← Mathématiques

Fonctions trigonométriques réciproques

Saisissez x sous forme décimale, de fraction ou de racine : la page affiche l'unique angle de l'intervalle principal dont le sinus, le cosinus ou la tangente vaut x, ou vous explique pourquoi il n'en existe aucun. Vous pouvez aussi déplacer θ pour observer comment f⁻¹(f(θ)) se replie dans l'intervalle.

Arc sinus sin⁡−1x∈[−π2,π2],−1≤x≤1\sin^{-1}x\in\left[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right],\quad -1\le x\le 1
Arc cosinus cos⁡−1x∈[0,π],−1≤x≤1\cos^{-1}x\in[0,\pi],\quad -1\le x\le 1
Arc tangente tan⁡−1x∈(−π2,π2),x∈R\tan^{-1}x\in\left(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right),\quad x\in\mathbb{R}
Inverser le sinus sin⁡(sin⁡−1x)=xsin⁡−1(sin⁡θ)=θ  ⟺  −π2≤θ≤π2\begin{gathered}\sin\left(\sin^{-1}x\right)=x\\ \sin^{-1}(\sin\theta)=\theta\iff-\tfrac{\pi}{2}\le\theta\le\tfrac{\pi}{2}\end{gathered}
Chargement de la simulation interactive...

Leçon

La théorie — Fonctions trigonométriques réciproques

Les fonctions trigonométriques réciproques sin⁻¹ x, cos⁻¹ x et tan⁻¹ x (aussi notées arcsin, arccos et arctan) renvoient l'unique angle d'un intervalle fixe, la valeur principale, dont le sinus, le cosinus ou la tangente vaut x. Le −1 indique une fonction réciproque, et non un exposant : sin⁻¹ x n'est pas 1/sin x.

D’où vient la formule

  1. Le sinus n'est pas injectif. Une infinité d'angles partagent le même sinus : l'expression « l'angle dont le sinus vaut ½ » ne désigne donc aucun angle précis tant que l'on n'a pas fixé de convention.
    sin⁡π6=sin⁡5π6=sin⁡(−7π6)=12\sin\tfrac{\pi}{6}=\sin\tfrac{5\pi}{6}=\sin\left(-\tfrac{7\pi}{6}\right)=\tfrac{1}{2}
  2. Restreindre, puis inverser. De −π/2 à π/2, le sinus monte de −1 à 1 en prenant chaque valeur une seule fois : il y admet donc une réciproque. Le cosinus est restreint à 0 ≤ y ≤ π et la tangente à −π/2 < y < π/2 pour la même raison.
    y=sin⁡−1x  ⟺  sin⁡y=x,−π2≤y≤π2y=\sin^{-1}x\iff\sin y=x,\quad-\tfrac{\pi}{2}\le y\le\tfrac{\pi}{2}
  3. La réciproque n'agit que dans un sens. L'égalité sin(sin⁻¹ x) = x vaut pour tout x admissible, mais sin⁻¹(sin θ) ne renvoie θ que si θ appartient déjà à l'intervalle. Sinon, elle renvoie l'angle de cet intervalle ayant le même sinus.
    sin⁡(sin⁡−1x)=x(−1≤x≤1),sin⁡−1(sin⁡5π6)=π6\sin\left(\sin^{-1}x\right)=x\quad(-1\le x\le1),\qquad\sin^{-1}\left(\sin\tfrac{5\pi}{6}\right)=\tfrac{\pi}{6}
  4. Les composées se lisent sur un triangle rectangle. En posant y = sin⁻¹ x, on a sin y = x. Le théorème de Pythagore donne la longueur du second côté, et l'intervalle décide de son signe.
    cos⁡(sin⁡−1x)=1−x2\cos\left(\sin^{-1}x\right)=\sqrt{1-x^{2}}
Suppose
sin⁻¹ et cos⁻¹ n'acceptent que −1 ≤ x ≤ 1 ; tan⁻¹ accepte n'importe quel nombre réel.

Problèmes entièrement résolus

  1. Un sinus négatif 2 étapes

    Trouvez la valeur exacte de sin⁻¹(−1/2).

