Simulador de energía de la montaña rusa

Arrastra el control de posición a lo largo de la vía. La conservación de la energía determina la velocidad en cada punto.

Sin rozamiento: la energía por kilogramo se conserva	$\tfrac12v^{2}+gh=\tfrac12v_0^{2}+gh_0\ \Rightarrow\ v=\sqrt{v_0^{2}+2g(h_0-h)}$
Con rozamiento, donde d es la distancia horizontal recorrida	$\tfrac12v^{2}+gh=\tfrac12v_0^{2}+gh_0-\mu g\,d$

Ejemplo resuelto — Simulador de energía de la montaña rusa

Distancia recorrida	0 m
Altura	5 m
Energía inicial / masa	49,05 J/kg
Energía perdida (fricción)	0 J/kg
Velocidad	0 m/s
Energía cinética	0 J
Energía potencial	49,05 J
Comprobación de energía	49,05 J

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

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Lección

La teoría — Simulador de energía de la montaña rusa

En una pista sin rozamiento, la energía mecánica se conserva: la suma de la energía cinética y la potencial es la misma en cualquier punto. Esa sola frase fija la rapidez en cada punto del recorrido a partir únicamente de la altura inicial — sin necesidad de fuerzas, cronologías ni la forma de la colina.

Qué significa cada símbolo

h: la altura con respecto al nivel de referencia. El nivel que llames cero nunca cambia un resultado: a la fórmula solo llega el desnivel h₀ − h, así que mover la referencia mueve ambas alturas a la vez.
v: la rapidez, que el indicador obtiene a partir de la energía y no de ninguna fuerza.
KE: la energía cinética, ½mv².
PE: la energía potencial, mgh — 49.05 J al inicio, a partir de 1 × 9.81 × 5.
μ: el coeficiente de rozamiento. Si es mayor que cero, disipa μg julios por kilogramo por cada metro de distancia horizontal recorrido, sea cual sea la pendiente.

De dónde viene la fórmula

Sin rozamiento, la energía total no cambia. La suma de la cinética y la potencial vale lo mismo en cualquier punto del recorrido que al inicio.
$\tfrac12mv^{2}+mgh=\tfrac12mv_0^{2}+mgh_0$
La masa aparece en todos los términos: simplifícala. Desaparece de la ecuación, y ya no vuelve a hacer falta.
$\tfrac12v^{2}+gh=\tfrac12v_0^{2}+gh_0$
Despeja la velocidad. Solo interviene el descenso de altura, y el vagón solo puede existir donde la raíz cuadrada tenga solución real: jamás sube por encima de la cota que permite su energía inicial.
$v=\sqrt{v_0^{2}+2g(h_0-h)},\qquad h\le h_0+\frac{v_0^{2}}{2g}$
Rozamiento en un tramo recto con ángulo θ: la fuerza normal vale mg cos θ y la longitud de la pendiente es d/cos θ, por lo que el trabajo equivale a μmg por la distancia horizontal d. Réstalo de la energía antes de despejar la velocidad.
$W_f=\mu\,(mg\cos\theta)\,\frac{d}{\cos\theta}=\mu mg\,d\ \Rightarrow\ v=\sqrt{v_0^{2}+2g(h_0-h)-2\mu g\,d}$

Supone: Una masa puntual que desliza sobre una vía que guía su movimiento, sin rotación, sin resistencia del aire y con suficiente velocidad para no perder el contacto con los raíles. El rozamiento solo se calcula en los tramos rectos: se prescinde del empuje adicional que exige una curva al tomarla con velocidad, el cual incrementa la fuerza normal en las hondonadas. Tampoco se evalúa si el vagón llegaría a despegar de la vía al coronar un cambio de rasante.
Falla cuando: Vale más comprobar el paso 2 que aceptarlo a ciegas, y aquí puedes hacerlo. Pulsa Media tubería y arrastra la posición hasta el centro: la velocidad marca 9.9045 m/s. Cambia la masa de 1 kg a 500 kg y seguirá marcando 9.9045 m/s, aunque la energía cinética salte de 49.05 J a 24,525 J. Un vagón más pesado acumula mucha más energía, pero no avanza más rápido. El rozamiento tampoco altera esto: la pérdida por unidad de masa es μgd, donde la masa tampoco interviene.

Problemas resueltos al detalle

Un vagón de 1 kg soltado desde el reposo a 5 m en la pista 6 pasos
Un carrito de 1 kg soltado desde el reposo a 5 m en la vía 0,5; 2,3; 3,6; 5,1; 7,4; 9,2; 10,5. Halle dónde termina, y no es el extremo lejano.
1. Sin rozamiento, la energía total queda determinada por la altura de salida y nunca cambia. Un kilogramo y 5 metros es todo el dato inicial que tiene este problema.
  
  $E_0=mgh_0=1\times9.81\times5=49.05\ \mathrm{J},\qquad v_0=0$
2. Despejada la velocidad, la misma afirmación se convierte en una restricción: el carrito solo puede estar donde la raíz cuadrada sea real. Esa es toda la solución, antes de dibujar vía alguna.
  
  $\tfrac{1}{2}mv^{2}=mg(h_0-h)\ \Longrightarrow\ v=\sqrt{2g(h_0-h)},\quad\text{real only where }h\le h_0$
3. Examine la vía en busca de su máximo. La cima se sitúa por encima del punto de salida, lo que resuelve la cuestión; y observe que la bajada a 1 m más allá de ella no interviene en el argumento.
  
  $\text{track max}=6\ \mathrm{m}>h_0=5\ \mathrm{m}\quad\Longrightarrow\quad\text{the hill at }x=3\text{ is unreachable}$
4. Halle el punto de retorno con exactitud. Se encuentra en la subida de (2,3) a (3,6), donde el tramo recto vuelve a cruzar la altura de salida.
  
  $(2,3)\to(3,6):\ y=5\ \text{at}\ x=2+\tfrac{5-3}{6-3}=2.667$
5. El control de posición mide la distancia recorrida a lo largo de la pista; conviene conocer la longitud total. Seis tramos, seis aplicaciones de Pitágoras.
  
  $s=\sum\sqrt{\Delta x^{2}+\Delta y^{2}}=2.828+3.162+5.385+3.606+2.828+3.162=20.972\ \mathrm{m}$
6. Dos velocidades cierran el problema: la máxima a la que realmente va el carrito en su breve excursión y la velocidad de lanzamiento que desbloquearía el resto del recorrido.
  
  $v_{\max}=\sqrt{2g(5-3)}=6.26\ \mathrm{m/s};\qquad v_0\ \text{needed}=\sqrt{2g(6-5)}=4.43\ \mathrm{m/s}$
Respuesta

Da la vuelta en x = 2,667 m y nunca llega a ver el resto de la pista. La colina situada en x = 3 alcanza 6 m, y el coche parte desde 5 m, así que no tiene energía suficiente para superarla. En todas las posiciones posteriores, el indicador muestra detenido: la herramienta confirma el resultado, no está fallando. Lo interesante es que puedes obtener la respuesta sin recurrir a ninguna simulación. La conservación de la energía convierte una ecuación diferencial en una desigualdad, h ≤ h₀, y hace irrelevante la forma de la pista entre el punto de partida y el obstáculo. Dale al coche una velocidad de 4,43 m/s en la cima y tendrá acceso a los 20,972 m completos, incluido el paso por la hondonada en x = 5 a 9,90 m/s. Por debajo de esa velocidad, no puede alcanzar ningún punto de ese tramo.

$h_{\text{track}}=6>h_0=5\ \Longrightarrow\ \text{it stops at }x=2.667,\ \text{never reaching the drop}$
Velocidad en el fondo del semitubo 4 pasos
Se suelta desde el reposo un carro de 250 kg en el borde a 5 m de altura de una pista en semitubo. Sin rozamiento, ¿a qué velocidad cruza el fondo llano, cuánta energía cinética tiene allí y qué velocidad lleva cuando sube 2 m por el lado opuesto?

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1. Energía al inicio y en el fondo, tomando este último como origen de alturas:
  
  $E_0=mgh_0=250(9{.}81)(5)=12\,262{.}5\ \mathrm{J},\qquad E_{\mathrm{bottom}}=\tfrac12mv^{2}$
2. La masa se simplifica; la velocidad depende únicamente de la caída:
  
  $\tfrac12mv^{2}=mgh_0\ \Rightarrow\ v=\sqrt{2gh_0}=\sqrt{2(9{.}81)(5)}=9{.}9045\ \mathrm{m/s}$
3. Para la energía cinética sí hace falta la masa:
  
  $E_k=\tfrac12(250)(9{.}9045)^{2}=12\,263\ \mathrm{J}$
4. Al subir 2 m por el lado opuesto, el desnivel respecto al inicio es de solo 3 m:
  
  $v=\sqrt{2g(h_0-h)}=\sqrt{2(9{.}81)(5-2)}=7{.}672\ \mathrm{m/s}$
Respuesta

9,9045 m/s en el fondo, con 12.263 J de energía cinética, y 7,672 m/s al subir 2 m por el lado opuesto. Como el fondo es plano, el carro lo recorre entero a esos mismos 9,9045 m/s.

$v_{\mathrm{bottom}}=9{.}9045\ \mathrm{m/s},\quad E_k=12\,263\ \mathrm{J},\quad v(2\ \mathrm{m})=7{.}672\ \mathrm{m/s}$
Velocidad mínima de lanzamiento para superar la loma 3 pasos
En la pista Clásica, el carro parte de 5 m y la loma en x = 3 tiene 6 m de altura. Sin rozamiento, ¿cuál es la velocidad mínima de lanzamiento para superar la loma y qué velocidad lleva después en la hondonada de 1 m en x = 5?

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1. En la cima, el carro puede llegar con la velocidad justa. Balance de energía entre la salida y la cima:
  
  $\tfrac12v_0^{2}+gh_0=\tfrac12v_{\mathrm{top}}^{2}+gh_{\mathrm{top}},\qquad v_{\mathrm{top}}\ge0$
2. Despeja la velocidad de lanzamiento:
  
  $v_0=\sqrt{2g(h_{\mathrm{top}}-h_0)}=\sqrt{2(9{.}81)(6-5)}=\sqrt{19{.}62}=4{.}4294\ \mathrm{m/s}$
3. Energía entre la salida y la hondonada, situada 4 m por debajo del punto de partida:
  
  $v=\sqrt{v_0^{2}+2g(h_0-h)}=\sqrt{19{.}62+2(9{.}81)(5-1)}=\sqrt{98{.}1}=9{.}9045\ \mathrm{m/s}$
Respuesta

4,4294 m/s, y luego 9,9045 m/s en la hondonada. Es la velocidad propia de una caída de 5 m desde el reposo, ya que el lanzamiento aportó exactamente el 1 m de altura que exigía la loma.

$v_0=4{.}4294\ \mathrm{m/s},\qquad v_{\mathrm{dip}}=9{.}9045\ \mathrm{m/s}$
Una pista con rozamiento 3 pasos
Se suelta un carro de 1 kg desde el reposo a 5 m de altura en la pista con rozamiento, que termina a nivel del suelo 10 m más adelante. El coeficiente de rozamiento es 0,05. ¿A qué velocidad llega y cuánta energía ha absorbido el rozamiento?

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1. En cada tramo recto, el rozamiento disipa μmg por la distancia horizontal; a lo largo de toda la pista consume:
  
  $W_f=\mu mg\,d=0{.}05(1)(9{.}81)(10)=4{.}905\ \mathrm{J}$
2. La energía al inicio equivale a la energía final más el trabajo realizado contra el rozamiento:
  
  $mgh_0=\tfrac12mv^{2}+W_f\ \Rightarrow\ v=\sqrt{2gh_0-2\mu g\,d}=\sqrt{98{.}1-9{.}81}=9{.}3963\ \mathrm{m/s}$
3. Sin rozamiento, esa misma caída daría:
  
  $\mu=0:\quad v=\sqrt{2(9{.}81)(5)}=9{.}9045\ \mathrm{m/s}$
Respuesta

9,3963 m/s, con 4,905 J disipados por el rozamiento. Las dos hondonadas y la loma intermedia no alteran las pérdidas: una sola rampa recta de 10 m desde 5 m llegaría a esa misma velocidad.

$v=9{.}3963\ \mathrm{m/s},\qquad W_f=4{.}905\ \mathrm{J}$
¿Hasta qué altura sube por el lado opuesto? 3 pasos
El semitubo tiene un borde a 5 m de cota, una bajada de 2 m, 4 m de fondo plano y una subida de 2 m hasta el borde opuesto, situado a 5 m de altura. Si el carro parte del reposo con un coeficiente de rozamiento de 0,05, ¿hasta qué altura consigue subir por el otro lado?

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1. Supón que el carro se detiene a una altura h en la rampa opuesta. Como esa pendiente sube 5 m a lo largo de 2 m de avance horizontal, alcanzar h requiere recorrer 2h/5 de ella, y la distancia horizontal total desde el origen resulta ser:
  
  $d=2+4+\tfrac25h=6+0{.}4h$
2. La energía inicial iguala la energía potencial en el punto de parada más el trabajo contra el rozamiento:
  
  $gh_0=gh+\mu g\,(6+0{.}4h)$
3. Despeja h:
  
  $h=\frac{h_0-6\mu}{1+0{.}4\mu}=\frac{5-0{.}3}{1{.}02}=4{.}6078\ \mathrm{m}$
Respuesta

4,6078 m, quedándose a unos 0,39 m del borde. Después cae de regreso, y cada pasada por el fondo le cuesta más energía.

$h=4{.}6078\ \mathrm{m}$
El rizo: ¿a qué altura debe empezar? 3 pasos
Un carro desciende sin rozamiento desde el reposo por una rampa hacia un rizo circular vertical de 4,0 m de radio. ¿Desde qué altura debe partir para no despegarse de la pista en lo alto del rizo, y qué fuerza ejerce la vía sobre un ocupante de 70 kg en el fondo?
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1. En el punto más alto la pista solo puede empujar hacia abajo, de modo que la gravedad por sí sola debe aportar al menos la fuerza centrípeta:
  
  $mg\le\frac{mv_{\mathrm{top}}^{2}}{R}\ \Rightarrow\ v_{\mathrm{top}}^{2}\ge gR$
2. Energía entre la salida y lo alto del rizo, a una cota de 2R:
  
  $gh=\tfrac12v_{\mathrm{top}}^{2}+g(2R)\ \ge\ \tfrac12gR+2gR\ \Rightarrow\ h\ge\tfrac52R=10\ \mathrm{m}$
3. En el fondo, la velocidad proviene de la caída completa, y la pista debe soportar el peso más la fuerza centrípeta:
  
  $v_{\mathrm{bottom}}^{2}=2gh=5gR,\qquad N=mg+\frac{mv_{\mathrm{bottom}}^{2}}{R}=6mg=6(70)(9{.}81)=4120\ \mathrm{N}$
Respuesta

Al menos 10 m, dos veces y media el radio; y la pista empuja al ocupante con 4.120 N, seis veces su peso. Ese seis explica por qué los rizos reales no son circulares: una clotoide mantiene el radio reducido arriba, donde la velocidad es baja, y amplio en la base, donde es alta.

$h_{\min}=2{.}5R=10\ \mathrm{m},\qquad N_{\mathrm{bottom}}=6mg=4120\ \mathrm{N}$

Problemas complementarios, solo con la respuesta

Un carro de 600 kg que avanza a 2,0 m/s en lo alto de una caída de 30 m desciende por una pista sin rozamiento. ¿A qué velocidad se mueve al hallarse a 10 m del suelo?

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19,91 m/s.

$v=\sqrt{2{.}0^{2}+2(9{.}81)(30-10)}=\sqrt{396{.}4}=19{.}91\ \mathrm{m/s}$
Un trineo que se mueve a 8,0 m/s al pie de una rampa sin rozamiento asciende por ella. ¿Qué altura alcanza?

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3,262 m.

$h=\frac{v^{2}}{2g}=\frac{8{.}0^{2}}{2(9{.}81)}=3{.}262\ \mathrm{m}$
Se suelta un bloque desde el reposo a 3,0 m de altura en una rampa recta y continúa deslizándose por un suelo horizontal. Si el coeficiente de rozamiento vale 0,15 en todo el recorrido, ¿qué distancia horizontal recorre desde el punto de partida antes de detenerse?

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20 m, para cualquier rampa con inclinación suficiente para llegar a deslizarse (tan θ > 0,15, más de 8,53°): el rozamiento consume μg por cada metro de distancia horizontal, y 3,0/0,15 = 20. En una rampa más suave, el bloque ni se mueve.

$mgh=\mu mg\,d\ \Rightarrow\ d=\frac{h}{\mu}=\frac{3{.}0}{0{.}15}=20\ \mathrm{m}$
Un carro parte del reposo en lo alto de una caída de 45 m y recorre 60 m de distancia horizontal durante el descenso, con un coeficiente de rozamiento de 0,02. ¿A qué velocidad llega al fondo?

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29,315 m/s.

$v=\sqrt{2g(h-\mu d)}=\sqrt{2(9{.}81)(45-0{.}02\times60)}=29{.}315\ \mathrm{m/s}$
Un carro parte del reposo 12 m por encima de la base de un rizo circular sin rozamiento. ¿Cuál es el mayor radio de rizo que puede describir sin despegarse de la pista?

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4,8 m, porque la salida debe situarse al menos a 2,5 veces el radio por encima del fondo.

$h\ge\tfrac52R\ \Rightarrow\ R\le\frac{12}{2{.}5}=4{.}8\ \mathrm{m}$

El rozamiento cobra por la distancia horizontal, no por la vía

En una rampa recta con ángulo θ, la fuerza normal vale mg cos θ y la longitud de la pendiente es d/cos θ para una distancia horizontal d. Ambos cosenos se cancelan, de modo que el rozamiento disipa μmgd sin importar el ángulo: una bajada en picado y una rampa suave pierden la misma energía al cubrir la misma distancia horizontal, mientras que una caída vertical no pierde nada. Con fricción desciende 5 m a lo largo de 10 m de vía horizontal pasando por dos hondonadas y una loma, pierde 4,905 J/kg y llega a 9,3963 m/s, exactamente lo mismo que proporcionaría una rampa recta desde 5 m hasta el suelo en esos mismos 10 m. La geometría solo vuelve a influir en las curvas, que esta pista no contempla: en una curva cóncava real, el vagón presiona con más fuerza contra los raíles y la pérdida supera lo que presupuesta la fórmula. El caso de Media tubería es el más tajante. Sin rozamiento, remonta hasta la altura de salida con lo justo; por eso la fricción más leve lo deja varado a mitad de subida en el lado opuesto: con μ = 0,05 se detiene a 4,6078 m.

La velocidad solo depende de la altura

En una vía sin rozamiento, la velocidad del móvil en cualquier punto depende exclusivamente de cuánto ha descendido respecto a la salida; el trazado intermedio no influye en absoluto. Una caída casi vertical y una pendiente suave y prolongada hasta la misma profundidad proporcionan exactamente la misma velocidad. Por eso la bola jamás puede subir más arriba de donde partió: necesitaría una energía que no tiene. Si introduces rozamiento, cada metro de distancia horizontal va disipando energía en forma de calor.

Los rizos reales no son circulares

Un rizo de montaña rusa parece redondo, pero casi nunca lo es: es una clotoide con forma de lágrima, una curva cuyo radio se estrecha hacia arriba. Un rizo perfectamente circular, lo bastante rápido para no despegarse en la cima, aplastaría a los pasajeros abajo con fuerzas g brutales. El ingeniero alemán Werner Stengel introdujo el rizo de clotoide en 1976: radio pequeño arriba (poca velocidad necesaria) y radio suave abajo. La misma conservación de la energía, geometría más inteligente.

Práctica

Compruébalo tú mismo

Predice la respuesta primero y luego usa los controles de arriba para comprobarlo. Revela la solución solo cuando te hayas comprometido con una hipótesis: eso es lo que lo convierte en práctica.

Pulsa Media tubería, arrastra la posición hasta el centro del fondo plano y observa la velocidad. Ahora cambia la masa de 1 kg a 500 kg. Intenta predecir la velocidad antes de mirar.

Mostrar la respuesta

Sigue marcando 9.9045 m/s. Todos los términos de la ecuación de la energía llevan el factor m, de modo que se simplifica y la rapidez solo depende de la altura descendida. La energía cinética sí cambia, de 49.05 J a 24,525 J: un vagón más pesado transporta mucha más energía, pero no viaja más rápido.
Al inicio, el marcador muestra una energía potencial de 49.05 J y una energía cinética de 0 J. ¿En qué punto alcanza el vagón su máxima velocidad en esta pista y cuánto vale entonces la energía total?

Mostrar la respuesta

En el punto más bajo al que realmente llega: a 3 m de altura, en x = 2, donde se mueve a 6.2642 m/s. La hondonada de 1 m en x = 5 está más abajo, pero queda tras la loma de 6 m que el vagón no puede superar. La energía total allí sigue siendo 49.05 J, de los cuales 19.62 J son cinéticos.
Aumenta el coeficiente de rozamiento por encima de cero. ¿Depende la energía perdida de la distancia recorrida a lo largo de la pista o de algún otro factor?

Mostrar la respuesta

De la distancia horizontal que ha recorrido. En una rampa, la fuerza normal disminuye según cos θ mientras que la longitud crece en 1/cos θ, por lo que el cálculo aplica μgd midiendo d en horizontal, no sobre la vía. Un tramo vertical no cuesta nada; uno horizontal es el que más disipa por metro de carril. La pérdida tampoco depende de la masa, así que el rozamiento tampoco altera la respuesta anterior.

Ruta de aprendizaje

Energía en lugar de fuerzas

Referencias (1)

Why real loops are not circles, and what that does to the forces at the top: A.-M. Pendrill, "Roller coaster loop shapes revisited." Physics Education 51(3), 030106, 2016.

Por el equipo de 7 Raven Room · Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones.