Explorador de funciones racionales

f(x) = k(x − z)/(x − p): arrastra el cero y el polo en la gráfica, o ajusta z, p y k. Abajo verás calculados al detalle cada corte y cada asíntota.

Asíntotas verticales	$Q(a)=0,\ P(a)\ne0\ \Rightarrow\ x=a$
Agujeros	$\frac{(x-a)P_{1}(x)}{(x-a)Q_{1}(x)},\ Q_{1}(a)\ne0\ \Rightarrow\ \left(a,\ \tfrac{P_{1}(a)}{Q_{1}(a)}\right)$
Asíntota horizontal	$\begin{aligned}&\deg P<\deg Q:\ y=0\\&\deg P=\deg Q:\ y=\frac{a_{n}}{b_{n}}\end{aligned}$
Asíntota oblicua	$\begin{aligned}&\deg P=\deg Q+1:\ \frac{P}{Q}=mx+c+\frac{R}{Q}\\&y=mx+c\end{aligned}$
La familia de esta página	$k\,\frac{x-z}{x-p}=k+\frac{k(p-z)}{x-p}$

Ejemplo resuelto — Explorador de funciones racionales

Intersección con el eje x	1
Asíntota vertical	−2
Asíntota horizontal	1
Corte con el eje y	−0,5
Forma descompuesta	1 − 3/(x + 2)
\|z − p\|	3

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

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Lección

La teoría — Explorador de funciones racionales

Una función racional es el cociente P(x)/Q(x) de dos polinomios. No está definida allí donde Q(x) = 0.

De dónde viene la fórmula

Factoriza y simplifica. Si el numerador y el denominador comparten un factor, este se cancela. Allí donde ese factor valía cero y el resto del denominador no, la gráfica tiene un agujero: la función simplificada toma un valor concreto, mientras que la original no está definida.
$\begin{aligned}\frac{x^{2}-4}{x^{2}-x-2}&=\frac{(x-2)(x+2)}{(x-2)(x+1)}\\&=\frac{x+2}{x+1},\ \ x\ne2\end{aligned}$
Las asíntotas verticales corresponden a las raíces del denominador que sobreviven a la simplificación. Cerca de una de ellas, la función crece sin límite, con un signo que depende del lado por el que te acerques.
$\begin{aligned}&x+1=0\ \Rightarrow\ x=-1\\&f(-1.01)=-99,\qquad f(-0.99)=101\end{aligned}$
Cortes con los ejes. Los ceros del numerador ya simplificado, en los puntos donde el denominador original no se anule, son los cortes con el eje x; f(0) te da el corte con el eje y.
$x+2=0\ \Rightarrow\ x=-2;\qquad f(0)=\frac{2}{1}=2$
En el infinito, compara los grados. Si divides numerador y denominador entre la mayor potencia de x verás el límite: 0 cuando el denominador tiene mayor grado, o el cociente de los coeficientes principales si los grados coinciden.
$\frac{x+2}{x+1}=\frac{1+\frac{2}{x}}{1+\frac{1}{x}}\to1\quad(x\to\pm\infty)$
Un grado más en el numerador produce una asíntota oblicua. Divide: el cociente es la recta a la que se aproxima la curva, mientras que el resto dividido entre Q tiende a 0.
$\frac{x^{2}+3x+1}{x+1}=x+2-\frac{1}{x+1}\ \to\ y=x+2$

Pon el cero sobre el polo y la divergencia desaparece

Arrastra el cero hasta que quede exactamente sobre el polo y ocurre algo curioso: la curva deja de explotar y se aplana en una recta horizontal. Con z = p el factor (x − z) cancela el denominador por completo y queda la constante k en todas partes — excepto en x = p, donde la fórmula original sigue dividiendo por cero. Así que la gráfica es una recta con un punto perforado, y esta herramienta pasa de informar de una asíntota a informar de un hueco en (p, k). Una raíz del denominador solo es un polo si el numerador no la cancela; en caso contrario es un hueco evitable, invisible a cualquier nivel de zoom.

Un polo solo es infinito por elección

Escrita como (ax+b)/(cx+d), toda función con un cero y un polo es una transformación de Möbius — las aplicaciones que gobiernan el análisis complejo y la geometría hiperbólica. Añade un único punto en el infinito (la esfera de Riemann) y el polo deja de ser una catástrofe: x=p simplemente se aplica a ese nuevo punto, y x=∞ a la asíntota horizontal y=k. Sobre la esfera la función es una biyección suave y reversible; la «explosión» es solo un artefacto del mapa plano.

FUNCIONES RACIONALES — ¿DÓNDE EXPLOTA LA GRÁFICA Y DÓNDE SE ASIENTA?

¿En qué caso de función racional está?

En f(x) = k(x − z)/(x − p) solo hay tres números, y cada uno es dueño de un rasgo de la gráfica. El cero z es donde la curva cruza el eje. El polo p es donde se anula el denominador y la curva se va al infinito. La ganancia k es el valor en el que se asienta lejos de ambos. Lea esos tres en la fórmula y habrá esbozado la gráfica antes de dibujar un solo punto.

Bien separados: una asíntota vertical, una horizontal y un corte x = p, y = k

Polo y cero muy juntos: un pico violento entre ellos |z − p| → 0 ⇒ |f| → ∞

Ganancia negativa: el mismo esqueleto con las ramas intercambiadas k < 0 ⇒ f → −f

Polo y cero casi encima uno de otro: casi un agujero (z − p)/(z − p) = 1, z ≠ p

Bien separados: una asíntota vertical, una horizontal y un corte

Lo que sabe: Un polo y un cero a distancia cómoda. La asíntota vertical está en x = p, la horizontal en y = k, y la curva corta el eje en x = z.

Rasgo: x = p, y = k

Ejemplo resuelto: f(x) = (x − 1)/(x + 2): asíntota en x = −2, corte en x = 1 y f → 1 lejos en ambas direcciones. En x = 0 el valor es −0,5.

Abrir este caso: básico

Bien separados: una asíntota vertical, una horizontal y un corte. El polo y la ganancia dibujan las dos asíntotas; el cero fija dónde cruza la curva. Un polo y un cero a distancia cómoda. La asíntota vertical está en x = p, la horizontal en y = k, y la curva corta el eje en x = z. — El polo y la ganancia dibujan las dos asíntotas; el cero fija dónde cruza la curva.

Polo y cero muy juntos: un pico violento entre ellos

Lo que sabe: La misma forma, pero el polo queda cerca del cero. La curva tiene que ir del eje al infinito en poca distancia, así que sube muy empinada.

Rasgo: |z − p| → 0 ⇒ |f| → ∞

Ejemplo resuelto: f(x) = 1,4(x − 0,5)/(x − 0,2): el polo en 0,2 está a solo 0,3 del cero en 0,5, y f(0) ya vale 3,5 frente a un valor lejano de 1,4

Abrir este caso: polo pronunciado

Polo y cero muy juntos: un pico violento entre ellos. Una separación corta entre polo y cero obliga a la curva a pasar por una excursión estrecha y empinada. La misma forma, pero el polo queda cerca del cero. La curva tiene que ir del eje al infinito en poca distancia, así que sube muy empinada. — Una separación corta entre polo y cero obliga a la curva a pasar por una excursión estrecha y empinada.

Ganancia negativa: el mismo esqueleto con las ramas intercambiadas

Lo que sabe: Una k negativa refleja toda la curva respecto al eje horizontal. Las asíntotas no se mueven; lo que cambia es la esquina que ocupa cada rama.

Rasgo: k < 0 ⇒ f → −f

Ejemplo resuelto: f(x) = −(x + 1,5)/(x − 1,2): asíntota en x = 1,2, corte en x = −1,5, asíntota horizontal en y = −1 y f(0) = 1,25

Abrir este caso: ganancia negativa

Ganancia negativa: el mismo esqueleto con las ramas intercambiadas. Las asíntotas siguen donde estaban, pero cada rama se ha ido al lado opuesto. Una k negativa refleja toda la curva respecto al eje horizontal. Las asíntotas no se mueven; lo que cambia es la esquina que ocupa cada rama. — Las asíntotas siguen donde estaban, pero cada rama se ha ido al lado opuesto.

