視線速度の半振幅

公転周期 10 日の軌道にある地球質量の惑星は、その主星を 0.2968 m/s で揺さぶる。これは人が歩くほどの速度である。主星が実際にどれだけ移動するのか、アンドなぜホット・ジュピターが最初に発見されたのかを求めよ。

1. 両天体は共通の質量中心の周りを公転するため、主星自身も小さな楕円軌道を描く。半振幅 K は、この運動の速度を我々の視線方向に投影したものであり、分光器で測定できるのはこの値のみである。

   $$K=\left(\frac{2\pi G}{P}\right)^{1/3}\frac{m_p\sin i}{(M_\star+m_p)^{2/3}}\cdot\frac{1}{\sqrt{1-e^2}}$$

2. この公式において、惑星以外の条件はすべて既知である。すなわち、太陽質量の主星、エッジオンの円軌道、および公転周期 10 日における 1 地球質量である。

   $$P=10\ \mathrm{d},\ m_p=1\,M_\oplus,\ M_\star=1\,M_\odot,\ i=90^\circ,\ e=0$$

3. 計算結果は 0.2968 m/s となる。したがって分光器は 10 億分の 1 という精度のドップラーシフトを分解しなければならない。この分野が望遠鏡の口径ではなく観測機器の安定性の向上を待たなければならなかったのはそのためである。

   $$K=0.2968\ \mathrm{m/s}\quad\Longrightarrow\quad \text{peak-to-peak}=0.5936\ \mathrm{m/s}$$

4. 恒星の軌道はさらに小さい。これを求めれば、同じ速さに至る別の道筋が得られる。ケプラーの第三法則によると、太陽質量の天体を十日で一周する惑星の軌道半径は1.359 × 10¹⁰ m。恒星が描く円の半径は、質量比に応じてその333,000分の一、わずか40.8 kmである。車でも横切れるほどの円を、幅1.4百万キロメートルの天体が描いていることになる。この軌道を十日で一周する速さは0.2968 m/s。複合式を使わずに求めた半振幅と一致する。

   $$a_\star=a\frac{m_p}{M_\star+m_p}=40.814\ \mathrm{km}$$

5. このスケーリング関係が発見の順序を説明している。K は公転周期の 3 乗根に比例してしか減少せず、同じ惑星が 1 年周期の軌道にあっても 0.0895 m/s のシグナルを与える。しかし K は質量に直接比例して増大するため、3 日周期の木星型惑星であれば 141 m/s ものシグナルを生じさせる。

   $$K\propto P^{-1/3}:\ P=365\ \mathrm{d}\Rightarrow0.0895\ \mathrm{m/s};\qquad 318\,M_\oplus\ \text{at}\ 3\ \mathrm{d}\Rightarrow141\ \mathrm{m/s}$$