    Ouvrez ce problème dans l'outil

    1. La réponse doit se trouver dans l'intervalle de sin⁻¹ :

      −π2≤sin⁡−1x≤π2-\tfrac{\pi}{2}\le\sin^{-1}x\le\tfrac{\pi}{2}

    2. π/6 a pour sinus 1/2 et le sinus est impair, donc l'angle situé dans l'intervalle est −π/6 :

      sin⁡π6=12 ⇒ sin⁡(−π6)=−12\sin\tfrac{\pi}{6}=\tfrac12\ \Rightarrow\ \sin\left(-\tfrac{\pi}{6}\right)=-\tfrac12

    Réponse

    sin⁻¹(−1/2) = −π/6. 7π/6 et 11π/6 ont le même sinus, mais se situent hors de l'intervalle.

    sin⁡−1(−12)=−π6≈−0.5236\sin^{-1}\left(-\tfrac12\right)=-\tfrac{\pi}{6}\approx-0{.}5236
  2. Un cosinus négatif 2 étapes

    Trouvez la valeur exacte de cos⁻¹(−√3/2).

    Ouvrez ce problème dans l'outil

    Afficher la solution

    1. L'intervalle s'étend de 0 à π, et l'angle de référence est π/6 :

      0≤cos⁡−1x≤π,cos⁡π6=320\le\cos^{-1}x\le\pi,\qquad\cos\tfrac{\pi}{6}=\tfrac{\sqrt3}{2}

    2. Dans cet intervalle, le cosinus n'est négatif qu'au-delà de π/2 : l'angle vaut donc π − π/6 :

      cos⁡(π−π6)=−cos⁡π6=−32\cos\left(\pi-\tfrac{\pi}{6}\right)=-\cos\tfrac{\pi}{6}=-\tfrac{\sqrt3}{2}

    Réponse

    cos⁻¹(−√3/2) = 5π/6.

    cos⁡−1(−32)=5π6≈2.618\cos^{-1}\left(-\tfrac{\sqrt3}{2}\right)=\tfrac{5\pi}{6}\approx2{.}618
  3. Une tangente réciproque 2 étapes

    Trouvez la valeur exacte de tan⁻¹(−√3).

    Ouvrez ce problème dans l'outil

    Afficher la solution

    1. tan⁻¹ accepte tous les réels et renvoie un résultat strictement compris entre −π/2 et π/2 :

      −π2<tan⁡−1x<π2,x∈R-\tfrac{\pi}{2}<\tan^{-1}x<\tfrac{\pi}{2},\qquad x\in\mathbb{R}

    2. tan(π/3) = √3, et la tangente est impaire :

      tan⁡π3=3 ⇒ tan⁡(−π3)=−3\tan\tfrac{\pi}{3}=\sqrt3\ \Rightarrow\ \tan\left(-\tfrac{\pi}{3}\right)=-\sqrt3

    Réponse

    tan⁻¹(−√3) = −π/3.

    tan⁡−1(−3)=−π3≈−1.0472\tan^{-1}\left(-\sqrt3\right)=-\tfrac{\pi}{3}\approx-1{.}0472
  4. Quelles fonctions réciproques existent 2 étapes

    Parmi sin⁻¹ 1,5, cos⁻¹(−1,2) et tan⁻¹ 1,5, lesquelles existent ? Évaluez celles qui sont définies.

    Ouvrez ce problème dans l'outil

    Afficher la solution

    1. Le sinus et le cosinus sont les coordonnées d'un point sur le cercle trigonométrique : sin⁻¹ et cos⁻¹ n'acceptent donc que des valeurs de −1 à 1 :

      sin⁡−1x, cos⁡−1x: −1≤x≤1;1.5∉[−1,1],−1.2∉[−1,1]\sin^{-1}x,\ \cos^{-1}x:\ -1\le x\le1;\qquad1{.}5\notin[-1,1],\quad-1{.}2\notin[-1,1]

    2. La tangente prend toutes les valeurs réelles, donc tan⁻¹ 1,5 existe. Comme il ne s'agit pas d'un angle remarquable, on le calcule en radians à la calculatrice :

      tan⁡−11.5≈0.9828≈56.3099∘\tan^{-1}1{.}5\approx0{.}9828\approx56{.}3099^{\circ}

    Réponse

    Seule tan⁻¹ 1,5 ≈ 0,9828 existe, soit environ 56,3099°. sin⁻¹ 1,5 et cos⁻¹(−1,2) ne sont pas définies.

    tan⁡−11.5≈0.9828\tan^{-1}1{.}5\approx0{.}9828
  5. Simplifier le sinus hors de l'intervalle 2 étapes

    Calculez sin⁻¹(sin 5π/6).

    Ouvrez ce problème dans l'outil

    Afficher la solution

    1. 5π/6 se situe hors de l'intervalle : la réponse n'est donc pas 5π/6 :

      5π6>π2\tfrac{5\pi}{6}>\tfrac{\pi}{2}

    2. π − θ a le même sinus que θ, et π − 5π/6 appartient à l'intervalle :

      sin⁡(π−5π6)=sin⁡5π6,π−5π6=π6∈[−π2,π2]\sin\left(\pi-\tfrac{5\pi}{6}\right)=\sin\tfrac{5\pi}{6},\qquad\pi-\tfrac{5\pi}{6}=\tfrac{\pi}{6}\in\left[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right]

    Réponse

    sin⁻¹(sin 5π/6) = π/6.

    sin⁡−1(sin⁡5π6)=π6\sin^{-1}\left(\sin\tfrac{5\pi}{6}\right)=\tfrac{\pi}{6}
  6. Simplifier le cosinus hors de l'intervalle 2 étapes

    Calculez cos⁻¹(cos 4π/3).

    Ouvrez ce problème dans l'outil

    Afficher la solution

    1. 4π/3 dépasse π et se trouve hors de l'intervalle :

      4π3>π\tfrac{4\pi}{3}>\pi

    2. 2π − θ a le même cosinus que θ, car le cosinus est pair et de période 2π ; de plus, 2π − 4π/3 est dans l'intervalle :

      cos⁡(2π−4π3)=cos⁡4π3,2π−4π3=2π3∈[0,π]\cos\left(2\pi-\tfrac{4\pi}{3}\right)=\cos\tfrac{4\pi}{3},\qquad2\pi-\tfrac{4\pi}{3}=\tfrac{2\pi}{3}\in[0,\pi]

    Réponse

    cos⁻¹(cos 4π/3) = 2π/3.

    cos⁡−1(cos⁡4π3)=2π3\cos^{-1}\left(\cos\tfrac{4\pi}{3}\right)=\tfrac{2\pi}{3}
  7. Une composée avec un argument négatif 3 étapes

    Trouvez la valeur exacte de tan(cos⁻¹(−3/5)).

    Ouvrez ce problème dans l'outil

    Afficher la solution

    1. Appelons y cet angle. Son cosinus vaut −3/5 : l'intervalle le situe donc au-delà de π/2 :

      y=cos⁡−1(−35):cos⁡y=−35,π2<y≤πy=\cos^{-1}\left(-\tfrac35\right):\quad\cos y=-\tfrac35,\quad\tfrac{\pi}{2}<y\le\pi

    2. Le sinus y est positif, donc d'après sin²y + cos²y = 1

      sin⁡y=+1−925=45\sin y=+\sqrt{1-\tfrac{9}{25}}=\tfrac45

    3. et sachant que tan y = sin y / cos y :

      tan⁡y=4/5−3/5=−43\tan y=\frac{4/5}{-3/5}=-\tfrac43

    Réponse

    tan(cos⁻¹(−3/5)) = −4/3.

    tan⁡(cos⁡−1(−35))=−43≈−1.3333\tan\left(\cos^{-1}\left(-\tfrac35\right)\right)=-\tfrac43\approx-1{.}3333
  8. Une composée en x 3 étapes

    Exprimez cos(sin⁻¹ x) en fonction de x, puis vérifiez pour x = −3/5.

    Ouvrez ce problème dans l'outil

    Afficher la solution

    1. Appelons y cet angle. L'intervalle de sin⁻¹ maintient y entre −π/2 et π/2, où le cosinus n'est jamais négatif :

      y=sin⁡−1x:sin⁡y=x,−π2≤y≤π2 ⇒ cos⁡y≥0y=\sin^{-1}x:\quad\sin y=x,\quad-\tfrac{\pi}{2}\le y\le\tfrac{\pi}{2}\ \Rightarrow\ \cos y\ge0

    2. la racine conserve donc son signe positif :

      cos⁡y=+1−sin⁡2y=1−x2\cos y=+\sqrt{1-\sin^{2}y}=\sqrt{1-x^{2}}

    3. Pour x = −3/5 :

      cos⁡(sin⁡−1(−35))=1−925=45\cos\left(\sin^{-1}\left(-\tfrac35\right)\right)=\sqrt{1-\tfrac{9}{25}}=\tfrac45

    Réponse

    cos(sin⁻¹ x) = √(1 − x²), sans aucun ±, pour tout x de −1 à 1.

    cos⁡(sin⁡−1x)=1−x2,−1≤x≤1\cos\left(\sin^{-1}x\right)=\sqrt{1-x^{2}},\qquad-1\le x\le1
  9. Une équation avec fonction réciproque 2 étapes

    Résolvez cos⁻¹ x = 2π/3, puis cos⁻¹ x = −π/3.

    Ouvrez ce problème dans l'outil

    Afficher la solution

    1. Prenons le cosinus des deux membres. 2π/3 appartient à l'intervalle, c'est donc l'unique solution :

      cos⁡−1x=2π3 ⇒ x=cos⁡2π3=−12\cos^{-1}x=\tfrac{2\pi}{3}\ \Rightarrow\ x=\cos\tfrac{2\pi}{3}=-\tfrac12

    2. cos⁻¹ ne renvoie jamais −π/3, qui se trouve en dehors de son intervalle :

      −π3∉[0,π]-\tfrac{\pi}{3}\notin[0,\pi]

    Réponse

    x = −1/2 pour la première équation ; la seconde n'a aucune solution. En effet, cos(−π/3) = 1/2, mais cos⁻¹(1/2) vaut π/3.

    x=−12;−π3∉[0,π]⇒∅x=-\tfrac12;\qquad-\tfrac{\pi}{3}\notin[0,\pi]\Rightarrow\varnothing

Exercices supplémentaires, réponses seules

  1. Calculez tan⁻¹(tan 2π/3).

    Afficher la réponse

    −π/3, c'est-à-dire 2π/3 − π.

    tan⁡−1(tan⁡2π3)=−π3\tan^{-1}\left(\tan\tfrac{2\pi}{3}\right)=-\tfrac{\pi}{3}

  2. Calculez cos⁻¹(cos(−2π/5)).

    Afficher la réponse

    2π/5, puisque le cosinus est pair.

    cos⁡−1(cos⁡(−2π5))=2π5\cos^{-1}\left(\cos\left(-\tfrac{2\pi}{5}\right)\right)=\tfrac{2\pi}{5}

  3. Calculez sin⁻¹(sin 4), avec 4 en radians.

    Afficher la réponse

    π − 4 ≈ −0,8584, car 4 est compris entre π/2 et 3π/2.

    sin⁡−1(sin⁡4)=π−4≈−0.8584\sin^{-1}(\sin4)=\pi-4\approx-0{.}8584

  4. Trouvez la valeur exacte de sin(cos⁻¹(−12/13)).

    Afficher la réponse

    5/13 : l'angle se situe au-delà de π/2, où le sinus est positif.

    sin⁡(cos⁡−1(−1213))=513\sin\left(\cos^{-1}\left(-\tfrac{12}{13}\right)\right)=\tfrac{5}{13}

  5. Exprimez tan(sin⁻¹ x) en fonction de x.

    Afficher la réponse

    x/√(1 − x²), pour −1 < x < 1.

    tan⁡(sin⁡−1x)=x1−x2,−1<x<1\tan\left(\sin^{-1}x\right)=\frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}},\qquad-1<x<1

  6. Montrez que sin⁻¹ x + cos⁻¹ x = π/2 pour −1 ≤ x ≤ 1, et vérifiez cette relation pour x = −1/2.

    Afficher la réponse

    Si y = sin⁻¹ x, alors cos(π/2 − y) = sin y = x ; de plus, π/2 − y est compris entre 0 et π, donc π/2 − y = cos⁻¹ x.

    sin⁡−1(−12)+cos⁡−1(−12)=−π6+2π3=π2\sin^{-1}\left(-\tfrac12\right)+\cos^{-1}\left(-\tfrac12\right)=-\tfrac{\pi}{6}+\tfrac{2\pi}{3}=\tfrac{\pi}{2}

sin⁻¹(sin θ) repart en arrière sur la moitié du cercle

Cliquez sur sin⁻¹(sin 150°) : le résultat est 30°. Faites maintenant glisser θ de 90° à 270°. Tandis que θ progresse, sin⁻¹(sin θ) descend de 90° à −90° selon une pente valant exactement −1, puisqu'il vaut 180° − θ sur tout cet intervalle. Le sinus atteint 1 en 90° avant de rebrousser chemin : l'opération réciproque doit donc nécessairement repartir en arrière avec lui. Le cosinus, lui, tourne en 0° et en 180° ; entre −180° et 180°, cos⁻¹(cos θ) coïncide donc avec |θ|, traçant un V. La tangente ne rebrousse jamais chemin. Elle croît continûment entre ses asymptotes, si bien que tan⁻¹(tan θ) ne recule jamais : elle décroche simplement de 180° chaque fois que θ franchit un multiple impair de 90°. Ainsi, tan⁻¹(tan 135°) vaut 135° − 180° = −45°.

cos⁻¹ ne peut pas emprunter l'intervalle de sin⁻¹

Entre −90° et 90°, le cosinus n'est jamais négatif et prend deux fois chaque valeur strictement comprise entre 0 et 1, en θ et en −θ. Une fonction réciproque requiert l'exact opposé sur ces deux points : balayer toutes les valeurs de −1 à 1, chacune une seule fois. cos⁻¹ prend donc ses valeurs entre 0° et 180°, sur le demi-cercle supérieur, où le cosinus décroît régulièrement de 1 à −1. Les arguments négatifs en portent la trace. Si sin⁻¹(−1/2) vaut −30°, sous l'axe des abscisses, cos⁻¹(−√3/2) donne 150° : un cosinus négatif ne produit jamais un angle négatif, mais toujours un angle situé au-delà de 90°.

cos(sin⁻¹ x) n'a jamais besoin de ±

Dans les identités trigonométriques issues de Pythagore, l'expression √(1 − sin²θ) ne fixait que la grandeur de cos θ, laissant au quadrant le soin d'en déterminer le signe. Ici, l'intervalle d'arrivée tranche avant même qu'on ne pose la question. Comme sin⁻¹ x est toujours compris entre −90° et 90°, zone où le cosinus ne prend que des valeurs positives ou nulles, on a cos(sin⁻¹ x) = √(1 − x²) pour tout x de −1 à 1. Pour x = −3/5, elle vaut +4/5, quand bien même l'angle lui-même est négatif. La même règle s'applique à sin(cos⁻¹ x), le sinus étant toujours positif ou nul de 0° à 180°. La tangente, elle, peut tout à fait être négative puisque l'intervalle de cos⁻¹ couvre le deuxième quadrant ; mais dans la formule tan(cos⁻¹ x) = √(1 − x²)/x, ce signe est déjà porté par x, dispensant là encore de tout ±. Cliquez sur tan(cos⁻¹(−3/5)) : l'angle vaut 126,8699°, d'où une tangente égale à −4/3.

Parcours

Identités et équations trigonométriques

Références (1)

· Vérifié sur des sources publiées. Corrections bienvenues.