Polo y cero casi encima uno de otro: casi un agujero

Lo que sabe: Cuando z y p están muy cerca, los factores casi se cancelan. Fuera de ese entorno la función se parece a la constante k, y el polo sobrevive como un pico finísimo.

Rasgo: (z − p)/(z − p) = 1, z ≠ p

Ejemplo resuelto: f(x) = (x − 1)/(x − 1,12): solo 0,12 de separación, así que f(0) = 0,893, cerca del valor lejano 1, y aun así la asíntota en x = 1,12 sigue ahí

Abrir este caso: casi cancelado

Polo y cero casi encima uno de otro: casi un agujero. Casi una constante en todas partes, salvo en la ventana estrecha donde el polo aún gana. Cuando z y p están muy cerca, los factores casi se cancelan. Fuera de ese entorno la función se parece a la constante k, y el polo sobrevive como un pico finísimo. — Casi una constante en todas partes, salvo en la ventana estrecha donde el polo aún gana.

Problemas resueltos al detalle

Cortes con los ejes y asíntotas 5 pasos
Para f(x) = 2(x − 3)/(x + 1), halla los cortes con los ejes y las asíntotas, e indica qué esquinas ocupan las ramas.

Abre este problema en la herramienta
1. Cero: el numerador vale 0 en x = 3, donde el denominador no se anula.
  
  $2(x-3)=0\ \Rightarrow\ x=3$
2. Asíntota vertical: el denominador vale 0 en x = −1.
  
  $x+1=0\ \Rightarrow\ x=-1$
3. Asíntota horizontal: divide numerador y denominador entre x.
  
  $\frac{2(x-3)}{x+1}=\frac{2-\frac{6}{x}}{1+\frac{1}{x}}\to2\quad(x\to\pm\infty)$
4. Corte con el eje y: haz x = 0.
  
  $f(0)=\frac{2(0-3)}{0+1}=-6$
5. Descompón la función para ver las ramas: el término sobre x + 1 resulta negativo a la derecha de −1, de modo que la rama derecha queda por debajo de y = 2 y la izquierda, por encima.
  
  $\frac{2(x-3)}{x+1}=\frac{2(x+1)-8}{x+1}=2-\frac{8}{x+1}$
Respuesta

Cero en x = 3, corte con el eje y en −6, asíntotas x = −1 e y = 2; f(x) = 2 − 8/(x + 1), ramas arriba a la izquierda y abajo a la derecha.

$f(x)=2-\frac{8}{x+1}:\quad x=3,\ \ y=-6,\ \ x=-1,\ \ y=2$
Un agujero 3 pasos
f(x) = (x² − 4)/(x² − x − 2). Halla los posibles agujeros, las asíntotas y los cortes con los ejes.
Mostrar solución
1. Factoriza ambos polinomios: el factor x − 2 es común.
  
  $f(x)=\frac{(x-2)(x+2)}{(x-2)(x+1)}$
2. Cancélalo. La función original no está definida en x = 2; la expresión simplificada da la altura del agujero.
  
  $=\frac{x+2}{x+1},\ \ x\ne2;\qquad\frac{2+2}{2+1}=\frac43$
3. Con lo que queda: la asíntota vertical proviene de x + 1, el cero de x + 2 y los grados iguales dan la asíntota horizontal.
  
  $\begin{aligned}&x+1=0\Rightarrow x=-1;\qquad x+2=0\Rightarrow x=-2\\&y\to\frac11=1;\qquad f(0)=\frac{-4}{-2}=2\end{aligned}$
Respuesta

Agujero en (2, 4/3); asíntotas x = −1 e y = 1; cero en x = −2; corte con el eje y en 2.

$\left(2,\tfrac43\right);\quad x=-1,\ y=1;\quad x=-2;\quad f(0)=2$
Asíntotas horizontales según el grado 3 pasos
Halla la asíntota horizontal, si existe, de (a) (3x + 1)/(x² + 1), (b) (6x² − x)/(2x² + 5), (c) x³/(x² + 1).
Mostrar solución
1. (a) El denominador tiene mayor grado.
  
  $\frac{3x+1}{x^{2}+1}=\frac{\frac{3}{x}+\frac{1}{x^{2}}}{1+\frac{1}{x^{2}}}\to0$
2. (b) Grados iguales: el cociente de los coeficientes principales.
  
  $\frac{6x^{2}-x}{2x^{2}+5}=\frac{6-\frac1x}{2+\frac{5}{x^{2}}}\to\frac62=3$
3. (c) El numerador tiene un grado más que el denominador: no hay asíntota horizontal, pero al dividir obtienes una oblicua.
  
  $\frac{x^{3}}{x^{2}+1}=x-\frac{x}{x^{2}+1}$
Respuesta

(a) y = 0, (b) y = 3, (c) ninguna: la curva se aproxima a y = x.

$y=0;\qquad y=3;\qquad y=x$
Una asíntota oblicua 3 pasos
Halla las asíntotas de f(x) = (x² + 3x + 1)/(x + 1).
Mostrar solución
1. El numerador tiene un grado más que el denominador. Divide.
  
  $x^{2}+3x+1=(x+1)(x+2)-1\ \Rightarrow\ f(x)=x+2-\frac{1}{x+1}$
2. El término del resto tiende a 0 a medida que x crece en cualquier sentido.
  
  $\frac{1}{x+1}\to0\quad(x\to\pm\infty)$
3. El denominador vale 0 en x = −1 y el numerador no (allí vale −1).
  
  $x+1=0\Rightarrow x=-1,\qquad(-1)^{2}+3(-1)+1=-1\ne0$
Respuesta

Vertical en x = −1; oblicua en y = x + 2.

$x=-1;\qquad y=x+2$
Corte con la asíntota horizontal 2 pasos
¿Corta f(x) = (x² − 2x)/(x² + 1) a su asíntota horizontal? Si es así, ¿en qué punto?
Mostrar solución
1. Los grados coinciden, luego la asíntota horizontal es y = 1.
  
  $\frac{x^{2}-2x}{x^{2}+1}\to\frac11=1$
2. Iguala f(x) = 1 y resuelve. Los términos en x² se cancelan y queda una ecuación lineal.
  
  $\frac{x^{2}-2x}{x^{2}+1}=1\iff x^{2}-2x=x^{2}+1\iff x=-\frac12$
Respuesta

Sí, una sola vez, en (−1/2, 1). La asíntota horizontal solo describe el comportamiento en los extremos.

$\left(-\tfrac12,\ 1\right)$
Una inecuación racional 3 pasos
Resuelve (x − 3)/(x + 1) > 0.

Abre este problema en la herramienta
Mostrar solución
1. El signo solo puede cambiar en el cero, 3, y en el polo, −1. Ambos dividen la recta en tres intervalos.
  
  $x<-1,\qquad-1<x<3,\qquad x>3$
2. Prueba un punto en cada uno.
  
  $\begin{aligned}&f(-2)=\frac{-5}{-1}=5>0\\&f(0)=\frac{-3}{1}=-3<0\\&f(4)=\frac15>0\end{aligned}$
3. x = 3 da 0, que no es mayor que 0, y x = −1 no pertenece al dominio.
  
  $f(3)=0\not>0,\qquad x=-1\notin\operatorname{dom}f$
Respuesta

x < −1 o x > 3

$x<-1\ \ \lor\ \ x>3$
Una función a partir de sus propiedades 2 pasos
Halla f(x) = k(x − z)/(x − p) con asíntota vertical x = 2, asíntota horizontal y = 3 y corte con el eje y en −3.

Abre este problema en la herramienta
Mostrar solución
1. La asíntota vertical te da p, y la horizontal te da k.
  
  $x=2\Rightarrow p=2;\qquad y=3\Rightarrow k=3$
2. El corte con el eje y determina z.
  
  $f(0)=\frac{3(0-z)}{0-2}=\frac{3z}{2}=-3\ \Rightarrow\ z=-2$
Respuesta

f(x) = 3(x + 2)/(x − 2)

$f(x)=\frac{3(x+2)}{x-2}$
La curva que alcanza su asíntota horizontal en y = 1 5 pasos
f(x) = (x − 1)/(x + 2) tiene una asíntota horizontal en y = 1. Calcula si la curva llega a alcanzarla realmente en algún momento.

Abre este problema en la herramienta
Mostrar solución
1. El cero y el polo se leen directamente a partir de la forma factorizada: el numerador se anula en 1 y el denominador en −2.
  
  $f(x)=0\iff x=1;\qquad x+2=0\iff x=-2\ \text{(vertical asymptote)}$
2. Para valores grandes de |x|, tanto el numerador como el denominador están dominados por sus términos en x, de modo que el cociente tiende a la razón de los coeficientes principales. Esa es la asíntota horizontal, que aquí vale 1.
  
  $\lim_{x\to\pm\infty}\frac{x-1}{x+2}=\frac{1}{1}=1\ \text{(horizontal asymptote)}$
3. Ahora planteamos la pregunta directamente en lugar de estimar a ojo sobre la gráfica: igualamos la función a su asíntota y resolvemos.
4. La variable x se cancela y se obtiene −1 = 2, lo cual es falso para todo x. Por tanto, la curva nunca toca y = 1: ni a gran distancia ni en ningún punto.
  
  $\frac{x-1}{x+2}=1\iff x-1=x+2\iff -1=2\quad\text{— no solution}$
5. La asíntota vertical se comporta justo al revés. Apenas a la derecha de −2, en −1,99, la función vale −299; a su izquierda, en −2,01, vale +301. No se aproxima a un mismo valor por ambos lados: diverge en sentidos opuestos.
  
  $f(-1.99)=-299,\qquad f(-2.01)=+301$
Respuesta

La herramienta muestra un punto de corte con el eje x en 1, una asíntota vertical en −2 y una horizontal en 1. La conclusión con la que conviene quedarse es que una asíntota horizontal no es una barrera: esta curva en concreto no la alcanza nunca, pero eso es una propiedad de esta función y no una regla general. Si se cambia el numerador por x − 1 + algo que se anule, la curva puede cruzar su asíntota horizontal libremente, incluso de forma reiterada. Las asíntotas verticales sí son estrictas: la función no está definida en ellas, por lo que nunca se pueden cruzar. Confundir ambas es el error más común en este tema, y una sola línea de álgebra lo resuelve siempre.

$\text{the curve approaches}\ y=1\ \text{and never reaches it};\ \text{the pole flips sign}$

Problemas complementarios, solo con la respuesta

Halla los cortes con los ejes y las asíntotas de f(x) = (3x − 6)/(x + 2).

Mostrar respuesta

Corte con el eje x en 2, corte con el eje y en −3; asíntotas x = −2 e y = 3

$x=2,\ \ y=-3;\qquad x=-2,\ \ y=3$
Halla el agujero y las asíntotas de f(x) = (x² + x − 6)/(x² − 9).

Mostrar respuesta

Agujero en (−3, 5/6); asíntotas x = 3 e y = 1

$\left(-3,\tfrac56\right);\qquad x=3,\ \ y=1$
Halla la asíntota oblicua de f(x) = (2x² + x − 1)/(x − 1).

Mostrar respuesta

y = 2x + 3

$y=2x+3$
Resuelve (x + 2)/(x − 1) ≤ 0.

Mostrar respuesta

−2 ≤ x < 1

$-2\le x<1$
Halla la asíntota horizontal de f(x) = (4x³ − x)/(2x³ + 7).

Mostrar respuesta

y = 2

$y=2$

Ruta de aprendizaje

Más allá de la cuadrática

Referencias (2)

Why k(x−z)/(x−p) is a Möbius map, and why circles and lines are the only shapes it produces: T. Needham, Visual Complex Analysis, Chapter 3: Möbius Transformations and Inversion. Oxford University Press, 1997.
The asymptotes as ordinary behaviour at a point, once infinity is a point: L. V. Ahlfors, Complex Analysis, 3rd edition. McGraw-Hill, 1979 — rational functions on the extended plane.

Por el equipo de 7 Raven Room · Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones.