Nombres et algèbre
L1 : bases
MATHTrois outils pour bâtir une seule leçon : un résumé statistique constitue une compression avec perte, et la manière dont vous compressez détermine ce que ce résumé restitue fidèlement. Chaque étape transmet à la suivante une limite bien précise des résumés par un nombre unique.
L1 : bases
MATHTrois outils et un seul argument : certains nombres ne peuvent pas s'écrire jusqu'au bout. La meilleure version courte de l'un d'eux se cherche plutôt qu'elle ne se devine, et tronquer un nombre a un coût que vous pouvez mesurer.
L1 : bases
MATHSix outils qui construisent la résolution d'équations dans l'ordre où les concepts dépendent véritablement les uns des autres, depuis l'effet d'un signe moins jusqu'à une méthode mécanique pour trois inconnues à la fois. Chaque étape fournit à la suivante un élément précis : une opération, une restriction sur cette opération, ou un test pour vérifier si elle était permise.
L2 : lycée
MATHTrois outils, une habitude : lorsque les quantités diffèrent par des facteurs plutôt que des écarts, arrêtez de compter. Comptez plutôt les exposants. Le premier construit la règle, le deuxième la parcourt, et le troisième y place un nombre sans la moindre donnée.
L2 : lycée
MATHQuatre outils, et chacun existe parce que le précédent ne suffit plus. La factorisation fonctionne quand les racines sont simples, la formule prend le relais quand elles ne le sont pas, la division opère au-delà du degré deux, et une fonction rationnelle est ce que deviennent deux polynômes lorsque l'un repose sur l'autre.
L2 : lycée
MATHTrois pages pour appliquer des fonctions l'une après l'autre. Décaler et étirer une courbe relève déjà de cette logique, avec un ordre fixé par les parenthèses. Composer des fonctions montre plus généralement que l'ordre change le résultat. La réciproque est la fonction qui, composée avec f, redonne x ; sa courbe est la symétrique de celle de f par rapport à la droite y = x.
Géométrie et trigonométrie
L1 : bases
MATHSix outils pour établir les propriétés classiques du triangle et du cercle dans leur véritable ordre de dépendance. Rien n'est admis d'emblée : chaque règle découle de la précédente. Le parcours s'achève lorsque vous replacez la première dans un repère, où elle devient la formule de la distance.
L2 : lycée
MATHUne identité est vraie pour tout angle pour lequel ses deux membres sont définis. Elle vous permet de passer de la fonction donnée dans l’énoncé à celle que vous cherchez. Le chapitre aborde les fonctions sécante, cosécante et cotangente et les trois identités de Pythagore, puis les fonctions trigonométriques réciproques de la calculatrice et la résolution d’équations. Vous étudierez aussi les formules d’addition et de duplication ainsi que la forme harmonique, avant d’apprendre à démontrer des identités, ligne par ligne.
L2 : lycée
MATHTrois outils. Tout l'enjeu de cette séquence est de vous montrer qu'il ne s'agit pas de trois sujets distincts. Une sinusoïde n'est autre qu'un mouvement circulaire uniforme vu de profil, et un pendule en oscillation nous montre ce même phénomène lorsque la gravité assure la rotation.
Analyse
L2 : lycée
MATHCinq outils pour une seule idée : une courbe lisse, suffisamment agrandie, est indiscernable d'une droite. Ce fait à lui seul résume ce que mesure une dérivée, ce que prolonge une série de Taylor et ce qu'accomplit un gradient dans plus d'une direction. Votre parcours débute par la mesure d'angle qui rend l'arithmétique limpide. Il s'achève sur le flanc d'une colline où la pente la plus raide surpasse toutes les directions que vous avez réellement mesurées.
L2 : lycée
MATHUne dérivée est un taux de variation. Chaque règle de dérivation indique comment ces taux se combinent : dans un produit, lorsqu'une fonction s'emboîte dans une autre, ou au sein d'une équation où nul n'a isolé y. Les deux dernières pages mettent ces règles à l'épreuve des questions que votre cours pose réellement : à quelle vitesse une grandeur évolue à un instant précis, et quel choix est le meilleur.
L3 : licence
MATHLe signe de f′ indique où la courbe monte et descend ; celui de f″ précise le sens de sa courbure. Ce chapitre s’ouvre sur le théorème des accroissements finis, qui garantit la rigueur de ces observations. Il vous mènera ensuite aux critères des dérivées première et seconde, jusqu’à la lecture directe de f sur le tracé de f′.
L3 : licence
MATHUne somme infinie est la limite de sommes finies. Cette limite dépend de facteurs qu'une somme finie ignore totalement : l'ordre des termes, ainsi que la position de la singularité la plus proche, même lorsqu'elle se situe en dehors de l'axe réel.
L3 : licence
MATHLes méthodes de Newton, de Simpson et d'Euler reposent toutes sur la même mécanique : sur un intervalle suffisamment restreint, assimilez la courbe à une droite. Chacune présente par conséquent une défaillance qui n'est pas une anomalie. Le savoir utile consiste à déterminer quelle défaillance appartient à quelle méthode. Ici, chaque étape transmet à la suivante une erreur nommée et la vitesse à laquelle elle diminue.
L3 : licence
MATHLa dérivation est un procédé et l'intégration est une recherche, c'est pourquoi les exercices de ce chapitre n'évaluent votre réponse que d'une seule manière : dérivez-la et comparez-la à l'intégrande. Le changement de variable et l'intégration par parties reprennent à l'envers les règles de composition et du produit. La décomposition en éléments simples couvre la seule grande famille où il existe toujours une primitive usuelle, et la dernière page démontre que pour e⁻ˣ², il n'en existe aucune.
L3 : licence
MATHUne intégrale mesure une quantité accumulée : aire, distance, volume. Ce chapitre s'ouvre sur le théorème qui relie cette accumulation aux taux de variation, puis s'élargit aux aires entre deux courbes, au mouvement et aux volumes calculés par tranches.
L3 : licence
MATHUne équation différentielle indique à quelle vitesse une grandeur évolue, jamais ce qu'elle vaut. Le champ de directions trace cette idée et révèle toute une famille de solutions, une pour chaque point de départ. L'exponentielle est la famille que l'on résout en une ligne. La transformée de Laplace convertit son taux en un point du plan s, où le comportement final se lit sans rien résoudre.
Algèbre linéaire et données
L3 : licence
MATHSept outils qui transforment un nuage de points en un nombre que vous pouvez défendre. Demandez-vous ensuite comment ce nombre est obtenu, quelle confiance lui accorder, et ce qui se passe quand personne ne vous donne la réponse. Vous apprendrez enfin à évaluer une prédiction qui n'a jamais été autre chose qu'une probabilité. Le parcours s'appuie sur la géométrie plutôt que sur les statistiques. C'est la géométrie qui donne aux statistiques toute leur rigueur.
L3 : licence
MATHUne seule question, posée quatre fois avec de moins en moins d'indices : comment cette matrice agit-elle réellement sur l'espace ? Les colonnes y répondent d'emblée. Les vecteurs propres l'expliquent pour les directions qui subsistent. La SVD prend le relais lorsqu'il n'y en a aucune, et l'ACP oriente cette même mécanique vers un nuage de mesures.
Preuve, dénombrement et jeux
L2 : lycée
MATHLe paradoxe des anniversaires ressemble à un tour de magie, mais il constitue en réalité l'outil de référence pour l'étude des collisions. C'est à la deuxième étape que les informaticiens le retrouvent, sous un autre nom.
L2 : lycée
MATHUne démonstration est un raisonnement qui couvre chaque cas possible, y compris ceux que personne ne vérifiera jamais. Ces pages forgent cette certitude de quatre façons : par récurrence, en répartissant des éléments dans des boîtes, au moyen d'une grandeur qu'aucune opération ne modifie, et en formant des paires. La première commence par une formule qui donne un nombre premier quarante fois de suite, puis donne 41 × 41.
L3 : licence
MATHQuatre jeux et une seule opération : trouvez le coup qui répond à tout ce que fait l'autre joueur. Elle résout le premier jeu à elle seule, exige une case entière pour être repérée dans le deuxième et implique un coût dans le troisième. Dans le quatrième, personne ne la calcule du tout et la population parvient tout de même à la réponse.
Argent et placements
L2 : lycée
MATHQuatre outils pour bâtir une même idée : l'argent n'a pas la même valeur à différents moments, et un paiement répété peut se ramener à une formule unique. Chaque étape transmet à la suivante un élément bien précis.
Biologie & Chimie
L2 : lycée
GEOSur une surface courbe, les règles démontrées sur le papier cessent de s'appliquer, et l'ampleur de leur défaillance mesure la courbure de l'intérieur. Un itinéraire rectiligne voit son cap dévier. Une flèche transportée sans pivoter revient désorientée. Un cercle révèle une circonférence inattendue, et dans le plan hyperbolique, aucun triangle ne peut contenir plus de π.
Ondes, lumière et quanta
L3 : licence
PHYTrois équations construites sur un seul opérateur, le laplacien, qui ne diffèrent que par le rôle du temps. La chaleur oublie, les détails les plus fins en premier. Une onde emporte une perturbation et, sur une surface, n'en finit jamais tout à fait d'arriver. L'équation de Laplace ne contient absolument aucun temps. C'est l'état que la chaleur finit par atteindre à force d'oublier : chaque point y est la moyenne de ses voisins.
An antiderivative with no formula, and an area of exactly ln 2
The rules of the integration chapter get nowhere with (x − 1)/ln x. The area under it from 0 to 1 is still exactly ln 2, and the route there is three lines long once you give the integral a dial to turn.
Every rule you memorised in algebra is about the same one move
There are two moves in school algebra: add something to both sides, or multiply both sides by something. Adding has never needed a warning, and every rule you had to memorise is about the other one.
The fraction for π that nothing smaller has beaten in 1,500 years
Zu Chongzhi wrote down 355/113 in the fifth century. It is still the best fraction for π that anyone can reach with three digits over three, and the reason is a single large number sitting in π’s continued fraction.
Two countries measured the same border and disagreed by 227 kilometres
Spain put its border with Portugal at 1,214 km. Portugal put the same border at 987 km. Both had measured carefully; they had used different rulers, and a shorter ruler always finds more coast.
π is in the bell curve, and there is no circle anywhere in it
Drop needles on floorboards and you can measure π. Collide two blocks and you can count it. Neither has a circle anywhere in it. π is really about rotation and the sum of two squares; circles are just where most of us meet it first.
You typed one digit. The answer came back with six.
A calculator cannot be more precise than what you fed it, and none of them say so. Here is what the extra digits actually mean, why a reciprocal is the worst place to forget it, and why this site prints them anyway.
Halving the step size should halve the error. The tool says 1.73.
"First order" is a promise about the limit, not about the step size you are running. The gap between the promise and the measurement is itself first order, which is why an error estimate built on the promise is wrong in a predictable direction.
Newton's method can double its mistake every step, and the answer was 0.01 away
The standard way to solve an equation numerically converges so fast it feels like cheating. Give it the cube root and it walks away from the answer, doubling the distance every step, forever.
Primes thin out at a rate you can name
The density of primes near a number n is about one in ln n. That one fact tells you how many primes lie below any bound, why they never run out, and how long a computer must search to find a 1024-bit one.
Twice as tall is four times the paint, and eight times the concrete
Lengths scale as k, areas as k² and volumes as k³. Getting this wrong is probably the most expensive arithmetic mistake ordinary people make.
The rule that was the ceiling of arithmetic for a thousand years
Cross-multiplication is usually dismissed as a procedural trick. It was written down in 628 CE, carried across three continents, and was the end of the mathematics syllabus for most people who ever received one.
Every football has twelve pentagons, and it could not have any other number
Any closed cage of pentagons and hexagons with three faces at each corner has exactly twelve pentagons. Always twelve, whatever size the ball, and the proof never counts a single one.
Pythagoras is not a fact about triangles
a² + b² = c² fails on a sphere and fails the other way in hyperbolic space. What the theorem actually asserts is that the surface you are standing on is flat.
