← Matemaatika

Püramiidi geomeetria

Vana-Egiptuse stiilis geomeetria ruudukujuliste püramiidide jaoks

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Kolmandik on täpne, kuid seda ei saa tõestada lõikamisega

Püramiid mahutab täpselt kolmandiku prismast, millel on sama põhi ja kõrgus — mitte ligikaudu, vaid täpselt. Kahes mõõtmes on vastav fakt kergesti nähtav: kolmnurk on pool oma ristkülikust ja seda saab näidata, lõigates ristküliku tükkideks ja need ümber paigutades. Kolmes mõõtmes on see tee suletud. Hilbert küsis 1900. aastal, kas kaks võrdse ruumalaga keha saab alati lõigata lõplikuks arvuks tükkideks ja teineteiseks ümber laduda, ning Max Dehn tõestas 1901. aastal, et ei saa — korrapärane tetraeeder ja sama ruumalaga kuup ei ole ükskõik millise lõpliku lõigete hulgaga teineteisest saavutatavad. Tegur 1/3 on seega tõepoolest piirväärtusi puudutav tulemus ja just seepärast saabub see koos analüüsiga, mitte kääridega.

Kaks arvu määravad kogu püramiidi

Ruutpüramiid on täielikult määratud vaid kahe mõõduga: aluskülje pikkus s ja kõrgus h. Kõik ülejäänu tuleneb ühest täisnurksest kolmnurgast, mis kulgeb aluse keskpunktist serva keskele. Apoteem on selle hüpotenuus, l = √(h² + (s/2)²), ja kui l on teada, tulevad pindala ja ruumala iseenesest. Muuda ühte sisendit ja iga tulemus arvutatakse uuesti.

Kuidas egiptlased kallet tagurpidi mõõtsid

Vana-Egiptlased nurki ei kasutanud. Rhindi papüüruses märkisid nad püramiidi kallet selle sekedina: horisontaalne nihe palmides iga kuningliku küünra (7 palmi) vertikaalse tõusu kohta — sisuliselt kotangens, meie tänapäevase tõusu pöördväärtus. Suure püramiidi seked on umbes 5½ palmi, mis annab tahu nurgaks ligikaudu 51,84°. Selle tööriista seked-väljund taaselustab tolle 3600 aasta vanuse tava.

Ülesanne täielikult lahendatud

  1. Kaks Suure püramiidi kokkusattumust, lahendatud ühe arvuga 6 sammu

    Suur püramiid: alus 230,4 m, kõrgus 146,6 m. Leia apoteem, pindalad, ruumala ja tahunurk — ning lahenda kaks kuulsat kokkulangevust üheainsa arvuga.

    1. Apoteem on selle kolmnurga hüpotenuus, mis kulgeb aluse keskpunktist serva keskpunkti ja sealt tipuni — arvesse läheb pool alust, mitte terve alus, mis on siin kõige sagedam eksimus.

      ℓ=h2+(s2)2=146.62+115.22=34 762.6=186.4473 m\ell=\sqrt{h^{2}+\left(\tfrac{s}{2}\right)^{2}}=\sqrt{146.6^{2}+115.2^{2}}=\sqrt{34\,762.6}=186.4473\ \mathrm{m}

    2. Külgpindala moodustavad neli kolmnurka, millest igaühe alus on s ja kõrgus ℓ, seega 4 × ½sℓ taandub kujule 2sℓ. Kogupindala saamiseks liida aluse pindala.

      Ab=s2=53 084.16,Al=2sℓ=85 914.92,A=138 999.08 m2A_b=s^{2}=53\,084.16,\qquad A_l=2s\ell=85\,914.92,\qquad A=138\,999.08\ \mathrm{m^{2}}

    3. Ruumala on üks kolmandik prisma ruumalast ja see kolmandik pole ligikaudne väärtus — see on täpne mis tahes alusega mis tahes püramiidi puhul.

      V=13s2h=13(53 084.16)(146.6)=2 594 045.95 m3V=\tfrac{1}{3}s^{2}h=\tfrac{1}{3}(53\,084.16)(146.6)=2\,594\,045.95\ \mathrm{m^{3}}

    4. Külje kaldenurk tuleneb kõrguse ja aluse poole suhtest. Seked on selle pöördarv ja just selle arvuga ehitajad tegelikult arvutasidki.

      θ=arctan⁡2hs=arctan⁡293.2230.4=51.8393∘,k=s/2h=0.7858\theta=\arctan\frac{2h}{s}=\arctan\frac{293.2}{230.4}=51.8393^{\circ},\qquad k=\frac{s/2}{h}=0.7858

    5. Võrdle mõõdetud sekedit selle lähedal asuva lihtsaima murruga. Viis ja pool palmi seitsmepalmise küünra kohta on 11/14 ja see klapib täpsusega üks osa kaheksast tuhandest.

      k=512 palms7 palms=1114=0.785714(measured 0.785812)k=\frac{5\tfrac{1}{2}\ \text{palms}}{7\ \text{palms}}=\frac{11}{14}=0.785714\quad(\text{measured }0.785812)

    6. Nüüd tuleta sellest ühest murrust π suhe. See ei ole püramiidi sõltumatu omadus; see on 8k ning 8 × 11/14 asub juhuslikult vaid 0,04% kaugusel väärtusest 2π.

      k=s/2h⇒h=s2k⇒4sh=8k=8⋅1114=6.28571against2π=6.28319k=\frac{s/2}{h}\Rightarrow h=\frac{s}{2k}\Rightarrow\frac{4s}{h}=8k=8\cdot\frac{11}{14}=6.28571\quad\text{against}\quad 2\pi=6.28319

    Vastus

    Mõlemad kokkusattumused on tegelikult üks ja sama kokkusattumus ning selleks on ehitajate murd: seked väärtusega 11/14. Egiptlased ei määranud kallet nurgana. Nad panid paika, mitu kämblalaiust horisontaalset nihet tuleb ühe küünra pikkuse tõusu kohta, ja üks küünar on teatavasti seitse kämblalaiust. Kui valida nihkeks 5½ kämblalaiust, on seked puhta suhtarvuna 11/14 = 0,785714. Püramiidi tegelik mõõdetud väärtus on aga 0,785812. Kõik ülejäänu tuleneb juba sellest. Ümbermõõdu ja kõrguse suhe on täpselt 8 korda seked. Arvutuslikult teeb see 8 × 11/14 = 6,28571, võrrelduna väärtusega 2π = 6,28319. Külje apoteemi ja aluse poole suhe annab tulemuseks 1,6186, võrrelduna väärtusega φ = 1,618034. Arvutustesse ei kaasatud teadlikult ei π-d ega φ-d. Üksainus ratsionaalne kalle, mis valiti ainult nööri ja loodiga maha märkimise lihtsuse pärast, annab mõlemad konstandid kolme koha täpsusega.

    k=1114 ⟹ 4sh=6.2857≈2π and ℓs/2=1.6186≈φk=\tfrac{11}{14}\ \Longrightarrow\ \frac{4s}{h}=6.2857\approx2\pi\ \text{and}\ \frac{\ell}{s/2}=1.6186\approx\varphi
Allikad (2)

· Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud.