← Astronoomia & Kosmos

Mõjusfääri kalkulaator

Arvuta patched-conic mõjusfäär (SOI) orbiidi kauguse ja massisuhte põhjal ning võrdle seda Hilli sfääri mõõtkavaga.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

miks mõjusfäär ei ole Hilli sfäär — ja mida kosmoseaparaadid tegelikult kasutavad

Tegu on kahe erineva küsimusega ja kahe erineva raadiusega. Hilli sfäär küsib: kus saab kuu stabiilselt tiirelda? See tuleneb tõusujõududest — tasakaalust planeedi enda gravitatsiooni ja Päikese tõusujõu vahel — andes rH = a(m₂/3m₁)1/3. Laplace'i mõjusfäär esitab kitsama küsimuse: kus on hea lähendus teeselda, et eksisteerib ainult planeedi gravitatsioon (Päike ignoreeritakse)? See tasakaal annab rSOI = a(m₂/m₁)2/5. Mõjusfäär on alati väiksem kui Hilli sfäär — Maa jaoks on Hill ≈ 1,5 miljonit km, kuid mõjusfäär ≈ 925 000 km; Jupiteri jaoks on Hill ≈ 53 miljonit km, kuid mõjusfäär ≈ 48 miljonit km. Suhe ei ole siiski konstant: see skaleerub kui (m/M)−1/15 ja ulatub Jupiteri 1,10-st Merkuuri 1,96-ni — mida raskem planeet, seda lähemal on tema mõjusfäär Hilli sfäärile. Missioonide kavandajad kasutavad mõjusfääri piiri üleminekupunktina patched-conic trajektooridele: mõjusfääri sees integreeritakse Maa-kesksena, väljaspool lülitutakse heliotsentrilisele süsteemile. See ei ole füüsikaliselt täpne — teravat piiri pole olemas —, kuid viga on esialgse missioonikavandamise jaoks piisavalt väike. Tegeliku navigatsiooni jaoks vajaliku täieliku täpsuse annab alati n-keha simulatsioon.

gravitatsiooni koduväli, lihtsalt

Mõjusfäär on nähtamatu mull planeedi või kuu ümber, kus tema gravitatsioon sisuliselt "juhib". Piiri seespool võib Päikese julgelt unustada; rada kujundab üksnes planeet. Just seepärast on ka Kuul oma väike mõjusfäär, raadiusega umbes 66,000 km. Apollo missioonide ajal vahetati trajektooriarvutustes just sellel piiril Maa-keskne taustsüsteem Kuu-keskse vastu.

miks kaugus võidab massi

Vaata tähelepanelikult valemit r = a(m₂/m₁)2/5: kaugus a siseneb lineaarselt, mass aga vaid astmes 2/5. Päikesest kaugel olemine loeb seega palju rohkem kui suur mass. Pluuto on umbes 25 korda väiksema massiga kui Merkuur, ent tema mõjusfäär (~3 miljonit km) ületab kaugelt Merkuuri oma (~112,000 km) — lihtsalt seetõttu, et Pluuto tiirleb umbes 100 korda kaugemal.

Ülesanne täielikult lahendatud

  1. Kaks standardvastust, kus Maa gravitatsioon lakkab võitmast 5 sammu

    Kustmaalt ei jää Maa gravitatsioon Päikese omaga võrreldes enam peale? On kaks standardset vastust, need erinevad 62% võrra ja mõlemad on õiged. Arvutage mõlemad ning tehke kindlaks, mis neid eristab.

    1. Kõik sõltub ühest arvust, masside suhtest, ja see on väike: Maa on umbes kolmesajatuhandik Päikesest.

      q=mM=1332 946=3.00×10−6q=\frac{m}{M}=\frac{1}{332\,946}=3.00\times10^{-6}

    2. Esimene vastus on liidetud koonuselõigete mõjukera ja selle astendaja on 2/5. See märgib piiri, kus arvutuste üleviimine heliotsentriliselt taustsüsteemilt geotsentrilisele tekitab kõige väiksema vea — see on väide ligikaudistuse kvaliteedi, mitte jõu kohta.

      rSOI=a q2/5=1×(3.00×10−6)0.4=0.006181 AUr_{\text{SOI}}=a\,q^{2/5}=1\times(3.00\times10^{-6})^{0.4}=0.006181\ \mathrm{AU}

    3. Teine on Hilli raadius, mille astendaja on 1/3. See märgib piiri, kus väike kolmas keha saab jääda orbiidile määramatuks ajaks — see on väide stabiilsuse kohta pöörlevas taustsüsteemis, kus tsentrifugaalliikmed on olulised.

      rH=aq33=1.001×10−63=0.01000 AUr_H=a\sqrt[3]{\frac{q}{3}}=\sqrt[3]{1.001\times10^{-6}}=0.01000\ \mathrm{AU}

    4. Just need kaks astendajat põhjustavadki vastuste erinevuse ning 1,619 on nende suhe.

      rHrSOI=0.010000.006181=1.619\frac{r_H}{r_{\text{SOI}}}=\frac{0.01000}{0.006181}=1.619

    5. Kuu lahendab praktilise küsimuse: 384 400 km kaugusel asub see mõjukera 42% kohal, kindlalt mõlema sees, mispärast ongi see Maa kuu, mitte teine planeet.

      rMoon=3.844×105 km=0.416 rSOIr_{\text{Moon}}=3.844\times10^{5}\ \mathrm{km}=0.416\,r_{\text{SOI}}

    Vastus

    Tööriist kuvab mõjukera väärtuseks 0,006181 AU, Hilli raadiuseks 0,01000 AU ja nende suhteks 1,619. Tuum seisneb selles, et kumbki ei ole see piir — need vastavad erinevatele küsimustele ja vale väärtuse kasutamine on tõeline navigatsiooniviga. Taustsüsteeme vahetav missiooni planeerija vajab väärtust 2/5; see, kes küsib, kas haaratud asteroid jääb tiirlema, vajab väärtust 1/3. Nende kahe raadiuse vahele jäävad objektid on ebamugavas vahealas: piisavalt seotud, et mõnda aega tiirelda, kuid mitte piisavalt, et jääda. Umbes seal asuvadki kauged ebaregulaarsed kaaslased ja seetõttu ongi neid nii kerge kaotada.

    rSOI=aq2/5 ≠ rH=aq/33:1.619× apartr_{\text{SOI}}=aq^{2/5}\ \ne\ r_H=a\sqrt[3]{q/3}:\quad 1.619\times\ \text{apart}
Allikad (1)
  • The patched-conic method that makes the SOI boundary useful, and its limits: R. R. Bate, D. D. Mueller and J. E. White, Fundamentals of Astrodynamics, §7.4. Dover, 1971. ISBN 978-0-486-60061-1.

· Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud.