teoría — Forma armónica

La forma armónica expresa a sin x + b cos x como una sola onda, R sin(x ± α) o R cos(x ± α), con R > 0.

De dónde viene la fórmula

Desarrolla la forma elegida con la fórmula del ángulo suma o resta, de modo que quede escrita como un múltiplo de sin x más un múltiplo de cos x.
$R\sin(x+\alpha)=R\cos\alpha\,\sin x+R\sin\alpha\,\cos x$
Iguala los coeficientes. Comparando los coeficientes de sin x y cos x obtienes R cos α y R sin α, con los signos que determine el desarrollo.
$R\cos\alpha=a,\qquad R\sin\alpha=b$
Eleva al cuadrado y suma para hallar R; divide para hallar α. La identidad cos²α + sin²α = 1 te da R; el cociente te da tan α, y los signos de R cos α y R sin α determinan en qué cuadrante se encuentra α.
$R^{2}(\cos^{2}\alpha+\sin^{2}\alpha)=a^{2}+b^{2}\ \Rightarrow\ R=\sqrt{a^{2}+b^{2}},\qquad\tan\alpha=\frac{b}{a}$
Interpreta la onda. Dado que el seno y el coseno oscilan siempre entre −1 y 1, la expresión toma valores entre −R y R, alcanzando el valor R cuando el argumento del paréntesis vale 90° (para el seno) o 0° (para el coseno).
$-R\le a\sin x+b\cos x\le R$
Resuelve a sin x + b cos x = c despejando el argumento. Si usas la forma R sin(x + α), la ecuación se reduce a sin(x + α) = c/R, donde el intervalo del argumento queda desplazado en α; las demás formas funcionan igual con su respectiva función y signo. Si |c| > R, no existe solución.
$a\sin x+b\cos x=c\ \Rightarrow\ \sin(x+\alpha)=\frac{c}{R}$

Problemas resueltos al detalle

La forma estándar, R sin(x + α) 2 pasos
Expresa 3 sin x + 4 cos x en la forma R sin(x + α), con R > 0 y 0° < α < 90°.

Abre este problema en la herramienta
1. Desarrolla la expresión e iguala los coeficientes de sin x y cos x:
  
  $R\sin(x+\alpha)=R\cos\alpha\,\sin x+R\sin\alpha\,\cos x\ \Rightarrow\ R\cos\alpha=3,\quad R\sin\alpha=4$
2. Eleva al cuadrado y suma; luego divide:
  
  $R=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5,\qquad\tan\alpha=\frac{4}{3},\quad\alpha=53{.}13^{\circ}$
Respuesta

3 sin x + 4 cos x = 5 sin(x + 53,13°).

$3\sin x+4\cos x=5\sin(x+53{.}13^{\circ})$
Valores exactos con radicales: R cos(x − α) 2 pasos
Expresa sin x + √3 cos x en la forma R cos(x − α), dando los valores exactos de R y α.

Abre este problema en la herramienta
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1. Desarrolla R cos(x − α) e iguala coeficientes:
  
  $R\cos(x-\alpha)=R\cos\alpha\,\cos x+R\sin\alpha\,\sin x\ \Rightarrow\ R\cos\alpha=\sqrt{3},\quad R\sin\alpha=1$
2. Eleva al cuadrado y suma; luego divide. tan α = 1/√3 es un valor notable:
  
  $R=\sqrt{3+1}=2,\qquad\tan\alpha=\frac{1}{\sqrt{3}},\quad\alpha=30^{\circ}$
Respuesta

sin x + √3 cos x = 2 cos(x − 30°).

$\sin x+\sqrt{3}\cos x=2\cos(x-30^{\circ})$
Con signo negativo: R sin(x − α) 2 pasos
Expresa 5 sin x − 12 cos x en la forma R sin(x − α), con R > 0 y 0° < α < 90°.

Abre este problema en la herramienta
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1. El signo menos de la forma absorbe el signo negativo de la expresión, de modo que R sin α resulta positivo:
  
  $R\sin(x-\alpha)=R\cos\alpha\,\sin x-R\sin\alpha\,\cos x\ \Rightarrow\ R\cos\alpha=5,\quad R\sin\alpha=12$
2. Eleva al cuadrado y suma; luego divide:
  
  $R=\sqrt{25+144}=13,\qquad\tan\alpha=\frac{12}{5},\quad\alpha=67{.}38^{\circ}$
Respuesta

5 sin x − 12 cos x = 13 sin(x − 67,38°). Si hubieras elegido R sin(x + α), el ángulo habría resultado α = −67,38°.

$5\sin x-12\cos x=13\sin(x-67{.}38^{\circ})$
Máximo, mínimo y puntos donde se alcanzan 2 pasos
Halla el máximo y el mínimo de 3 sin x + 4 cos x para 0° ≤ x < 360°, los puntos en que se alcanzan y, a partir de ellos, el mayor valor de 1/(10 + 3 sin x + 4 cos x).

Abre este problema en la herramienta
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1. Por el primer problema, 3 sin x + 4 cos x = 5 sin(x + 53,13°), y el seno oscila entre −1 y 1:
  
  $\sin(x+53{.}13^{\circ})=1:\ x=36{.}87^{\circ},\qquad\sin(x+53{.}13^{\circ})=-1:\ x=216{.}87^{\circ}$
2. La fracción es máxima donde su denominador es mínimo, es decir, en el punto más bajo de la onda:
  
  $\frac{1}{10+3\sin x+4\cos x}\le\frac{1}{10-5}=\frac{1}{5}$
Respuesta

Máximo 5 en x = 36,87°, mínimo −5 en x = 216,87°; el mayor valor de la fracción es 1/5, en x = 216,87°.

$\max=5,\quad\min=-5,\quad\max\frac{1}{10+3\sin x+4\cos x}=\frac{1}{5}$
Resolución de a sin x + b cos x = c 3 pasos
Resuelve 3 sin x + 4 cos x = 2 para 0° ≤ x < 360°.

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1. Escribe el primer miembro en forma armónica y divide entre R:
  
  $5\sin(x+53{.}13^{\circ})=2\ \Rightarrow\ \sin(x+53{.}13^{\circ})=0{.}4$
2. Al recorrer x el intervalo, el paréntesis x + 53,13° abarca de 53,13° a 413,13°. El valor principal y su correspondiente en ese rango:
  
  $x+53{.}13^{\circ}=180^{\circ}-23{.}58^{\circ}=156{.}42^{\circ},\qquad x+53{.}13^{\circ}=360^{\circ}+23{.}58^{\circ}=383{.}58^{\circ}$
3. Resta 53,13° a cada uno:
  
  $x=103{.}29^{\circ},\qquad x=330{.}45^{\circ}$
Respuesta

x = 103,29° o x = 330,45° (con 2 decimales).

$x=103{.}29^{\circ},\ 330{.}45^{\circ}$
Ecuaciones sin solución 2 pasos
Demuestra que sin x + cos x = 2 no tiene solución.

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1. Escribe el primer miembro en forma armónica:
  
  $\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin(x+45^{\circ})$
2. El seno nunca supera 1, por lo que el primer miembro jamás supera √2:
  
  $-\sqrt{2}\le\sqrt{2}\sin(x+45^{\circ})\le\sqrt{2}\approx1{.}4142<2$
Respuesta

sin x + cos x ≤ √2 ≈ 1,4142 < 2 para todo x; por tanto, la ecuación no tiene solución.

$\sin x+\cos x\le\sqrt{2}<2$
Un modelo: la profundidad máxima en un puerto 2 pasos
La profundidad del agua en un puerto es D = 6 + 3 sin(30t)° + 4 cos(30t)° metros, transcurridas t horas desde la medianoche. Halla la profundidad máxima y la primera hora tras la medianoche en que se alcanza.

Abre este problema en la herramienta
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1. Haciendo x = 30t, la parte variable es la onda ya conocida:
  
  $D=6+5\sin(x+53{.}13^{\circ}),\qquad x=30t$
2. Alcanza su mayor valor, 5, cuando x = 36,87°, con lo que:
  
  $D_{\max}=6+5=11,\qquad 30t=36{.}87^{\circ}\ \Rightarrow\ t=1{.}229$
Respuesta

La profundidad máxima es 11 m, por primera vez hacia las 1,23 horas, a la 1:14 a. m.

$D_{\max}=11\ \mathrm{m},\qquad t\approx1{.}23\ \mathrm{h}$

Problemas complementarios, solo con la respuesta

Expresa 2 cos x − 3 sin x en la forma R cos(x + α), con R > 0 y 0° < α < 90°.

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√13 cos(x + 56,31°)

$2\cos x-3\sin x=\sqrt{13}\cos(x+56{.}31^{\circ})$
Expresa 7 cos x − 24 sin x en la forma R cos(x + α) e indica su valor máximo.

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25 cos(x + 73,74°), máximo 25

$7\cos x-24\sin x=25\cos(x+73{.}74^{\circ}),\quad\max=25$
Resuelve √3 sin x − cos x = 1 para 0° ≤ x < 360°.

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x = 60° o x = 180°

$x=60^{\circ},\ 180^{\circ}$
Expresa 2 sin θ − 1,5 cos θ en la forma R sin(θ − α), con α en radianes redondeado a 3 decimales.

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2,5 sin(θ − 0,644)

$2\sin\theta-1{.}5\cos\theta=2{.}5\sin(\theta-0{.}644)$
Halla el valor mínimo de 5 sin x − 12 cos x + 20.

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7

$5\sin x-12\cos x+20\ge20-13=7$
Resuelve 2 cos x − 3 sin x = 1 para 0° ≤ x < 360°.

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x = 17,59° o x = 229,79°

$x=17{.}59^{\circ},\ 229{.}79^{\circ}$

3 sin x + 4 cos x alcanza 5, no 7

Pulsa 3 sin x + 4 cos x. Las ondas discontinuas alcanzan 3 y 4, pero están desfasadas un cuarto de vuelta: justo cuando sin x corona su cresta, cos x pasa por cero. Al sumarse forman una sola onda de amplitud 5, la hipotenusa de un triángulo de catetos 3 y 4. La razón es que a sin x + b cos x no es más que el producto escalar de (a, b) por (sin x, cos x), un vector unitario que va girando al variar x. El producto escalar con un vector unitario es máximo cuando ambos apuntan en la misma dirección, instante en el que coincide con la longitud de (a, b), √(a² + b²). Aquí sucede en x = 36,87°, donde (sin x, cos x) = (0,6; 0,8), que es el vector (3, 4) dividido entre 5. Dos ondas del mismo periodo siempre se suman dando otra onda con ese mismo periodo: por eso mismo existen R y α.

El arcotangente invertido corresponde a la otra forma

El tropiezo más común en estos ejercicios es calcular tan α = a/b cuando la forma pedía b/a. Pulsa 3 sin x + 4 cos x y alterna entre R sin(x + α) y R cos(x − α): verás que α pasa de 53,13° a 36,87°, mientras que la curva continua no se mueve un milímetro. Ambas respuestas son válidas, tanto 5 sin(x + 53,13°) como 5 cos(x − 36,87°), porque el seno no es más que un coseno retrasado un cuarto de vuelta y 53,13° + 36,87° = 90°. Ese cociente invertido da el ángulo α correcto para la otra forma; el único error ha sido responder a una pregunta distinta de la formulada. Si ninguno de los coeficientes es cero, sus signos determinan qué formas dan un α agudo: dos si ambos son positivos, una si solo uno es negativo y ninguna si ambos lo son.

Una tabla de mareas son R y α repetidos treinta y siete veces

La NOAA predice las mareas en The Battery, en el extremo sur de Manhattan, sumando 37 curvas cosenoidales: sus componentes armónicos, tabulados cada uno con su amplitud y su fase. El mayor de ellos, M2, la marea semidiurna lunar principal, tiene una amplitud de 0,671 m y avanza a razón de 28,984104° por hora, con lo que se repite cada 12,42 horas. Las constantes proceden de mediciones directas del nivel del mar: un mes de datos cubre la mayoría de los ciclos lunares y solares, y hace falta un año entero para calibrar los 37. Tabular amplitud y fase es precisamente pasar a la forma armónica de seno más coseno que calculas en esta página, y permite entender el fenómeno de un vistazo: M2 por sí sola eleva el agua 0,671 m sobre su nivel medio y la hace descender otros 0,671 m por debajo.

Ruta de aprendizaje

Identidades y ecuaciones trigonométricas

Referencias (2)

Insight block 3: the 37 harmonic constituents NOAA uses to predict the tide at The Battery, New York, each an amplitude and a phase; M2, the principal lunar semidiurnal constituent, has amplitude 0.671 m and speed 28.984104° per hour: NOAA Center for Operational Oceanographic Products and Services, Harmonic Constituents, station 8518750 (The Battery, NY), metadata API.
Insight block 3: each constituent “can be represented as a Cosine Curve” with an amplitude and a phase, predictions sum the 37 curves, 30 days of data show most constituents and a year shows all 37: NOAA Center for Operational Oceanographic Products and Services, “Harmonic Constituents”.

Por el equipo de 7 Raven Room · Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones.

Forma armónica

De dónde viene la fórmula

Problemas complementarios, solo con la respuesta

3 sin x + 4 cos x alcanza 5, no 7 🖖

El arcotangente invertido corresponde a la otra forma 🖖

Una tabla de mareas son R y α repetidos treinta y siete veces 🖖

3 sin x + 4 cos x alcanza 5, no 7

El arcotangente invertido corresponde a la otra forma

Una tabla de mareas son R y α repetidos treinta y siete veces