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Calculatrice de nombres complexes

Saisissez z₁ et z₂, puis choisissez une opération. Avec des parties réelles et imaginaires entières de taille modeste, les résultats s’affichent sous forme exacte : fractions pour un quotient, radicaux pour un module, fraction de π pour un argument lorsque c’est possible.

Multiplication i2=−1(a+bi)(c+di)=(ac−bd)+(ad+bc)i\begin{aligned}&i^{2}=-1\\&(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i\end{aligned}
Division a+bic+di=(a+bi)(c−di)c2+d2\frac{a+bi}{c+di}=\frac{(a+bi)(c-di)}{c^{2}+d^{2}}
Module et argument z=a+bi=r(cos⁡θ+isin⁡θ)r=a2+b2,tan⁡θ=ba−180∘<θ≤180∘\begin{aligned}&z=a+bi=r(\cos\theta+i\sin\theta)\\&r=\sqrt{a^{2}+b^{2}},\quad\tan\theta=\frac{b}{a}\\&-180^{\circ}<\theta\le180^{\circ}\end{aligned}
Produits et quotients ∣z1z2∣=∣z1∣∣z2∣arg⁡(z1z2)=arg⁡z1+arg⁡z2\begin{aligned}&|z_{1}z_{2}|=|z_{1}||z_{2}|\\&\arg(z_{1}z_{2})=\arg z_{1}+\arg z_{2}\end{aligned}
Formule de Moivre [r(cos⁡θ+isin⁡θ)]n=rn(cos⁡nθ+isin⁡nθ)\begin{aligned}&\left[r(\cos\theta+i\sin\theta)\right]^{n}\\&=r^{n}(\cos n\theta+i\sin n\theta)\end{aligned}
Racines n-ièmes wn=r(cos⁡θ+isin⁡θ) ⇒wk=rn(cos⁡ϕk+isin⁡ϕk)ϕk=θ+360∘kn,  k=0,…,n−1\begin{aligned}&w^{n}=r(\cos\theta+i\sin\theta)\ \Rightarrow\\&w_{k}=\sqrt[n]{r}\left(\cos\phi_{k}+i\sin\phi_{k}\right)\\&\phi_{k}=\frac{\theta+360^{\circ}k}{n},\ \ k=0,\dots,n-1\end{aligned}
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Leçon

La théorie — Calculatrice de nombres complexes

Un nombre complexe s’écrit z = a + bi, avec a et b réels et i² = −1. Sa partie réelle est a, sa partie imaginaire est b. Dans le plan complexe, z est représenté par le point de coordonnées (a, b).

D’où vient la formule

  1. Calculez comme en algèbre, puis remplacez i² par −1. Développez les produits selon les règles habituelles. Le terme en i² rejoint la partie réelle en changeant de signe.
    (a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi2=(ac−bd)+(ad+bc)i\begin{aligned}(a+bi)(c+di)&=ac+adi+bci+bdi^{2}\\&=(ac-bd)+(ad+bc)i\end{aligned}
  2. Pour diviser, utilisez le conjugué. Le produit de c + di par c − di vaut c² + d², un nombre réel. Multipliez le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur : celui-ci devient réel. Vous pouvez alors diviser chaque partie séparément.
    (c+di)(c−di)=c2+d2a+bic+di=(a+bi)(c−di)c2+d2\begin{aligned}&(c+di)(c-di)=c^{2}+d^{2}\\&\frac{a+bi}{c+di}=\frac{(a+bi)(c-di)}{c^{2}+d^{2}}\end{aligned}
  3. Déterminez le module et l’argument. Le module r est la distance à 0 ; l’argument θ est l’angle mesuré à partir du demi-axe réel positif, choisi entre −180° et 180°. Lorsque a < 0, tan⁻¹(b/a) donne un angle du quadrant opposé : ajoutez ou soustrayez 180°.
    r=a2+b2,θ=tan⁡−1ba  (a>0)θ=tan⁡−1ba±180∘  (a<0)\begin{aligned}&r=\sqrt{a^{2}+b^{2}},\qquad\theta=\tan^{-1}\frac{b}{a}\ \ (a>0)\\&\theta=\tan^{-1}\frac{b}{a}\pm180^{\circ}\ \ (a<0)\end{aligned}
  4. Multipliez sous forme trigonométrique. En développant le produit, vous retrouvez les formules d’addition des angles : les modules se multiplient et les arguments s’ajoutent. Pour n facteurs égaux, vous obtenez la formule de Moivre.
    r1(cos⁡α+isin⁡α)⋅r2(cos⁡β+isin⁡β)=r1r2[(cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡β)+i(sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β)]=r1r2(cos⁡(α+β)+isin⁡(α+β))⇒ [r(cos⁡θ+isin⁡θ)]n=rn(cos⁡nθ+isin⁡nθ)\begin{aligned}&r_{1}(\cos\alpha+i\sin\alpha)\cdot r_{2}(\cos\beta+i\sin\beta)\\&=r_{1}r_{2}\big[(\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta)\\&\qquad+i(\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta)\big]\\&=r_{1}r_{2}\left(\cos(\alpha+\beta)+i\sin(\alpha+\beta)\right)\\&\Rightarrow\ \left[r(\cos\theta+i\sin\theta)\right]^{n}\\&\qquad=r^{n}(\cos n\theta+i\sin n\theta)\end{aligned}
  5. Pour les racines, remontez la formule de Moivre. L’égalité wⁿ = z impose au module de w d’être la racine n-ième de r. L’argument, lui, est défini à un nombre entier de tours près : θ, θ + 360°, θ + 720°, … sont tous des arguments de z. En les divisant par n, vous obtenez n racines distinctes, espacées de 360°/n.
    wn=r(cos⁡θ+isin⁡θ)⇒ wk=rn(cos⁡ϕk+isin⁡ϕk)ϕk=θ+360∘kn,  k=0,…,n−1\begin{aligned}&w^{n}=r(\cos\theta+i\sin\theta)\\&\Rightarrow\ w_{k}=\sqrt[n]{r}\left(\cos\phi_{k}+i\sin\phi_{k}\right)\\&\phi_{k}=\frac{\theta+360^{\circ}k}{n},\ \ k=0,\dots,n-1\end{aligned}

Problèmes entièrement résolus

  1. Multiplier 3 étapes

    Écrivez (4 − 3i)(2 + 5i) sous la forme a + bi.

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    1. Développez le produit.

      (4−3i)(2+5i)=8+20i−6i−15i2(4-3i)(2+5i)=8+20i-6i-15i^{2}

    2. Remplacez i² par −1. Le dernier terme change de signe et s’intègre à la partie réelle.

      =8+15+14i=23+14i=8+15+14i=23+14i

    3. Une ligne suffit pour vérifier : le module d’un produit est le produit des modules, donc 23² + 14² doit être égal à 5² × 29.

      232+142=529+196=725=52×2923^{2}+14^{2}=529+196=725=5^{2}\times29

    Réponse

    23 + 14i

    23+14i23+14i
  2. Diviser à l’aide du conjugué 4 étapes

    Écrivez (3 + 2i)/(1 + 2i) sous la forme a + bi.

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    1. Multipliez le numérateur et le dénominateur par 1 − 2i, le conjugué du dénominateur.

      3+2i1+2i⋅1−2i1−2i\frac{3+2i}{1+2i}\cdot\frac{1-2i}{1-2i}

    2. Le dénominateur devient 1² + 2² = 5, un nombre réel.

      (1+2i)(1−2i)=12+22=5(1+2i)(1-2i)=1^{2}+2^{2}=5

    3. Développez le numérateur et remplacez i² par −1.

      (3+2i)(1−2i)=3−6i+2i−4i2=7−4i(3+2i)(1-2i)=3-6i+2i-4i^{2}=7-4i

    4. Divisez chaque partie par 5.

      7−4i5=75−45i\frac{7-4i}{5}=\frac{7}{5}-\frac{4}{5}i

    Réponse

    7/5 − 4/5 i, soit 1,4 − 0,8i.

    75−45i\frac{7}{5}-\frac{4}{5}i
  3. Un argument dans le troisième quadrant 4 étapes

    Déterminez le module et un argument de z = −2 − 2i. Déduisez-en l’écriture de z² sous forme trigonométrique.

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    1. Calculez le module à l’aide du théorème de Pythagore.

      ∣z∣=(−2)2+(−2)2=8=22|z|=\sqrt{(-2)^{2}+(-2)^{2}}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}

    2. tan⁻¹((−2)/(−2)) donne 45°, un angle du premier quadrant. Le point d’affixe z se trouve à gauche de 0 et en dessous, dans le troisième quadrant : soustrayez donc 180°.

      tan⁡−1−2−2=45∘arg⁡z=45∘−180∘=−135∘=−3π4\begin{aligned}&\tan^{-1}\frac{-2}{-2}=45^{\circ}\\&\arg z=45^{\circ}-180^{\circ}=-135^{\circ}=-\frac{3\pi}{4}\end{aligned}

    3. Pour élever au carré, élevez le module au carré et doublez l’argument. −270° est hors de l’intervalle de −180° à 180° : ajoutez un tour complet.

      ∣z2∣=(22)2=82arg⁡z=−270∘→−270∘+360∘=90∘\begin{aligned}&|z^{2}|=(2\sqrt2)^{2}=8\\&2\arg z=-270^{\circ}\to-270^{\circ}+360^{\circ}=90^{\circ}\end{aligned}

    4. Un module de 8 et un argument de 90° donnent 8i. Vous retrouvez ce résultat en développant (−2 − 2i)².

      z2=8(cos⁡90∘+isin⁡90∘)=8i(−2−2i)2=4+8i+4i2=8i\begin{aligned}&z^{2}=8(\cos90^{\circ}+i\sin90^{\circ})=8i\\&(-2-2i)^{2}=4+8i+4i^{2}=8i\end{aligned}

    Réponse

    |z| = 2√2, arg z = −135° = −3π/4 ; z² = 8(cos 90° + i sin 90°) = 8i.

    ∣z∣=22,arg⁡z=−3π4;z2=8(cos⁡90∘+isin⁡90∘)=8i|z|=2\sqrt2,\quad\arg z=-\frac{3\pi}{4};\qquad z^{2}=8(\cos90^{\circ}+i\sin90^{\circ})=8i
  4. Multiplier sous forme trigonométrique 3 étapes

    Soient z = 1 + i et w = 2i. Écrivez chacun sous forme trigonométrique, puis calculez zw sans développer.

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    1. Déterminez le module et un argument de chaque nombre.

      z=2(cos⁡45∘+isin⁡45∘)w=2(cos⁡90∘+isin⁡90∘)\begin{aligned}&z=\sqrt2(\cos45^{\circ}+i\sin45^{\circ})\\&w=2(\cos90^{\circ}+i\sin90^{\circ})\end{aligned}

    2. Multipliez les modules et additionnez les arguments.

      zw=22(cos⁡135∘+isin⁡135∘)zw=2\sqrt2(\cos135^{\circ}+i\sin135^{\circ})

    3. Revenez à la forme a + bi avec cos 135° = −√2/2 et sin 135° = √2/2.

      =22(−22+22i)=−2+2i=2\sqrt2\left(-\frac{\sqrt2}{2}+\frac{\sqrt2}{2}i\right)=-2+2i

    Réponse

    zw = 2√2(cos 135° + i sin 135°) = −2 + 2i

    zw=22(cos⁡135∘+isin⁡135∘)=−2+2izw=2\sqrt2(\cos135^{\circ}+i\sin135^{\circ})=-2+2i
  5. Une puissance élevée 3 étapes

    Calculez (1 + i)⁸.

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    1. Développer un produit de huit facteurs serait long. Écrivez plutôt 1 + i sous forme trigonométrique.

      1+i=2(cos⁡45∘+isin⁡45∘)1+i=\sqrt2(\cos45^{\circ}+i\sin45^{\circ})

    2. Appliquez la formule de Moivre : élevez le module à la puissance 8 et multipliez l’argument par 8.

      (1+i)8=(2)8(cos⁡360∘+isin⁡360∘)(1+i)^{8}=(\sqrt2)^{8}(\cos360^{\circ}+i\sin360^{\circ})

    3. (√2)⁸ = 2⁴ = 16, et 360° correspond à un tour complet.

      =16(1+0i)=16=16(1+0i)=16

    Réponse

    (1 + i)⁸ = 16

    (1+i)8=16(1+i)^{8}=16
  6. Racines cubiques 3 étapes

    Résolvez z³ = 8i en donnant les racines sous la forme a + bi.

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    1. Écrivez 8i sous forme trigonométrique.

      8i=8(cos⁡90∘+isin⁡90∘)8i=8(\cos90^{\circ}+i\sin90^{\circ})

    2. Prenez la racine cubique du module. Ajoutez des tours complets à l’argument avant de le diviser par 3.

      zk=2(cos⁡ϕk+isin⁡ϕk)ϕk=90∘+360∘k3,  k=0,1,2\begin{aligned}&z_{k}=2(\cos\phi_{k}+i\sin\phi_{k})\\&\phi_{k}=\frac{90^{\circ}+360^{\circ}k}{3},\ \ k=0,1,2\end{aligned}

    3. Pour k = 0, 1, 2, vous obtenez 30°, 150° et 270°. Avec k = 3, vous auriez 390°, ce qui revient à 30°.

      z0=2(cos⁡30∘+isin⁡30∘)=3+iz1=2(cos⁡150∘+isin⁡150∘)=−3+iz2=2(cos⁡270∘+isin⁡270∘)=−2i\begin{aligned}&z_{0}=2(\cos30^{\circ}+i\sin30^{\circ})=\sqrt3+i\\&z_{1}=2(\cos150^{\circ}+i\sin150^{\circ})=-\sqrt3+i\\&z_{2}=2(\cos270^{\circ}+i\sin270^{\circ})=-2i\end{aligned}

    Réponse

    z = √3 + i, −√3 + i, −2i : trois points espacés de 120° sur le cercle de rayon 2.

    z=3+i,−3+i,−2iz=\sqrt3+i,\quad-\sqrt3+i,\quad-2i
  7. Une racine carrée par identification 3 étapes

    Déterminez les racines carrées de 5 + 12i.

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    1. Posez (a + bi)² = 5 + 12i, avec a et b réels. Développez, puis identifiez les parties réelles et les parties imaginaires.

      (a+bi)2=a2−b2+2abia2−b2=5,2ab=12\begin{aligned}&(a+bi)^{2}=a^{2}-b^{2}+2abi\\&a^{2}-b^{2}=5,\quad2ab=12\end{aligned}

    2. L’égalité des modules fournit une troisième équation qui simplifie la résolution du système.

      a2+b2=∣5+12i∣=52+122=13a^{2}+b^{2}=|5+12i|=\sqrt{5^{2}+12^{2}}=13

    3. Par addition et soustraction, vous obtenez a² = 9 et b² = 4. Comme ab = 6 est positif, a et b sont de même signe.

      2a2=18,  2b2=8 ⇒ (a,b)=(3,2), (−3,−2)2a^{2}=18,\ \ 2b^{2}=8\ \Rightarrow\ (a,b)=(3,2),\ (-3,-2)

    Réponse

    3 + 2i et −3 − 2i

    ±(3+2i)\pm(3+2i)
  8. Une équation du second degré à racines complexes 3 étapes

    Résolvez z² − 4z + 13 = 0, puis vérifiez que la somme des racines vaut 4 et leur produit 13.

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    1. Le discriminant est négatif. Ses racines carrées sont donc imaginaires pures.

      b2−4ac=16−52=−36,−36=6ib^{2}-4ac=16-52=-36,\qquad\sqrt{-36}=6i

    2. Appliquez la formule habituelle.

      z=4±6i2=2±3iz=\frac{4\pm6i}{2}=2\pm3i

    3. Les coefficients étant réels, les racines sont conjuguées. Dans leur somme, les parties imaginaires s’annulent ; leur produit vaut |2 + 3i|².

      (2+3i)+(2−3i)=4,(2+3i)(2−3i)=4+9=13(2+3i)+(2-3i)=4,\qquad(2+3i)(2-3i)=4+9=13

    Réponse

    z = 2 ± 3i

    z=2±3iz=2\pm3i
  9. Multiplier 3 + 2i par son conjugué pour prouver un produit 5 étapes

    Multipliez 3 + 2i par son conjugué, puis transformez le résultat en une preuve que le produit de deux sommes de deux carrés est encore une somme de deux carrés. Il s'agit de Multiplier avec z₁ = 3 + 2i et z₂ = 3 − 2i.

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    1. Les deux termes croisés sont égaux et opposés, ils s'annulent donc. Ce qui reste est le −b²i², qui change de signe et s'ajoute au lieu de se soustraire — ainsi, le produit d'une paire de conjugués donne toujours un nombre réel, et ce nombre s'obtient en élevant au carré.

      (a+bi)(a−bi)=a2−b2i2=a2+b2⟹(3+2i)(3−2i)=9+4=13(a+bi)(a-bi)=a^{2}-b^{2}i^{2}=a^{2}+b^{2}\quad\Longrightarrow\quad(3+2i)(3-2i)=9+4=13

    2. Ce nombre réel a déjà un nom. Le module est la distance à l'origine, donc |z|² vaut a² + b² d'après Pythagore, et la valeur 3,606 du panneau est √13 arrondie par excès à la troisième décimale.

      ∣z∣=a2+b2=13=3.605551,zzˉ=∣z∣2=13|z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{13}=3.605551,\qquad z\bar z=|z|^{2}=13

    3. Passons maintenant au produit général de deux nombres complexes, où i² = −1 envoie un terme rejoindre la partie réelle. Aucun module n'apparaît encore ici.

      (a+bi)(c+di)=(ac−bd)+(ad+bc)i(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i

    4. Appliquez l'étape 1 à ce produit. Une seconde paire de termes croisés, −2abcd et +2abcd, s'annule dans le développement, et les quatre termes subsistants se factorisent en deux parenthèses. Chaque lettre est un entier si on le souhaite, et plus rien dans la dernière ligne ne mentionne i.

      (ac−bd)2+(ad+bc)2=a2c2+b2d2+a2d2+b2c2=(a2+b2)(c2+d2)(ac-bd)^{2}+(ad+bc)^{2}=a^{2}c^{2}+b^{2}d^{2}+a^{2}d^{2}+b^{2}c^{2}=(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})

    5. Ainsi, un couple de paires d'entiers en fabrique un troisième. 3 + 2i porte 13 et 1 + 2i porte 5 ; leur produit porte 65. Prendre le conjugué du second facteur le réfléchit par rapport à l'axe réel et fournit un couple différent ayant la même somme.

      (3+2i)(1+2i)=−1+8i: 12+82=65=13×5;(3+2i)(1−2i)=7−4i: 72+42=65(3+2i)(1+2i)=-1+8i:\ 1^{2}+8^{2}=65=13\times5;\qquad(3+2i)(1-2i)=7-4i:\ 7^{2}+4^{2}=65

    Réponse

    Le panneau affiche le produit par le conjugué égal à 13 et le module égal à 3,606, et 3,606² = 13,003 relève de l'arrondi plutôt que d'un désaccord. Ce qu'il convient de retenir, c'est que l'identité subsiste même après l'effacement des nombres complexes : (a² + b²)(c² + d²) = (ac − bd)² + (ad + bc)² est une relation concernant quatre entiers où il ne reste aucun i. Diophante a consigné ce même nombre au troisième siècle — 65 se décompose en 1 + 64 comme en 16 + 49, notait-il, parce qu'il vaut 13 × 5 et que chaque facteur est lui-même une somme de deux carrés — quelque treize siècles avant que Cardano n'écrive pour la première fois une racine carrée d'un nombre négatif. Deux facteurs premiers, deux représentations : 13 seul n'a que 9 + 4, et 5 seul n'a que 1 + 4. La multiplication complexe est la machine qui fabrique la seconde représentation, et le conjugué est le levier qui permet de passer de l'une à l'autre.

    (a2+b2)(c2+d2)=(ac−bd)2+(ad+bc)2(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})=(ac-bd)^{2}+(ad+bc)^{2}

Exercices supplémentaires, réponses seules

  1. Écrivez (2 − i)(3 + 4i) sous la forme a + bi.

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    10 + 5i

    10+5i10+5i

  2. Écrivez (1 + 3i)/(2 − i) sous la forme a + bi.

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    −1/5 + 7/5 i

    −15+75i-\frac{1}{5}+\frac{7}{5}i

  3. Déterminez le module et un argument de −√3 + i.

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    2 et 150° = 5π/6

    2,150∘=5π62,\quad150^{\circ}=\frac{5\pi}{6}

  4. Calculez (√3 + i)⁶.

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    −64

    −64-64

  5. Résolvez z³ = −8.

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    z = 1 + √3 i, −2, 1 − √3 i

    1+3 i,−2,1−3 i1+\sqrt3\,i,\quad-2,\quad1-\sqrt3\,i

  6. Déterminez les racines carrées de −3 + 4i.

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    1 + 2i et −1 − 2i

    ±(1+2i)\pm(1+2i)

  7. Résolvez z² − 2z + 5 = 0.

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    z = 1 ± 2i

    z=1±2iz=1\pm2i

Les imaginaires nés pour des réponses réelles

Les nombres complexes n'ont pas été inventés pour résoudre x² + 1 = 0 — personne ne s'en souciait. Ce sont les équations cubiques qui les ont imposés. La formule de Cardan de 1545 pour x³ = px + q passe parfois par des racines carrées de nombres négatifs, même lorsque les trois solutions sont des réels ordinaires. En 1572, Bombelli montra que ces quantités « impossibles » s'annulent pour donner les bonnes réponses réelles. L'imaginaire était un détour vers le réel.

Parcours

Au-delà du second degré

Références (1)
  • Insight block 3 — the cubic that made imaginary numbers unavoidable: G. Cardano, Artis Magnae, sive de Regulis Algebraicis. Nuremberg, 1545, chapter XXXVII. R. Bombelli, L'Algebra, Book I. Bologna, 1572 — where the "impossible" quantities are shown to cancel and leave the real roots.

· Vérifié sur des sources publiées. Corrections bienvenues.