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Explorador de la Distribución de Poisson

Explora la distribución de Poisson: descubre cómo se distribuyen los eventos raros y cómo la binomial converge hacia la Poisson.

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Un solo número fija a la vez el centro y la dispersión

Poisson tiene un único parámetro, así que su media y su varianza son el mismo número. No puedes ensanchar la distribución sin desplazarla también a la derecha: no hay mando de anchura, y la herramienta no ofrece ninguno porque las matemáticas tampoco lo tienen. Carga el ejemplo «raro» con λ = 0,5 y la desviación típica es √0,5 = 0,707, con la moda clavada en cero; carga «normal» con λ = 10 y vale √10 = 3,162, y la forma se ha vuelto casi simétrica, porque la asimetría es exactamente 1/√λ. Esa rigidez sirve además de diagnóstico: unos datos de recuento reales cuya varianza supere con holgura a su media están sobredispersos, y te están diciendo que Poisson es el modelo equivocado, no uno mal ajustado.

Muchas probabilidades diminutas forman una curva limpia

Imagina un número enorme de oportunidades independientes, cada una muy improbable por sí sola: erratas en una página, rayos que caen en una comarca, defectos en una cadena de producción. Lanza una moneda n veces, con probabilidad de éxito p; haz que n crezca mientras p disminuye, de modo que n × p = λ permanezca fijo, y la distribución binomial se transformará gradualmente en una distribución de Poisson. Activa aquí la superposición, aumenta n y observa cómo las barras irregulares de la binomial se ajustan a la curva de Poisson. Muchos intentos, cada uno con una probabilidad ínfima: justo ahí resulta útil la aproximación de Poisson.

Muertes por coz de caballo y la ley de los pequeños números

En 1898, el estadístico Ladislaus Bortkiewicz estudió las muertes causadas por coces de caballo en 10 cuerpos del ejército prusiano a lo largo de 20 años. Los recuentos anuales, casi siempre 0, a veces 1 o 2 y rara vez más, se ajustaban casi a la perfección a una distribución de Poisson con λ ≈ 0.61. Bortkiewicz llamó a este patrón la ley de los números pequeños. Poisson había obtenido la distribución sesenta años antes, en un libro sobre la probabilidad de los veredictos judiciales; Bortkiewicz mostró que esa misma aritmética regía los accidentes insólitos. Once años después, Erlang la aplicaría al tráfico telefónico.

Problema resuelto al detalle

  1. Un proceso con una media de 3 eventos por intervalo y que obtiene exactamente 3 5 pasos

    Un proceso promedia 3 sucesos por intervalo. Calcule con qué frecuencia se obtienen al menos 3, y después con qué frecuencia se obtienen exactamente 3. Las dos respuestas están más distantes de lo que la mayoría espera, y la segunda explica por qué los promedios engañan.

    1. La probabilidad de Poisson de k sucesos es λᵏe^(−λ)/k!. Todo en esta página se deduce de esa única expresión y del único parámetro λ.

      P(X=k)=λke−λk!,λ=3P(X=k)=\frac{\lambda^{k}e^{-\lambda}}{k!},\qquad \lambda=3

    2. Calcule los tres casos más pequeños. e^(−3) = 0,049787 es la probabilidad de un intervalo completamente vacío, y no es despreciable: uno de cada veinte intervalos no registra nada en absoluto, en un proceso que promedia tres.

      P(0)=e−3=0.049787,P(1)=3e−3=0.149361,P(2)=4.5e−3=0.224042P(0)=e^{-3}=0.049787,\quad P(1)=3e^{-3}=0.149361,\quad P(2)=4.5e^{-3}=0.224042

    3. Al menos 3 es el complementario de a lo sumo 2, por lo que se suman las tres probabilidades recién calculadas y se restan de 1.

      P(X≥3)=1−(0.049787+0.149361+0.224042)=1−0.423190=0.576810P(X\ge3)=1-(0.049787+0.149361+0.224042)=1-0.423190=0.576810

    4. Exactamente 3 — la media, la moda, el recuento individual más probable — ocurre el 22,4% de las veces. Cuatro de cada cinco veces se obtiene otra cosa.

      P(X=3)=276e−3=0.224042=22.4%P(X=3)=\frac{27}{6}e^{-3}=0.224042=22.4\%

    5. No hay control de anchura en esta herramienta porque las matemáticas no tienen un parámetro de anchura: la media y la varianza son el mismo número. Si se fija la tasa, la dispersión ya queda determinada, en σ = √3 = 1,732.

      μ=σ2=λ=3⟹σ=3=1.732\mu=\sigma^2=\lambda=3\quad\Longrightarrow\quad \sigma=\sqrt{3}=1.732

    Respuesta

    La herramienta muestra 57,681 % para al menos 3, con media y varianza iguales a 3. Fija k = 3: la probabilidad de obtener exactamente 3 es del 22,4 %. Quédate con ambos resultados: «la media es 3» no significa «lo habitual es 3». La distribución está centrada en 3, pero más de tres cuartas partes de las veces toma otro valor y una de cada veinte se queda en cero. En una planta hospitalaria con una media de tres ingresos por hora, una de cada veinte horas transcurre sin ingreso alguno; las horas con cinco ingresos son el doble de frecuentes. Organizar la plantilla según la media equivale a prepararla para un resultado que solo se da una de cada cinco veces.

    P(X≥3)=57.681%butP(X=3)=22.4%;μ=σ2=λP(X\ge3)=57.681\%\quad\text{but}\quad P(X=3)=22.4\%;\qquad \mu=\sigma^2=\lambda

Ruta de aprendizaje

De recuentos a curvas

Referencias (2)
  • The horse-kick data in the third block: L. von Bortkiewicz, Das Gesetz der kleinen Zahlen. B. G. Teubner, Leipzig, 1898.
  • The Poisson limit of the binomial, and why variance equals the mean: W. Feller, An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Volume 1, 3rd ed., ch. VI. Wiley, 1968. ISBN 978-0-471-25708-0.

· Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones.