Solucionador de Ecuaciones Cuadráticas

Introduce a, b y c. Con coeficientes enteros, las raíces se obtienen de forma exacta —con radicales cuando son irracionales— y cada cálculo queda desglosado debajo.

Fórmula cuadrática	$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$
Número de raíces reales	$\begin{aligned}&b^{2}-4ac>0:\ 2\\&b^{2}-4ac=0:\ 1\\&b^{2}-4ac<0:\ 0\end{aligned}$
Forma canónica	$ax^{2}+bx+c=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^{2}+c-\frac{b^{2}}{4a}$
Suma y producto de las raíces	$x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a},\qquad x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}$

Ejemplo resuelto — Solucionador de Ecuaciones Cuadráticas

Discriminante	1
Raíces	3, 2
Vértice	(2,5, −0,25), mínimo
Suma de las raíces	5
Producto de las raíces	6

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

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Lección

La teoría — Solucionador de Ecuaciones Cuadráticas

Una ecuación cuadrática es de la forma ax² + bx + c = 0 con a ≠ 0. Sus raíces son los valores de x que hacen cierta la igualdad; las soluciones reales marcan los puntos donde la parábola y = ax² + bx + c corta al eje x.

De dónde viene la fórmula

Extrae a de los términos en x, de modo que el paréntesis empiece con un x² limpio.
$ax^{2}+bx+c=a\left(x^{2}+\frac{b}{a}x\right)+c$
Completa el cuadrado. Toma la mitad del coeficiente de x, elévala al cuadrado, y súmala y réstala dentro del paréntesis. Lo que queda fuera determina la altura del vértice.
$\begin{aligned}x^{2}+\frac{b}{a}x&=\left(x+\frac{b}{2a}\right)^{2}-\frac{b^{2}}{4a^{2}}\\ax^{2}+bx+c&=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^{2}-\frac{b^{2}-4ac}{4a}\end{aligned}$
Despeja x. Iguala la expresión a cero, aísla el binomio al cuadrado y extrae las dos raíces. Así se deduce la fórmula general.
$\begin{aligned}&\left(x+\frac{b}{2a}\right)^{2}=\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}\\&\Rightarrow\ x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\end{aligned}$
Analiza el discriminante. Ningún cuadrado real es negativo; por eso el signo de b² − 4ac decide si hay dos raíces reales, una raíz doble o un par conjugado complejo.
$\begin{aligned}&\Delta>0:\ x_{1}\ne x_{2}\qquad\Delta=0:\ x=-\frac{b}{2a}\\&\Delta<0:\ x=-\frac{b}{2a}\pm\frac{\sqrt{-\Delta}}{2a}\,i\end{aligned}$
Conserva los radicales en forma exacta. Extrae factores fuera de √Δ y simplifica lo que divida a todos los términos. Recurre a los decimales solo si la pregunta los exige.
$\begin{aligned}&x^{2}+4x-7=0:\\&x=\frac{-4\pm\sqrt{44}}{2}=\frac{-4\pm2\sqrt{11}}{2}=-2\pm\sqrt{11}\end{aligned}$

Cuando la fórmula famosa falla en silencio

La fórmula de los libros de texto puede traicionarte frente a una computadora. Cuando b² es mucho mayor que 4ac, la raíz cuadrada es casi igual a |b|. Por tanto, una de las dos raíces resta dos números casi idénticos (-b + √Δ cuando b es positivo y -b − √Δ cuando b es negativo), lo que borra la mayor parte de las cifras significativas en un efecto llamado cancelación catastrófica. Las bibliotecas numéricas esquivan este problema calculando primero una raíz para hallar luego la otra como c/(a·x₁). El álgebra centenaria y la aritmética moderna de punto flotante discrepan en silencio.

TEORÍA DE LA ECUACIÓN CUADRÁTICA — LEER ax² + bx + c ANTES DE RESOLVER

El discriminante: ¿cuántas raíces y hacia dónde abre?

Dos números deciden la forma de la respuesta antes de tocar la fórmula general. El discriminante Δ = b² − 4ac dice cuántas raíces reales hay, y el signo de a dice hacia dónde abre la parábola y si su vértice es un punto mínimo o máximo.

Δ > 0 — dos raíces reales distintas Δ = b² − 4ac > 0

Δ = 0 — una raíz real doble Δ = 0

Δ < 0 — dos raíces complejas conjugadas Δ < 0

a < 0 — la parábola abre hacia abajo a < 0

Δ > 0 — dos raíces reales distintas

Datos: El discriminante b² − 4ac resulta positivo. La parábola corta el eje x en dos puntos separados.

Raíces: Δ = b² − 4ac > 0

Ejemplo resuelto: x² − 5x + 6 = 0 → Δ = 25 − 24 = 1 → x = 2 y x = 3

Abrir este caso: dos raíces

Δ > 0 — dos raíces reales distintas. Δ > 0: la curva corta el eje dos veces, simétricamente respecto al vértice. El discriminante b² − 4ac resulta positivo. La parábola corta el eje x en dos puntos separados. — Δ > 0: la curva corta el eje dos veces, simétricamente respecto al vértice.

Δ = 0 — una raíz real doble

Datos: El discriminante es exactamente cero. La parábola toca el eje x en un solo punto en lugar de cruzarlo.

Raíces: Δ = 0

Ejemplo resuelto: x² − 4x + 4 = 0 → Δ = 16 − 16 = 0 → x = 2, contada dos veces

Abrir este caso: raíz doble

Δ = 0 — una raíz real doble. Δ = 0: el vértice queda justo sobre el eje — tangencia, no corte. El discriminante es exactamente cero. La parábola toca el eje x en un solo punto en lugar de cruzarlo. — Δ = 0: el vértice queda justo sobre el eje — tangencia, no corte.

Δ < 0 — dos raíces complejas conjugadas

Datos: El discriminante es negativo. La parábola nunca llega al eje x, así que no hay solución real.

Raíces: Δ < 0

Ejemplo resuelto: x² + 2x + 5 = 0 → Δ = 4 − 20 = −16 → x = −1 ± 2i

Abrir este caso: raíces complejas

Δ < 0 — dos raíces complejas conjugadas. Δ < 0: toda la curva se queda a un lado del eje. El discriminante es negativo. La parábola nunca llega al eje x, así que no hay solución real. — Δ < 0: toda la curva se queda a un lado del eje.

a < 0 — la parábola abre hacia abajo

Datos: El coeficiente principal a es negativo. Esto es independiente del discriminante: voltea la curva y convierte el vértice en un máximo.

Raíces: a < 0

Ejemplo resuelto: −x² + 4 = 0 → Δ = 0 + 16 = 16 > 0 → x = ±2, con un máximo en (0, 4)

Abrir este caso: abre hacia abajo

a < 0 — la parábola abre hacia abajo. a < 0: las ramas apuntan hacia abajo y el vértice es el máximo. El coeficiente principal a es negativo. Esto es independiente del discriminante: voltea la curva y convierte el vértice en un máximo. — a < 0: las ramas apuntan hacia abajo y el vértice es el máximo.

Referencias (1)

Insight block 3 — catastrophic cancellation, and the reformulation that avoids it: D. Goldberg, "What every computer scientist should know about floating-point arithmetic." ACM Computing Surveys 23(1), 5–48, 1991 — the quadratic formula is its worked example.

Problemas resueltos al detalle

Resolución de x² − 5x + 6 = 0 completando el cuadrado 5 pasos
Resuelve x² − 5x + 6 = 0 completando el cuadrado. Después responde a algo que la fórmula cuadrática no te dirá: el discriminante cuenta las raíces, pero ¿qué mide su tamaño?

Abre este problema en la herramienta
1. Completar el cuadrado no es un truco para resolver ecuaciones cuadráticas; es la demostración de que la fórmula cuadrática es cierta, aplicada a una ecuación concreta. Divide por dos el coeficiente de x, elévalo al cuadrado, súmalo y réstalo. El 6,25 que aparece es el precio de forzar los dos primeros términos a formar un cuadrado perfecto, y hay que devolverlo en la misma línea.
  
  $x^2-5x+6=\left(x-\tfrac52\right)^{2}-\tfrac{25}{4}+6=(x-2.5)^2-0.25$
2. La forma canónica sitúa la variable en un único lugar, de modo que se puede despejar directamente: aísla el cuadrado, calcula ambas raíces y vuelve a sumar 2,5. No se ha necesitado ninguna fórmula ni se ha memorizado ninguna.
  
  $(x-2.5)^2=0.25\ \Longrightarrow\ x-2.5=\pm0.5\ \Longrightarrow\ x=2\ \ \text{or}\ \ x=3$
3. Ahora el discriminante. Aquí Δ = 1, y como es positivo, hay dos raíces reales. Esa es la parte que mencionan todos los libros de texto.
  
  $\Delta=b^2-4ac=25-24=1$
4. Aparece dos veces más, y ninguna de las dos se suele decir en voz alta. La distancia entre las raíces es √Δ/|a|, porque el ± de la fórmula aporta ±√Δ/2a a cada una. Y el vértice se sitúa Δ/4a por debajo del eje: el −0,25 del panel superior no es un resultado independiente, sino el propio discriminante dividido entre cuatro.
  
  $x_2-x_1=\frac{\sqrt{\Delta}}{|a|}=1,\qquad y_V=-\frac{\Delta}{4a}=-0.25$
5. Las relaciones de Vieta cierran el círculo. Desarrolla a(x − x₁)(x − x₂), iguálalo término a término con ax² + bx + c, y la suma y el producto de las raíces se obtienen directamente sin necesidad de resolver nada.
  
  $x_1+x_2=-\frac{b}{a}=5,\qquad x_1x_2=\frac{c}{a}=6$
Respuesta

Las raíces son x = 2 y x = 3, y la herramienta muestra el vértice en (2,5, −0,25) a partir del mismo completamiento. La recompensa es que un solo número rige tres hechos independientes. Δ = 1 hace que las raíces sean reales, las sitúa a 1 de distancia y baja el vértice exactamente 0,25 por debajo del eje. Eleva c hacia 6,25 y observa cómo las tres cosas cambian a la vez: las raíces se acercan, la distancia se reduce como √Δ y la parábola sube hasta tocar el eje en Δ = 0. Nunca fueron tres coincidencias: son una sola magnitud vista desde tres ángulos.

$x=2,\ 3\qquad \Delta=1:\ \text{separation}\ \sqrt{\Delta}=1,\ \text{depth}\ \tfrac{\Delta}{4a}=0.25$
La fórmula con radicales 4 pasos
Resuelve 2x² − 3x − 4 = 0 y expresa las raíces en forma exacta.

Abre este problema en la herramienta
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1. Identifica a, b y c con sus signos correspondientes. La mayoría de los errores en este tipo de ejercicio ocurren justo aquí.
  
  $a=2,\quad b=-3,\quad c=-4$
2. Calcula primero el discriminante. Es positivo y no es un cuadrado perfecto, lo que garantiza dos raíces reales e irracionales.
  
  $b^{2}-4ac=(-3)^{2}-4(2)(-4)=9+32=41$
3. Aplica la fórmula. Como 41 no contiene factores cuadrados, √41 se queda tal cual.
  
  $x=\frac{3\pm\sqrt{41}}{4}$
4. Pasa a decimales solo al final, y únicamente si la pregunta los pide.
  
  $\sqrt{41}\approx6.4031:\qquad x\approx2.3508,\quad x\approx-0.8508$
Respuesta

x = (3 ± √41)/4, aproximadamente 2,3508 y −0,8508.

$x=\frac{3\pm\sqrt{41}}{4}$
Completar el cuadrado cuando a ≠ 1 4 pasos
Escribe 2x² − 8x + 5 en la forma a(x + p)² + q, halla el vértice de y = 2x² − 8x + 5 y resuelve 2x² − 8x + 5 = 0 de forma exacta.

Abre este problema en la herramienta
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1. Saca factor común 2 únicamente en los términos con x. El 5 se queda fuera.
  
  $2x^{2}-8x+5=2(x^{2}-4x)+5$
2. La mitad de −4 es −2. Elévalo al cuadrado, suma y resta dentro del paréntesis y multiplica el 2 por el −4 al sacarlo del paréntesis.
  
  $=2\left[(x-2)^{2}-4\right]+5=2(x-2)^{2}-3$
3. Un cuadrado nunca es negativo, de modo que el valor mínimo es −3, alcanzado cuando el paréntesis vale 0.
  
  $(x-2)^{2}\ge0\ \Rightarrow\ 2(x-2)^{2}-3\ge-3,\quad x=2$
4. Al igualar a cero la forma canónica, basta con despejar una sola raíz cuadrada.
  
  $\begin{aligned}&2(x-2)^{2}=3\ \Rightarrow\ x-2=\pm\sqrt{\tfrac32}=\pm\frac{\sqrt6}{2}\\&\Rightarrow\ x=\frac{4\pm\sqrt6}{2}\end{aligned}$
Respuesta

2(x − 2)² − 3; vértice en (2, −3), un mínimo; x = (4 ± √6)/2.

$2(x-2)^{2}-3,\quad(2,\,-3),\quad x=\frac{4\pm\sqrt6}{2}$
Un parámetro y raíces iguales 4 pasos
Halla los valores de k para los que x² + kx + 9 = 0 tiene raíces iguales. ¿Para qué valores de k tiene dos raíces reales distintas?

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1. Tener raíces iguales exige un discriminante nulo. Escríbelo en función de k.
  
  $b^{2}-4ac=k^{2}-4(1)(9)=k^{2}-36$
2. Despeja k.
  
  $k^{2}-36=0\ \Rightarrow\ k=\pm6$
3. Comprueba uno de los casos: con k = 6 la expresión es un cuadrado perfecto y su única raíz es −3.
  
  $k=6:\quad x^{2}+6x+9=(x+3)^{2}=0\ \Rightarrow\ x=-3$
4. Tener dos raíces distintas requiere un discriminante positivo, lo que se cumple fuera del intervalo delimitado por esos dos valores.
  
  $k^{2}-36>0\iff k<-6\ \lor\ k>6$
Respuesta

k = 6 o k = −6 para raíces iguales; dos raíces reales distintas cuando k < −6 o k > 6.

$k=\pm6;\qquad k<-6\ \lor\ k>6$
Sin raíces reales 3 pasos
Demuestra que x² + 2x + 5 = 0 no tiene raíces reales y halla sus raíces complejas.

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1. El discriminante es negativo.
  
  $b^{2}-4ac=2^{2}-4(1)(5)=4-20=-16<0$
2. Completar el cuadrado te lo muestra de inmediato: el primer miembro nunca baja de 4, de modo que jamás se anula. La parábola queda entera por encima del eje.
  
  $x^{2}+2x+5=(x+1)^{2}+4\ge4>0$
3. La fórmula general sigue funcionando con √−16 = 4i, y las dos raíces forman un par conjugado.
  
  $x=\frac{-2\pm\sqrt{-16}}{2}=\frac{-2\pm4i}{2}=-1\pm2i$
Respuesta

Δ = −16 < 0, luego no hay raíces reales; las raíces complejas son x = −1 ± 2i.

$x=-1\pm2i$
Una cuadrática camuflada 3 pasos
Resuelve x⁴ − 5x² + 4 = 0.

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1. Solo intervienen x² y x⁴, con x⁴ = (x²)². Dale a x² otro nombre.
  
  $u=x^{2}:\qquad u^{2}-5u+4=0$
2. Ahora tienes una ecuación cuadrática común en u. La herramienta resuelve este paso.
  
  $(u-4)(u-1)=0\ \Rightarrow\ u=4,\ u=1$
3. Deshaz el cambio para volver a x. Cada valor positivo de u te da dos valores de x.
  
  $x^{2}=4\ \Rightarrow\ x=\pm2,\qquad x^{2}=1\ \Rightarrow\ x=\pm1$
Respuesta

x = −2, −1, 1 o 2.

$x=-2,\ -1,\ 1,\ 2$
Una cuadrática a partir de sus raíces 3 pasos
Halla una ecuación de segundo grado con coeficientes enteros cuyas raíces sean 2 + √3 y 2 − √3.

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1. Suma las raíces: los radicales se anulan.
  
  $(2+\sqrt3)+(2-\sqrt3)=4$
2. Multiplícalas: surge una diferencia de cuadrados y el radical vuelve a desaparecer.
  
  $(2+\sqrt3)(2-\sqrt3)=4-3=1$
3. Una cuadrática con coeficiente principal 1 equivale a x² menos la suma por x más el producto.
  
  $x^{2}-(x_{1}+x_{2})x+x_{1}x_{2}=x^{2}-4x+1$
Respuesta

x² − 4x + 1 = 0.

$x^{2}-4x+1=0$
Un modelo físico y una raíz descartable 4 pasos
Se lanza una pelota de modo que su altura tras t segundos es h = 1,5 + 14t − 4,9t² metros. ¿Cuándo toca el suelo y qué altura máxima alcanza?

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1. Tocar el suelo significa h = 0. Ordenando los coeficientes como de costumbre, a = −4,9, b = 14 y c = 1,5.
  
  $-4.9t^{2}+14t+1.5=0$
2. Calcula el discriminante.
  
  $b^{2}-4ac=14^{2}-4(-4.9)(1.5)=196+29.4=225.4$
3. La fórmula arroja dos soluciones. La negativa representaría un instante previo al lanzamiento, donde el modelo carece de sentido, por lo que se descarta.
  
  $\begin{aligned}&t=\frac{-14\pm\sqrt{225.4}}{-9.8}\\&\Rightarrow\ t\approx2.9605,\ \ t\approx-0.1034\end{aligned}$
4. El punto más alto del vuelo es el vértice: un máximo, ya que a es negativo.
  
  $\begin{aligned}&t=-\frac{b}{2a}=\frac{14}{9.8}\approx1.4286\\&h=1.5-\frac{14^{2}}{4(-4.9)}=11.5\end{aligned}$
Respuesta

Toca el suelo tras unos 2,96 s y sube hasta 11,5 m, a los t ≈ 1,43 s.

$t\approx2.96\ \mathrm{s};\qquad h_{\max}=11.5\ \mathrm{m}$

Problemas complementarios, solo con la respuesta

Resuelve x² + 4x − 7 = 0 expresando las soluciones con radicales.

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x = −2 ± √11

$x=-2\pm\sqrt{11}$
Escribe x² − 6x + 11 en la forma (x − p)² + q e indica su valor mínimo.

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(x − 3)² + 2; mínimo 2, en x = 3

$(x-3)^{2}+2,\quad\min=2$
Halla k para que 2x² − 4x + k = 0 tenga raíces iguales.

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k = 2

$k=2$
Determina los valores de k para los que x² + 2kx + 9 = 0 no tiene raíces reales.

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−3 < k < 3

$-3<k<3$
Resuelve 3x² − 5x − 2 = 0.

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x = 2 o x = −1/3

$x=2,\ \ x=-\tfrac13$
Resuelve x² + 6x + 13 = 0.

Mostrar respuesta

x = −3 ± 2i

$x=-3\pm2i$
Resuelve 4ˣ − 6 × 2ˣ + 8 = 0.

Mostrar respuesta

x = 1 o x = 2

$x=1,\ \ x=2$

Ruta de aprendizaje

Más allá de la cuadrática

Por el equipo de 7 Raven Room · Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones.