Harmooniline kuju

Sisesta a ja b (sobib ka murd või juur, näiteks √3) ning vali ülesandes nõutud kuju. Kolmnurgal on näha, kuidas R cos α ja R sin α vastavad kordajatele. Graafikul liituvad kaks katkendjoonega kujutatud lainet üheks. Kui sisestad ka c, saad võrrandi a sin x + b cos x = c lahendid etteantud vahemikus.

Amplituud	$R=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$
Siinuse kaudu	$\begin{aligned}&a\sin x+b\cos x=R\sin(x+\alpha)\\&\tan\alpha=\frac{b}{a}\end{aligned}$
Koosinuse kaudu	$\begin{aligned}&a\sin x+b\cos x=R\cos(x-\alpha)\\&\tan\alpha=\frac{a}{b}\end{aligned}$

Näidisarvutus — Harmooniline kuju

Amplituud R	5
Faasinurk α	53,13°
α radiaanides	0,9273
Üks laine	5 sin(x + 53,13°)
Maksimum	36,87°
Miinimum	216,87°

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Õppetund

Teooria — Harmooniline kuju

Harmoonilisel kujul esitatakse a sin x + b cos x ühe lainena R sin(x ± α) või R cos(x ± α), kus R > 0.

Kust valem tuleb

Ava soovitud kuju liitmisvalemi abil, nii et ka see avalduks sin x ja cos x kordsete summana.
$R\sin(x+\alpha)=R\cos\alpha\,\sin x+R\sin\alpha\,\cos x$
Võrdle kordajaid. sin x ja cos x kordajatest saad R cos α ja R sin α koos märkidega, mis tulenevad valitud kujust.
$R\cos\alpha=a,\qquad R\sin\alpha=b$
R-i leidmiseks ruudusta ja liida, α leidmiseks jaga. Seos cos²α + sin²α = 1 annab R-i; jagatis annab tan α. Avaldiste R cos α ja R sin α märgid näitavad, millises veerandis α asub.
$R^{2}(\cos^{2}\alpha+\sin^{2}\alpha)=a^{2}+b^{2}\ \Rightarrow\ R=\sqrt{a^{2}+b^{2}},\qquad\tan\alpha=\frac{b}{a}$
Loe lainelt väärtused. Siinuse ja koosinuse väärtused jäävad −1 ja 1 vahele, seega jäävad avaldise väärtused −R ja R vahele. Väärtus R saavutatakse siis, kui sulgudes olev argument on siinuse korral 90° või koosinuse korral 0°.
$-R\le a\sin x+b\cos x\le R$
Lahenda a sin x + b cos x = c, võttes tundmatuks sulgudes oleva argumendi. Kuju R sin(x + α) korral saad sin(x + α) = c/R ning argumendi vahemik nihkub α võrra. Teiste kujudega toimitakse samamoodi, arvestades vastavat funktsiooni ja märki. Kui |c| > R, pole lahendeid.
$a\sin x+b\cos x=c\ \Rightarrow\ \sin(x+\alpha)=\frac{c}{R}$

Ülesanded täielikult lahendatud

Tavakuju R sin(x + α) 2 sammu
Kirjuta 3 sin x + 4 cos x kujul R sin(x + α), kus R > 0 ja 0° < α < 90°.

Ava see ülesanne tööriistas
1. Ava liitmisvalemiga ja võrdle sin x ning cos x kordajaid:
  
  $R\sin(x+\alpha)=R\cos\alpha\,\sin x+R\sin\alpha\,\cos x\ \Rightarrow\ R\cos\alpha=3,\quad R\sin\alpha=4$
2. Ruudusta ja liida, seejärel jaga:
  
  $R=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5,\qquad\tan\alpha=\frac{4}{3},\quad\alpha=53{.}13^{\circ}$
Vastus

3 sin x + 4 cos x = 5 sin(x + 53,13°).

$3\sin x+4\cos x=5\sin(x+53{.}13^{\circ})$
Täpne juurega kuju R cos(x − α) 2 sammu
Kirjuta sin x + √3 cos x kujul R cos(x − α). Anna R-i ja α täpsed väärtused.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Ava R cos(x − α) liitmisvalemiga ja võrdle kordajaid:
  
  $R\cos(x-\alpha)=R\cos\alpha\,\cos x+R\sin\alpha\,\sin x\ \Rightarrow\ R\cos\alpha=\sqrt{3},\quad R\sin\alpha=1$
2. Ruudusta ja liida, seejärel jaga. Võrdusest tan α = 1/√3 saab nurga täpselt leida:
  
  $R=\sqrt{3+1}=2,\qquad\tan\alpha=\frac{1}{\sqrt{3}},\quad\alpha=30^{\circ}$
Vastus

sin x + √3 cos x = 2 cos(x − 30°).

$\sin x+\sqrt{3}\cos x=2\cos(x-30^{\circ})$
Miinusmärgiga kuju R sin(x − α) 2 sammu
Kirjuta 5 sin x − 12 cos x kujul R sin(x − α), kus R > 0 ja 0° < α < 90°.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Liitmisvalemi miinusmärk vastab avaldise miinusmärgile, seega on R sin α positiivne:
  
  $R\sin(x-\alpha)=R\cos\alpha\,\sin x-R\sin\alpha\,\cos x\ \Rightarrow\ R\cos\alpha=5,\quad R\sin\alpha=12$
2. Ruudusta ja liida, seejärel jaga:
  
  $R=\sqrt{25+144}=13,\qquad\tan\alpha=\frac{12}{5},\quad\alpha=67{.}38^{\circ}$
Vastus

5 sin x − 12 cos x = 13 sin(x − 67,38°). Kuju R sin(x + α) valimisel oleks tulnud α = −67,38°.

$5\sin x-12\cos x=13\sin(x-67{.}38^{\circ})$
Maksimum, miinimum ja nende asukohad 2 sammu
Leia avaldise 3 sin x + 4 cos x maksimum ja miinimum vahemikus 0° ≤ x < 360° ning x-i väärtused, mille korral need saavutatakse. Leia selle põhjal avaldise 1/(10 + 3 sin x + 4 cos x) suurim väärtus.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Esimesest ülesandest teame, et 3 sin x + 4 cos x = 5 sin(x + 53,13°), ning siinuse väärtused jäävad −1 ja 1 vahele:
  
  $\sin(x+53{.}13^{\circ})=1:\ x=36{.}87^{\circ},\qquad\sin(x+53{.}13^{\circ})=-1:\ x=216{.}87^{\circ}$
2. Murd on suurim siis, kui nimetaja on vähim ehk laine miinimumis:
  
  $\frac{1}{10+3\sin x+4\cos x}\le\frac{1}{10-5}=\frac{1}{5}$
Vastus

Maksimum on 5, kui x = 36,87°, ja miinimum −5, kui x = 216,87°; murru suurim väärtus on 1/5, kui x = 216,87°.

$\max=5,\quad\min=-5,\quad\max\frac{1}{10+3\sin x+4\cos x}=\frac{1}{5}$
Võrrandi a sin x + b cos x = c lahendamine 3 sammu
Lahenda 3 sin x + 4 cos x = 2 vahemikus 0° ≤ x < 360°.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Kirjuta vasak pool harmoonilisel kujul ja jaga R-iga:
  
  $5\sin(x+53{.}13^{\circ})=2\ \Rightarrow\ \sin(x+53{.}13^{\circ})=0{.}4$
2. Kui x läbib etteantud vahemiku, muutub sulgudes olev argument x + 53,13° vahemikus 53,13° kuni 413,13°. Arkussiinuse põhiväärtuse ja sellele vastava teise nurga järgi leiame sellesse vahemikku kuuluvad nurgad:
  
  $x+53{.}13^{\circ}=180^{\circ}-23{.}58^{\circ}=156{.}42^{\circ},\qquad x+53{.}13^{\circ}=360^{\circ}+23{.}58^{\circ}=383{.}58^{\circ}$
3. Lahuta kummastki 53,13°:
  
  $x=103{.}29^{\circ},\qquad x=330{.}45^{\circ}$
Vastus

x = 103,29° või x = 330,45° (ümardatud 2 komakohani).

$x=103{.}29^{\circ},\ 330{.}45^{\circ}$
Millal lahendeid ei ole 2 sammu
Näita, et võrrandil sin x + cos x = 2 pole lahendeid.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Kirjuta vasak pool harmoonilisel kujul:
  
  $\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin(x+45^{\circ})$
2. Siinus ei ületa kunagi väärtust 1, seega ei ületa vasak pool väärtust √2:
  
  $-\sqrt{2}\le\sqrt{2}\sin(x+45^{\circ})\le\sqrt{2}\approx1{.}4142<2$
Vastus

sin x + cos x ≤ √2 ≈ 1,4142 < 2 iga x korral, seega pole võrrandil lahendeid.

$\sin x+\cos x\le\sqrt{2}<2$
Mudel: suurim veesügavus sadamas 2 sammu
Veesügavus sadamas on D = 6 + 3 sin(30t)° + 4 cos(30t)° meetrit, kus t on keskööst möödunud aeg tundides. Leia suurim veesügavus ja esimene hetk pärast keskööd, mil see saavutatakse.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Olgu x = 30t. Muutuv osa on juba tuttav laine:
  
  $D=6+5\sin(x+53{.}13^{\circ}),\qquad x=30t$
2. Selle suurim väärtus on 5, kui x = 36,87°, seega:
  
  $D_{\max}=6+5=11,\qquad 30t=36{.}87^{\circ}\ \Rightarrow\ t=1{.}229$
Vastus

Suurim veesügavus on 11 m. Esimest korda saavutatakse see umbes 1,23 tundi pärast keskööd ehk kell 1.14.

$D_{\max}=11\ \mathrm{m},\qquad t\approx1{.}23\ \mathrm{h}$

Lisaülesanded, ainult vastustega

Kirjuta 2 cos x − 3 sin x kujul R cos(x + α), kus R > 0 ja 0° < α < 90°.

Näita vastust

√13 cos(x + 56,31°)

$2\cos x-3\sin x=\sqrt{13}\cos(x+56{.}31^{\circ})$
Kirjuta 7 cos x − 24 sin x kujul R cos(x + α) ja leia selle maksimum.

Näita vastust

25 cos(x + 73,74°), maksimum 25

$7\cos x-24\sin x=25\cos(x+73{.}74^{\circ}),\quad\max=25$
Lahenda √3 sin x − cos x = 1 vahemikus 0° ≤ x < 360°.

Näita vastust

x = 60° või x = 180°

$x=60^{\circ},\ 180^{\circ}$
Kirjuta 2 sin θ − 1,5 cos θ kujul R sin(θ − α). Anna α radiaanides, ümardatuna 3 komakohani.

Näita vastust

2,5 sin(θ − 0,644)

$2\sin\theta-1{.}5\cos\theta=2{.}5\sin(\theta-0{.}644)$
Leia avaldise 5 sin x − 12 cos x + 20 vähim väärtus.

Näita vastust

7

$5\sin x-12\cos x+20\ge20-13=7$
Lahenda 2 cos x − 3 sin x = 1 vahemikus 0° ≤ x < 360°.

Näita vastust

x = 17,59° või x = 229,79°

$x=17{.}59^{\circ},\ 229{.}79^{\circ}$

3 sin x + 4 cos x maksimum on 5, mitte 7

Vajuta nuppu 3 sin x + 4 cos x. Katkendjoontega kujutatud lainete maksimumid on 3 ja 4, kuid need on teineteise suhtes veerandpöörde võrra nihkes: kui sin x on tipus, läbib cos x nulli. Nende summa on üks laine amplituudiga 5, mis on külgedega 3, 4 ja 5 täisnurkse kolmnurga hüpotenuus. Seda selgitab asjaolu, et a sin x + b cos x on vektori (a; b) ja ühikvektori (sin x; cos x) skalaarkorrutis. Ühikvektor pöördub koos x-i muutumisega. Skalaarkorrutis on suurim siis, kui vektorid on samasuunalised, ning võrdub sel juhul vektori (a; b) pikkusega √(a² + b²). Siin juhtub see, kui x = 36,87°: vektor (sin x; cos x) = (0,6; 0,8) saadakse vektori (3; 4) jagamisel 5-ga. Sama perioodiga siinuslainete liitmisel saadakse alati sama perioodiga siinuslaine. See tagabki R-i ja α olemasolu.

Vahetusse läinud arkustangens sobib teisele kujule

Kõige sagedamini eksitakse nendes ülesannetes kordajate suhtega: kirjutatakse tan α = a/b, kuigi nõutud kuju korral peaks olema b/a. Vajuta nuppu 3 sin x + 4 cos x ja vaheta kujusid R sin(x + α) ning R cos(x − α). Nurk α muutub 53,13°-st 36,87°-ks, aga pidevjoonega kõver püsib paigal. Mõlemad vastused, 5 sin(x + 53,13°) ja 5 cos(x − 36,87°), on õiged, sest siinus ja koosinus on veerandpöörde võrra nihkes ning 53,13° + 36,87° = 90°. Vahetatud kordajatega arkustangens annab seega teise kuju jaoks õige α. Viga on selles, et vastus pole ülesandes nõutud kujul. Kui kumbki kordaja pole null, määravad nende märgid, millistes kujudes saab α olla teravnurk: kui mõlemad on positiivsed, sobib kaks kuju; kui täpselt üks on negatiivne, sobib üks; kui mõlemad on negatiivsed, ei sobi ükski.

Loodetabelis korduvad R ja α kolmkümmend seitse korda

NOAA ennustab loodet Manhattani lõunatipus The Battery juures, liites 37 koosinuskõverat. Need on loode harmoonilised komponendid, millest igaüht kirjeldavad amplituud ja faas. Suurima, Kuu peamise poolööpäevase loodekomponendi M2 amplituud on 0,671 m ja faas kasvab 28,984104° tunnis, nii et tsükkel kordub iga 12,42 tunni järel. Konstandid leitakse mõõdetud veetasemetest: kuu aja mõõtmised hõlmavad enamikku Kuu ja Päikesega seotud tsükleid, kõigi 37 eristamiseks kulub aasta. Amplituud ja faas kirjeldavad siinuse ja koosinuse summat harmoonilisel kujul, täpselt nagu sellel lehel. Nii saab komponendi mõju kohe välja lugeda: ainuüksi M2 tõstab veetaseme keskmisest 0,671 m kõrgemale ja langetab sellest 0,671 m madalamale.

Õpitee

Trigonomeetrilised samasused ja võrrandid

Allikad (2)

Insight block 3: the 37 harmonic constituents NOAA uses to predict the tide at The Battery, New York, each an amplitude and a phase; M2, the principal lunar semidiurnal constituent, has amplitude 0.671 m and speed 28.984104° per hour: NOAA Center for Operational Oceanographic Products and Services, Harmonic Constituents, station 8518750 (The Battery, NY), metadata API.
Insight block 3: each constituent “can be represented as a Cosine Curve” with an amplitude and a phase, predictions sum the 37 curves, 30 days of data show most constituents and a year shows all 37: NOAA Center for Operational Oceanographic Products and Services, “Harmonic Constituents”.

7 Raven Roomi meeskond · Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud.

Harmooniline kuju

Kust valem tuleb

Lisaülesanded, ainult vastustega

3 sin x + 4 cos x maksimum on 5, mitte 7 🖖

Vahetusse läinud arkustangens sobib teisele kujule 🖖

Loodetabelis korduvad R ja α kolmkümmend seitse korda 🖖

3 sin x + 4 cos x maksimum on 5, mitte 7

Vahetusse läinud arkustangens sobib teisele kujule

Loodetabelis korduvad R ja α kolmkümmend seitse korda