← Astronoomia & Kosmos

Newtoni gravitatsiooni uurija

F = Gm₁m₂/r² — Newtoni universaalne gravitatsiooniseadus. Iga mass tõmbab ligi iga teist massi ning kauguse kahekordistamine vähendab jõu neljandikuni.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

pöördruudu seadus ja selle piirid

1/r² sõltuvus ei ole suvaline valik — see tuleneb geomeetriast. Gravitatsioon levib nagu valgus punktallikast: sama koguvoog läbib iga massi ümbritsevat kera, mistõttu intensiivsus kahaneb kui 1/(4πr²). Seepärast jagavad kõik väljad, mis levivad kolmes mõõtmes isotroopselt, sama 1/r² profiili. Seadus kehtib kõikjal, kus Newton seda katsetas — planeedid, pendlid, mõõnad-tõusud —, kuid murdub tugevate väljade režiimis. Merkuuri periheel nihkub 43 kaaresekundit sajandis rohkem, kui Newtoni gravitatsioon ennustab. Üldrelatiivsusteooria asendab hetkelise jõu aegruumi kõveruse mõistega: mass ütleb ruumile, kuidas kõverduda, ja kõverdunud ruum ütleb massile, kuidas liikuda. Enamiku inseneritööde ja Päikesesüsteemi arvutuste jaoks on Newtoni valem täpne parema kui ühe miljondikuni.

Tõmme mõjub mõlemat pidi

Valem F = G·m₁·m₂/r² kohtleb mõlemat massi võrdselt: jõud, millega Maa sind tõmbab, on täpselt sama suur kui jõud, millega sina Maad tõmbad — võrdne ja vastassuunaline, nagu nõuab Newtoni kolmas seadus. Sa ei lenda esemete poole, sest kiirendus on jõud jagatud massiga: Maa hiiglaslik mass vaevu liigutab. Konstant G ≈ 6.674 × 10⁻¹¹ on nii tilluke, et gravitatsioon muutub tuntavaks alles siis, kui vähemalt üks mass on astronoomiliselt suur.

Kaugelt kõige nõrgem jõud

Looduse neljast põhijõust on gravitatsioon kaugelt kõige nõrgem. Võrdle kaht prootonit: nende elektriline tõukejõud ületab gravitatsioonilise tõmbe umbes teguri 10³⁶ võrra. Just seepärast tõstab mündisuurune magnet kirjaklambri üles, trotsides kogu planeedi tõmmet. Gravitatsioon valitseb kosmost üksnes seetõttu, et mass — erinevalt elektrilaengust — ei kustu kunagi, vaid ainult liitub.

Ülesanne täielikult lahendatud

  1. Gravitatsioonijõu kontrollimine Kuu tegeliku orbiidi suhtes 5 sammu

    Arvuta Maa–Kuu gravitatsioonijõud, kontrolli seda Kuu tegeliku orbiidi suhtes — ja küsi seejärel, kas Maa on üldse Kuule mõjuv peamine tõmbejõud.

    1. Üks valem, kolm arvu ja ainus vajalik ettevaatus on ruut. Vahekaugused esinevad kaks korda ja massid ühe korra, mistõttu 1% viga r väärtuses läheb maksma 2%.

      F=Gm1m2r2=6.674×10−11×5.97×1024×7.34×1022(3.844×108)2F=\frac{Gm_1m_2}{r^{2}}=\frac{6.674\times10^{-11}\times5.97\times10^{24}\times7.34\times10^{22}}{(3.844\times10^{8})^{2}}

    2. Korruta lugeja, võta nimetaja ruutu, jaga. Tööriist väljastab selle arvu ja midagi muud lehel ei mõõdeta.

      numerator=2.925×1037,r2=1.478×1017⟹F=1.979×1020 N\text{numerator}=2.925\times10^{37},\qquad r^{2}=1.478\times10^{17}\quad\Longrightarrow\quad F=1.979\times10^{20}\ \mathrm{N}

    3. Jõud ei ole kontrolli alus — kiirendus on, sest seda orbiit näitabki. Jaga Kuu massiga.

      aMoon=Fm2=1.979×10207.34×1022=2.696×10−3 m/s2a_{\text{Moon}}=\frac{F}{m_2}=\frac{1.979\times10^{20}}{7.34\times10^{22}}=2.696\times10^{-3}\ \mathrm{m/s^{2}}

    4. Nüüd leia sama kiirendus orbiidilt endast: Kuu läbib vahemaa 2πr 27,32 päevaga ning ringorbiit vajab v²/r. 1% erinevus on reaalne ja tuleneb sellest, et ka Maa liigub — mõlemad kehad tiirlevad ümber oma ühise keskpunkti.

      v=2πrT=2π(3.844×108)2.361×106=1023 m/s,v2r=2.722×10−3 m/s2v=\frac{2\pi r}{T}=\frac{2\pi(3.844\times10^{8})}{2.361\times10^{6}}=1023\ \mathrm{m/s},\qquad \frac{v^{2}}{r}=2.722\times10^{-3}\ \mathrm{m/s^{2}}

    5. Lõpuks rakenda sama seadust Päikese korral Maa asemel. Masside suhe ja vahekauguste suhe võitlevad omavahel ning masside suhe võidab.

      F⊙-MoonF⊕-Moon=M⊙m1(rd⊙)2=1.989×10305.97×1024(3.844×1081.496×1011)2=2.2\frac{F_{\odot\text{-Moon}}}{F_{\oplus\text{-Moon}}}=\frac{M_\odot}{m_1}\left(\frac{r}{d_\odot}\right)^{2}=\frac{1.989\times10^{30}}{5.97\times10^{24}}\left(\frac{3.844\times10^{8}}{1.496\times10^{11}}\right)^{2}=2.2

    Vastus

    1,98 × 10²⁰ N ja ei: Päike tõmbab Kuud 2,2 korda tugevamini. See suhe on fakt vaid masside ja vahekauguste kohta — Päike on 333 000 korda raskem ja 389 korda kaugemal ning 333 000 / 389² = 2,2 — seega kehtib see sõltumata sellest, mida orbiidiks peetakse. Tagajärg on tõeliselt kummaline: Kuu teekond ümber Päikese on igal pool Päikese poole nõgus. See ei tee kunagi silmust tagasi. Maa ei hoia Kuud Päikese vastu vangis, vaid häirib Päikese-orbiiti, mida nad mõlemad juba jagavad, mistõttu kirjeldatakse Kuu orbiiti Maa suhtes kokkuleppeliselt, mitte paratamatuse tõttu.

    F=Gm1m2r2=1.979×1020 N;the Sun pulls the Moon 2.2× harderF=\frac{Gm_1m_2}{r^{2}}=1.979\times10^{20}\ \mathrm{N};\qquad \text{the Sun pulls the Moon }2.2\times\text{ harder}
Allikad (1)
  • The law this tool evaluates, and the third-law pairing block 2 turns on: I. Newton, Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica, Book III, Proposition VII. London, 1687.

· Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud.