Ahelreegel

Liitfunktsioon on lülidest koosnev ahel, kus iga lüli venitab väikest muutu omaenda kiirusega. Koosta ahel ja vali x: arvteljed kannavad vahemiku sellest läbi, venimised korrutuvad ning vahemiku kahanedes läheneb iga venimistegur vastava lüli tuletisele, kui mõni lüli seda just päris lamedaks ei suru. Seejärel kirjuta dy/dx juba ise.

Ahelreegel	$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}$
Funktsioonitähistuses	$\bigl(f(g(x))\bigr)'=f'\bigl(g(x)\bigr)\cdot g'(x)$

Näidisarvutus — Ahelreegel

Sisemine väärtus	4
Väljund	−0,7568
Sisemine kiirus kohal x	4
Välimine kiirus kohal u	−0,6536
Kogu ahela tõus	−2,6146
Sama tõus otse y kaudu	−2,6146
Seejärel sisemine lüli x järgi.	2x

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Õppetund

Teooria — Ahelreegel

Kui u = g(x) ja y = f(u), on kogu ahela muutumiskiirus lülide kiiruste korrutis, dy/dx = f′(g(x))·g′(x). Iga kiirust hinnatakse seal, kus vastav lüli parajasti töötab – välimist kiirust seega kohal u = g(x), mitte x juures. Pikem ahel lisab korrutisse iga järgmise lüliga veel ühe kiiruse.

Mida iga sümbol tähendab

u: väärtus, mille sisemine lüli edasi annab, u = g(x)
w: kolmelülilises ahelas väärtus, mille keskmine lüli edasi annab

Kust valem tuleb

Jaotame muutuse lülideks. Nihutame x-i edasi suuruse Δx võrra. Sisemine lüli nihutab muutujat u suuruse Δu ja välimine muutujat y suuruse Δy võrra. Kuni Δu pole 0, jaguneb kogu ahela suhe kahe lüli suhete korrutiseks. Lehel väljendub see ribade venituste korrutumises.
$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{\Delta y}{\Delta u}\cdot\frac{\Delta u}{\Delta x}\qquad(\Delta u\neq0)$
Laseme suurusel Δx kahaneda. Kuna g on kohal x pidev, kahaneb ka Δu. Sisemine suhe läheneb väärtusele g′(x) ja välimine tuletisele f′ kohal, kus välimine lüli töötab: u = g(x). Korrutise piirväärtus on piirväärtuste korrutis.
$\frac{\Delta u}{\Delta x}\to g'(x),\qquad\frac{\Delta y}{\Delta u}\to f'(u)=f'\bigl(g(x)\bigr)\quad\Rightarrow\quad\frac{dy}{dx}=f'\bigl(g(x)\bigr)\,g'(x)$
Juhtum, mida see jaotus varjab. Kui Δu on mõne väikese Δx korral 0, tekib esimesel real nulliga jagamine. Täpne tõestus annab välimisele suhtele väärtuse f′(u) alati, kui Δu = 0. Sel juhul kehtib korrutis iga Δx korral ning piirväärtus jääb samaks.

Eeldab: Igal lülil on tuletis kohal, kus see töötab. Kui mõnel lülil see puudub, nagu funktsioonil √u kohal 0, ei ütle reegel midagi ja leht kuvab ahela seal määramatuna.

Ülesanded täielikult lahendatud

Lineaaravaldise aste 3 sammu
Diferentseeri y = (3x + 1)⁴ ning leia tõus kohal x = 0.

Ava see ülesanne tööriistas
1. Määra lülid ja nende tuletised. Sisemine lüli on lineaarne osa, välimine neljas aste:
  
  $u=3x+1,\quad\frac{du}{dx}=3;\qquad y=u^{4},\quad\frac{dy}{du}=4u^{3}$
2. Korruta, alustades välimise lüli tuletisest, ning kirjuta tulemus nagu eksamil kombeks, konstant ees:
  
  $\frac{dy}{dx}=4(3x+1)^{3}\cdot3=12(3x+1)^{3}$
3. Kohal x = 0 on sisemise lüli väärtus 1:
  
  $x=0:\quad 12\cdot1^{3}=12$
Vastus

dy/dx = 12(3x + 1)³ ning 12 kohal x = 0. See 3 ongi samm, mis kipub ununema. Ainuüksi väline muutumiskiirus annaks 4(3x + 1)³ ehk vaid kolmandiku tegelikust tõusust. Lehel on need kaks muutumiskiirust 3 ja 4 ning nende korrutis 12.

$\frac{dy}{dx}=12(3x+1)^{3}$
Ruudu siinus 3 sammu
Diferentseeri y = sin(x²) ning leia tõus kohal x = 1.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Lülid ja nende tuletised:
  
  $u=x^{2},\quad\frac{du}{dx}=2x;\qquad y=\sin u,\quad\frac{dy}{du}=\cos u$
2. Korruta. Koosinus võetakse kohal u = x², kus välimine lüli töötab, mitte kohal x:
  
  $\frac{dy}{dx}=\cos\left(x^{2}\right)\cdot2x=2x\cos\left(x^{2}\right)$
3. Kohal x = 1:
  
  $x=1:\quad 2\cos1\approx1{.}0806$
Vastus

dy/dx = 2x cos(x²) ning 2 cos 1 ≈ 1,0806 kohal x = 1. Lehel kuvatakse välimise lüli tuletiseks 0,5403 ehk cos 1, sest u = x² on selles punktis 1.

$\frac{dy}{dx}=2x\cos\left(x^{2}\right)$
Kus e^(−x²) on rõhtne 3 sammu
Diferentseeri y = e^(−x²), leia, kus tõus on null, ning määra tõus kohal x = 1.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Lülid ja nende tuletised. e aste on iseenda tuletis:
  
  $u=-x^{2},\quad\frac{du}{dx}=-2x;\qquad y=e^{u},\quad\frac{dy}{du}=e^{u}$
2. Korruta:
  
  $\frac{dy}{dx}=e^{-x^{2}}\cdot(-2x)=-2x\,e^{-x^{2}}$
3. Eksponentfunktsioon ei ole kunagi null, seega saab nulliks muutuda vaid tegur −2x:
  
  $e^{-x^{2}}>0\ \Rightarrow\ \frac{dy}{dx}=0\iff x=0;\qquad x=1:\ -\frac{2}{e}\approx-0{.}7358$
Vastus

dy/dx = −2x e^(−x²): rõhtne vaid kohal x = 0 ning −2/e ≈ −0,7358 kohal x = 1. Arvust 0 vasakul on tõus positiivne ja paremal negatiivne, seega on x = 0 kõvera haripunkt.

$\frac{dy}{dx}=-2x\,e^{-x^{2}}$
Summa logaritm 3 sammu
Diferentseeri y = ln(x² + 1) ning leia tõus kohal x = 1.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Lülid ja nende tuletised:
  
  $u=x^{2}+1,\quad\frac{du}{dx}=2x;\qquad y=\ln u,\quad\frac{dy}{du}=\frac{1}{u}$
2. Korruta:
  
  $\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x^{2}+1}\cdot2x=\frac{2x}{x^{2}+1}$
3. Kohal x = 1 on sisemise lüli väärtus 2:
  
  $x=1:\quad\frac{2}{2}=1$
Vastus

dy/dx = 2x/(x² + 1) ning kohal x = 1 on tõus täpselt 1. Leht näitab välise lüli tuletiseks 0,5, mis on 1/u kohal u = 2.

$\frac{dy}{dx}=\frac{2x}{x^{2}+1}$
Negatiivne aste 3 sammu
Diferentseeri y = 1/(2x − 1)³ ning leia tõus kohal x = 1.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Kirjuta see esmalt astmena; seejärel leiad lülid ja nende tuletised nagu varemgi:
  
  $y=(2x-1)^{-3}:\quad u=2x-1,\quad\frac{du}{dx}=2;\qquad y=u^{-3},\quad\frac{dy}{du}=-3u^{-4}$
2. Korruta ning vii negatiivne aste tagasi murruks:
  
  $\frac{dy}{dx}=-3(2x-1)^{-4}\cdot2=-\frac{6}{(2x-1)^{4}}$
3. Kohal x = 1 on sisemise lüli väärtus 1:
  
  $x=1:\quad-\frac{6}{1}=-6$
Vastus

dy/dx = −6/(2x − 1)⁴ ning kohal x = 1 on tõus −6. Astmena esitatult ei vaja konstantse lugejaga murd üldse jagatise tuletise reeglit.

$\frac{dy}{dx}=-\frac{6}{(2x-1)^{4}}$
Siinuse kuup 3 sammu
Diferentseeri y = sin³x ning leia tõus kohal x = π/4.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. sin³x on funktsiooni sin x kuup, seega on aste väline ja siinus sisemine lüli:
  
  $\sin^{3}x=(\sin x)^{3}:\quad u=\sin x,\quad\frac{du}{dx}=\cos x;\qquad y=u^{3},\quad\frac{dy}{du}=3u^{2}$
2. Korruta:
  
  $\frac{dy}{dx}=3\sin^{2}x\cos x$
3. Kohal π/4 on nii siinus kui ka koosinus √2/2:
  
  $x=\tfrac{\pi}{4}:\quad3\cdot\tfrac12\cdot\tfrac{\sqrt2}{2}=\tfrac{3\sqrt2}{4}\approx1{.}0607$
Vastus

dy/dx = 3 sin²x cos x ning kohal x = π/4 on tõus 3√2/4 ≈ 1,0607. Kui loed avaldist sin³x kujul sin(x³), saad teistsuguse ahela, kus lülid on vastupidises järjekorras.

$\frac{dy}{dx}=3\sin^{2}x\cos x$
Kolm lüli 3 sammu
Diferentseeri y = e^(sin(x²)) ning leia tõus kohal x = 1.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Kolm lüli, kolm tuletist, igaüks arvutatud kohal, kus vastav lüli toimib:
  
  $u=x^{2},\ \frac{du}{dx}=2x;\quad w=\sin u,\ \frac{dw}{du}=\cos u;\quad y=e^{w},\ \frac{dy}{dw}=e^{w}$
2. Korruta kõik kolm, alustades välimisest:
  
  $\frac{dy}{dx}=e^{\sin(x^{2})}\cdot\cos\left(x^{2}\right)\cdot2x$
3. Kohal x = 1:
  
  $x=1:\quad e^{\sin1}\cdot\cos1\cdot2\approx2{.}3198\cdot0{.}5403\cdot2\approx2{.}5068$
Vastus

dy/dx = 2x cos(x²) e^(sin(x²)) ning kohal x = 1 on tõus umbes 2,5068. Üks lisanduv lüli toob lihtsalt ühe teguri juurde; meetod ise ei muutu.

$\frac{dy}{dx}=2x\cos\left(x^{2}\right)e^{\sin(x^{2})}$
Liitfunktsioon korrutise sees 3 sammu
Diferentseeri y = x² sin(3x) ja leia tõus kohal x = π/6.
Näita lahendust
1. Kõigepealt on siin korrutis. Teine tegur on liitfunktsioon, mille tuletis toob välja sisefunktsiooni tuletise 3:
  
  $\begin{aligned}u&=x^{2},&u'&=2x\\v&=\sin(3x),&v'&=3\cos(3x)\end{aligned}$
2. Paneme tulemuse kokku korrutise reegliga:
  
  $y'=2x\sin(3x)+3x^{2}\cos(3x)$
3. Kohal π/6 on nurk 3x võrdne π/2-ga, kus siinus on 1 ja koosinus 0:
  
  $\begin{aligned}&x=\tfrac{\pi}{6}:\quad\sin\tfrac{\pi}{2}=1,\ \ \cos\tfrac{\pi}{2}=0\\&y'=2\cdot\tfrac{\pi}{6}=\tfrac{\pi}{3}\end{aligned}$
Vastus

y′ = 2x sin(3x) + 3x² cos(3x) ning tõus kohal π/6 on π/3 ≈ 1,0472. Kõige välimine tehe on korrutamine, mistõttu määrab lahenduskäigu raami korrutise reegel ja liitfunktsiooni reegel toimetab selle sees. Kui jätad teguri 3 välja, saad siin ikkagi sama tulemuse π/3, sest koosinuse liige on kohal π/6 null. Üheainsa punkti kontroll seda eksimust ei paljasta, seega tasub kontrollida veel teistki punkti.

$\begin{aligned}&y'=2x\sin(3x)+3x^{2}\cos(3x)\\&y'\!\left(\tfrac{\pi}{6}\right)=\tfrac{\pi}{3}\approx1{.}0472\end{aligned}$
Liitfunktsioon jagatise sees 3 sammu
Diferentseeri y = x/√(x² + 1) ja leia tõus kohal x = 1.
Näita lahendust
1. Jagatis, mille nimetajas on liitfunktsioon. Alustame selle tuletisest:
  
  $\begin{aligned}u&=x,\quad u'=1\\v&=\sqrt{x^{2}+1}\\v'&=\dfrac{2x}{2\sqrt{x^{2}+1}}=\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}\end{aligned}$
2. Rakendame jagatise reeglit ja viime avaldise ühele murrujoonele, korrutades lugejat ja nimetajat juurega √(x² + 1):
  
  $\begin{aligned}y'&=\dfrac{\sqrt{x^{2}+1}-x\cdot\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}}{x^{2}+1}\\&=\dfrac{\left(x^{2}+1\right)-x^{2}}{\left(x^{2}+1\right)^{3/2}}=\dfrac{1}{\left(x^{2}+1\right)^{3/2}}\end{aligned}$
3. Kohal x = 1:
  
  $x=1:\quad y'=\dfrac{1}{2^{3/2}}=\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\approx0{.}3536$
Vastus

y′ = 1/(x² + 1)^(3/2) ning tõus kohal x = 1 on 1/(2√2) ≈ 0,3536. Tuletis on positiivne iga x korral, seega kõver tõuseb kõikjal. Ometi ei jõua see kunagi väärtuseni 1: sirge y = 1 on asümptoot, millele graafik altpoolt läheneb.

$y'=\dfrac{1}{\left(x^{2}+1\right)^{3/2}},\qquad y'(1)\approx0{.}3536$
Mitu cos-i vajutust? 4 sammu
Radiaanides töötav taskuarvuti näitab arvu 1 ja sa vajutad korduvalt nuppu cos. Punkti p = 0,739085… lähedal, kus cos p = p, korrutab iga vajutus vea teguriga cos′(p) = −sin p = −0,6736. Hinda, mitu vajutust viib ekraaninäidu punktist p vähem kui 10⁻⁶ kaugusele, ja kontrolli seejärel hinnangut. Vajuta Alates x = 1: kolm vajutust viivad arvu 1 väärtuseni 0,6543 ja kolmelülilise ahela tõus on seal −0,3273.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Viga enne esimest vajutust:
  
  $e_0=1-p=1-0{.}739085=0{.}2609$
2. n vajutust moodustavad n lüliga ahela ja punkti p lähedal on igal lülil sama kiirus, mistõttu ahelreegel korrutab n võrdset tegurit:
  
  $\frac{d}{dx}\underbrace{\cos(\cos(\cdots\cos x))}_{n}\Big|_{x=p}=(-\sin p)^{n}=(-0{.}6736)^{n},\qquad |e_n|\approx0{.}2609\times0{.}6736^{n}$
3. Nõuame, et see väärtus langeks alla 10⁻⁶, ning võtame logaritmid:
  
  $0{.}2609\times0{.}6736^{n}<10^{-6}\iff n>\frac{\ln(0{.}2609/10^{-6})}{\ln(1/0{.}6736)}=\frac{12{.}47}{0{.}3951}=31{.}57$
4. Lehe kolm vajutust panevad hinnangu proovile juba varakult, mil see on alles ligikaudne: valem ennustab veaks −0,0797, tegelik ekraaninäit erineb aga −0,0848 võrra, sest esimesed vajutused tehakse punktist p kaugel.
  
  $e_3\approx0{.}2609\times(-0{.}3057)=-0{.}0797,\qquad e_3=0{.}6543-0{.}7391=-0{.}0848$
Vastus

32 vajutust. Valem annab 31,57 ehk ümardatult 32, ning iteratsiooni läbijooksmine kinnitab seda: 31 vajutuse järel on viga 1,286×10⁻⁶ ja 32 järel 8,664×10⁻⁷. Iga viga jagatuna eelmisega on esimesel vajutusel −0,7619 ja teisel −0,5960, lähenedes vajutuste kogunedes väärtusele −0,6736. Siinne leht piirdub kolme lüliga.

$n=32:\quad |e_{31}|=1{.}286\times10^{-6},\qquad |e_{32}|=8{.}664\times10^{-7}$

Lisaülesanded, ainult vastustega

Diferentseeri (5 − 2x)⁶.

Näita vastust

−12(5 − 2x)⁵

$y'=-12(5-2x)^{5}$
Diferentseeri cos(3x²).

Näita vastust

−6x sin(3x²)

$y'=-6x\sin\left(3x^{2}\right)$
Diferentseeri √(4x + 1) ja leia tõus kohal x = 2.

Näita vastust

2/√(4x + 1), mis kohal x = 2 on 2/3

$y'=\dfrac{2}{\sqrt{4x+1}},\qquad y'(2)=\tfrac23$
Diferentseeri e^(sin x) ja leia tõus kohal x = 0.

Näita vastust

cos x · e^(sin x), mis kohal x = 0 on 1

$y'=\cos x\,e^{\sin x},\qquad y'(0)=1$
Diferentseeri ln(cos x), kui −π/2 < x < π/2.

Näita vastust

−tan x

$y'=-\tan x$
Diferentseeri x²(x − 1)³ ja lahuta vastus teguriteks.

Näita vastust

x(x − 1)²(5x − 2)

$y'=x(x-1)^{2}(5x-2)$

Ununenud sisemine tegur võib ühes punktis kontrolli läbida

Vajuta Sisemus ununes. Liitfunktsioon on sin(x²) kohal x = 2 ning sisestatud vastus cos(x²) jätab sisemise tuletise 2x välja. Seal eksib see 4 korda. Vajuta nüüd Kontroll ühes punktis: kohal x = 0,5 on 2x täpselt 1 ja seesama vastus langeb tegeliku tõusuga kokku. Ühes punktis kontrollitud tuletis ei tõesta midagi, kui sisemine tuletis juhtub just seal olema 1. Leht katsetab 24 punkti ja lükkab selle vastuse neist igaühes tagasi.

Kolm cos-i vajutust pööravad vea kolm korda ümber

Vajuta Kolm korda cos. Liitfunktsioon on cos(cos(cos x)) kohal 0,739085…, ainsas punktis, mille cos paigale jätab. Ahela iga lüli rakendub samas punktis ja sama tuletisega, umbes −0,67. Seetõttu pööratakse iga riba ümber ja see jääb kolmandiku võrra lühemaks. Just seda teeb kalkulaatoril järjest cos-i vajutamine: arvu 0,7391 lähedal säilitab iga vajutus umbes kaks kolmandikku veast ning vahetab märki, nii et näit hüppab kord ülespoole, kord allapoole, tüürides järjest lähemale. Viimane lahendatud ülesanne loeb vajutused kokku.

e astmel ln x reedab funktsiooni ln x tuletise

Vajuta e astmel ln x. Kaks lüli annavad tagasi täpselt selle, mis neile ette anti: e^(ln x) = x, seega on kogu ahela tõus 1. Ahelreegel ütleb, et 1 on kahe tuletise korrutis: välimine tuletis e^(ln x) ehk x korrutatuna ln-i tuletisega. Niisiis peab ln-i tuletis kohal x olema 1/x — ja arutluskäigul polnudki tarvis seda ette teada. Nihuta x-i ning need kaks tuletist jäävad teineteise pöördarvudeks.

Õpitee

Diferentseerimine: kuidas muutumiskiirused seostuvad

Allikad (2)

The rule in both notations the page uses, h′(x) = f′(g(x))g′(x) and dy/dx = (dy/du)·(du/dx), the advice to work “from the outside in, taking one derivative at a time”, the warning that “we never evaluate a derivative at a derivative” (the page's derivOfDeriv slip), and a chain of three links (Example 3.55, cos⁴(7x² + 1)): G. Strang and E. Herman, Calculus Volume 1, OpenStax (2016), section 3.6, “The Chain Rule”.
The derivative of ln x proved from the identity e^y = x, differentiated implicitly (Theorem 3.15), the argument insight block 3 makes as a chain e^(ln x) = x: G. Strang and E. Herman, Calculus Volume 1, OpenStax (2016), section 3.9, “Derivatives of Exponential and Logarithmic Functions”.

7 Raven Roomi meeskond · Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud.