多項式の割り算トレーナー

割られる式と割る式を、2x^3 - 3x^2 + 4x - 5のようなxの多項式、または2, -3, 4, -5のように次数の高い順に並べた係数で入力してください。係数が大きすぎない整数なら、分数を含め、すべての計算を厳密に行えます。

除法の原理	$\begin{aligned}&P(x)=D(x)\,Q(x)+R(x)\\&\deg R<\deg D\end{aligned}$
剰余の定理	$\begin{aligned}&P(x)\div(x-a):\ R=P(a)\\&P(x)\div(ax-b):\ R=P\left(\tfrac{b}{a}\right)\end{aligned}$
因数定理	$(x-a)\mid P(x)\iff P(a)=0$

計算例 — 多項式の割り算トレーナー

商	2x² + x + 6
余り	7
掛け戻した結果	2x³ − 3x² + 4x − 5
P(2)：剰余の定理	7
x − 2は因数か	いいえ
被除数	2

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レッスン

理論 — 多項式の割り算トレーナー

多項式P(x)をD(x)で割るとは、P = DQ + Rを満たす商Q(x)と余りR(x)を求めることです。ただし、Rの次数はDの次数より小さくなります。

公式の導き方

最高次の項どうしを割ります。Pの最高次の項をDの最高次の項で割ると、商の最初の項が求まります。
$\frac{2x^{3}}{x}=2x^{2}$
除式を掛けて引きます。求めた項にDを掛けてPから引くと、Pの最高次の項が消え、次数が下がります。
$\begin{aligned}&2x^{3}-3x^{2}+4x-5-2x^{2}(x-2)\\&=x^{2}+4x-5\end{aligned}$
残った式の次数がDの次数より小さくなるまで繰り返します。計算を進めるたびに、商の項が一つずつ決まります。Pにない次数の項も、係数を0として列をそろえます。
$\begin{aligned}&\frac{x^{2}}{x}=x:\quad x^{2}+4x-5-x(x-2)=6x-5\\&\frac{6x}{x}=6:\quad 6x-5-6(x-2)=7\end{aligned}$
等式から剰余の定理を導きます。除式がx − aなら、余りRは定数です。P = (x − a)Q + Rにx = aを代入すると、右辺の最初の項がすべて消えます。
$\begin{aligned}&P(x)=(x-a)\,Q(x)+R\\&P(a)=0\cdot Q(a)+R=R\end{aligned}$
因数定理につなげます。Pがx − aで割り切れるための必要十分条件は、余りP(a)が0になることです。つまり、因数を見つけることは、方程式P(x) = 0の解を見つけることに対応します。
$R=P(a)=0\iff P(x)=(x-a)\,Q(x)$

全プロセスの詳細解説

項が抜けている多項式の筆算 4 ステップ
x³ + 2x − 5をx + 1で割りなさい。

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1. x²の項がないので、0x²を補って次数ごとの列をそろえます。x³ ÷ x = x²。
  
  $\begin{aligned}&\frac{x^{3}}{x}=x^{2}\\&x^{3}+0x^{2}+2x-5-x^{2}(x+1)=-x^{2}+2x-5\end{aligned}$
2. x²に(x + 1)を掛けるとx³ + x²。これを引くと−x² + 2x − 5が残ります。次に、−x² ÷ x = −x。
  
  $\begin{aligned}&\frac{-x^{2}}{x}=-x\\&-x^{2}+2x-5-(-x)(x+1)=3x-5\end{aligned}$
3. −xに(x + 1)を掛けると−x² − x。引くと3x − 5が残ります。続いて3x ÷ x = 3。3(x + 1) = 3x + 3を引くと、−8が残ります。
  
  $\begin{aligned}&\frac{3x}{x}=3\\&3x-5-3(x+1)=-8\end{aligned}$
4. 商に除式を掛け、余りを足して確かめます。
  
  $(x+1)(x^{2}-x+3)-8=x^{3}+2x+3-8=x^{3}+2x-5$
解答

商はx² − x + 3、余りは−8。

$x^{3}+2x-5=(x+1)(x^{2}-x+3)-8$
2次式で割る 3 ステップ
x⁴ + 3x³ − x + 2をx² + x − 1で割りなさい。

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1. x⁴ ÷ x² = x²。求めた項に除式を掛け、元の式から引きます。
  
  $\begin{aligned}&\frac{x^{4}}{x^{2}}=x^{2}\\&x^{4}+3x^{3}+0x^{2}-x+2-x^{2}(x^{2}+x-1)\\&\quad=2x^{3}+x^{2}-x+2\end{aligned}$
2. 2x³ ÷ x² = 2x。求めた項に除式を掛け、残っている式から引きます。
  
  $\begin{aligned}&\frac{2x^{3}}{x^{2}}=2x\\&2x^{3}+x^{2}-x+2-2x(x^{2}+x-1)\\&\quad=-x^{2}+x+2\end{aligned}$
3. −x² ÷ x² = −1。除式を掛けて引くと、2x + 1が残ります。これは1次で、除式の次数2より小さいので、余りです。
  
  $\begin{aligned}&\frac{-x^{2}}{x^{2}}=-1\\&-x^{2}+x+2-(-1)(x^{2}+x-1)=2x+1\end{aligned}$
解答

商はx² + 2x − 1、余りは2x + 1。

$\begin{aligned}&x^{4}+3x^{3}-x+2\\&=(x^{2}+x-1)(x^{2}+2x-1)+2x+1\end{aligned}$
モニックでない除式 4 ステップ
4x³ − 2x² + 6x + 1を2x − 1で割りなさい。

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1. 商の各項は、2xで割って求めます。4x³ ÷ 2x = 2x²。
  
  $\frac{4x^{3}}{2x}=2x^{2}$
2. 2x²(2x − 1) = 4x³ − 2x²を引くと、x²の項も消えます。0x² ÷ 2x = 0なので、商にxの項はありません。
  
  $\begin{aligned}&4x^{3}-2x^{2}+6x+1-2x^{2}(2x-1)=6x+1\\&\frac{0x^{2}}{2x}=0\end{aligned}$
3. 6x ÷ 2x = 3。3(2x − 1) = 6x − 3を引くと、4が残ります。
  
  $\frac{6x}{2x}=3:\qquad 6x+1-3(2x-1)=4$
4. 剰余の定理でも確かめられます。2x − 1はx = 1/2で0になります。
  
  $\begin{aligned}P\left(\tfrac12\right)&=4\cdot\tfrac18-2\cdot\tfrac14+6\cdot\tfrac12+1\\&=\tfrac12-\tfrac12+3+1=4\end{aligned}$
解答

商は2x² + 3、余りは4。

$4x^{3}-2x^{2}+6x+1=(2x-1)(2x^{2}+3)+4$
割り算をせずに余りを求める 2 ステップ
x³ − 4x² + 5x − 7をx − 3で割った余りを求めなさい。

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1. 除式はx − aの形で、a = 3です。したがって、余りはP(3)で求められます。
  
  $P(3)=3^{3}-4\cdot3^{2}+5\cdot3-7=27-36+15-7=-1$
2. 筆算でも同じ余りが得られ、商はx² − x + 2になります。
  
  $x^{3}-4x^{2}+5x-7=(x-3)(x^{2}-x+2)-1$
解答

余りは−1。

$R=P(3)=-1$
因数を見つけて因数分解する 3 ステップ
x − 1がx³ − 6x² + 11x − 6の因数であることを示し、完全に因数分解しなさい。

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1. P(1) = 0なので、因数定理よりPはx − 1で割り切れます。
  
  $P(1)=1-6+11-6=0$
2. 割り算で、もう一方の因数を求めます。
  
  $x^{3}-6x^{2}+11x-6=(x-1)(x^{2}-5x+6)$
3. 商は2次式で、さらに因数分解できます。
  
  $x^{2}-5x+6=(x-2)(x-3)$
解答

(x − 1)(x − 2)(x − 3)

$(x-1)(x-2)(x-3)$
未知の係数を求める 3 ステップ
x + 2がx³ + kx² − x − 2の因数であるとき、kを求めなさい。

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1. x + 2はx − (−2)と書けるので、P(−2) = 0です。
  
  $P(-2)=(-2)^{3}+k(-2)^{2}-(-2)-2=-8+4k$
2. kについて解きます。
  
  $-8+4k=0\ \Rightarrow\ k=2$
3. 割り算でも確かめると、余りは0になります。
  
  $x^{3}+2x^{2}-x-2=(x+2)(x^{2}-1)$
解答

k = 2。x³ + 2x² − x − 2 = (x + 2)(x² − 1) = (x + 2)(x − 1)(x + 1)と因数分解できます。

$k=2$
二つの未知数と二つの条件 3 ステップ
P(x) = x³ + ax² + bx − 6とする。x − 1はPの因数で、Pをx + 1で割った余りは4である。aとbを求めなさい。

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1. 因数の条件から、P(1) = 0です。
  
  $P(1)=1+a+b-6=0\ \Rightarrow\ a+b=5$
2. 余りの条件から、P(−1) = 4です。
  
  $P(-1)=-1+a-b-6=4\ \Rightarrow\ a-b=11$
3. 二つの方程式を辺々足し、求めた値を代入します。
  
  $2a=16\ \Rightarrow\ a=8,\quad b=5-8=-3$
解答

a = 8, b = −3

$a=8,\quad b=-3$
2x³ − 3x² + 4x − 5のx − 2での除算 5 ステップ
2x³ − 3x² + 4x − 5 を x − 2 で割ると余りは 7 になります。組み立て除法を用いてこれを示し、さらに割り算を一切行わずに同じ 7 を求めてみましょう。

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1. 組み立て除法は、計算の記録を省略した多項式の筆算です。必要なのは係数のみであり、x − r で割る場合の乗数は r となります。
  
  $\frac{2x^3-3x^2+4x-5}{x-2}:\quad \text{synthetic division with } r=2$
2. 2 を下ろし、2 を掛けて −3 に加えて 1 を得ます。さらに 2 を掛けて 4 に加えて 6 を得て、2 を掛けて −5 に加えて 7 を得ます。最初の 3 つが商であり、最後の 1 つが余りです。
  
  $2\ \big|\ 2\quad -3\quad 4\quad -5\ \longrightarrow\ 2,\ 1,\ 6\ \ \text{remainder}\ 7$
3. これを書き下ろすと多項式の除法原理となり、この恒等式は特定の都合のよい x だけでなく、すべての x について成り立ちます。
  
  $2x^3-3x^2+4x-5=(x-2)(2x^2+x+6)+7$
4. そこで x = 2 を代入します。(x − 2) の因数は、商がどんな式であれ全体を消去するため、恒等式は P(2) = 余りという形に帰着されます。
  
  $P(2)=2(8)-3(4)+4(2)-5=16-12+8-5=7$
5. P(2) の値を直接計算すると 7 が得られ、割り算を一切行うことなく、除法の結果と一致します。
  
  $P(2)=7\ne0\quad\Longrightarrow\quad (x-2)\ \text{is not a factor}$
解答

このツールは、商 2x² + x + 6 と余り 7 を出力します。ステップ 4 で証明したのは剰余の定理であり、これはそれが提供する計算の簡略化以上の価値を持っています。余りはまさに P(r) であるため、(x − r) が多項式を割り切るかどうかを問うことは、P(r) = 0 であるかどうかを問うことと同義だからです。ここでは余りが 7 であるため、割り切りません。この同値性によって、因数探しは代入計算へと置き換わります。余りが 0 になるまで除数の値を試せば、根を見つけると同時に多項式の因数分解を完了したことになります。

$P(x)=(x-r)Q(x)+P(r):\ \text{the remainder IS}\ P(r)$

補充問題（答えのみ）

x³ − 3x² + 5をx − 1で割りなさい。

答えを表示

商はx² − 2x − 2、余りは3

$Q=x^{2}-2x-2,\quad R=3$
2x⁴ − 3x³ + x − 4をx² − 2で割りなさい。

答えを表示

商は2x² − 3x + 4、余りは−5x + 4

$Q=2x^{2}-3x+4,\quad R=-5x+4$
x² + 1を2x − 1で割りなさい。

答えを表示

商はx/2 + 1/4、余りは5/4

$Q=\frac{x}{2}+\frac14,\quad R=\frac54$
2x³ + 3x² − 5を2x + 1で割った余りを求めなさい。

答えを表示

−9/2

$-\frac92$
x − 2がx³ − 7x + 6の因数であることを示し、完全に因数分解しなさい。

答えを表示

(x − 2)(x − 1)(x + 3)

$(x-2)(x-1)(x+3)$
x³ + px + qをx − 1で割った余りは6で、x + 2はこの多項式の因数である。pとqを求めなさい。

答えを表示

p = −1, q = 6

$p=-1,\quad q=6$

x − r で割るのに x は一つも要らない

除式がx − rなら、筆算は係数だけを横に並べた計算にまとめられます。先頭の係数をそのまま下ろし、rを掛けて次の係数に足す。この操作を繰り返すのが組立除法です。多項式の値を求めるホーナー法も、手順は同じです。最後に得られる数が、余りであると同時にx = rでの多項式の値にもなるのは、そのためです。計算量も減ります。10次の多項式では、各項の累乗を個別に計算すると掛け算が19回必要ですが、この方法なら10回で済みます。数値計算ライブラリでも、多項式の値は実際にこの方法で求められています。

ファイルはこれで検証されている

保存したファイルやZIPアーカイブ、Ethernetのパケットで誤りを検出するCRCチェックサムも、多項式の筆算による割り算で求められます。データの各ビットを係数とみなすと、体GF(2)上の巨大な多項式ができます。この体では2を法として計算するため、足し算はXORに相当します。データの多項式の次数を生成多項式の次数だけ上げ、決められた生成多項式で割ると、その余りがチェックサムになります。規格によっては初期値の設定や最後のビット反転なども加わります。この教材で筆算しているのと同じアルゴリズムが、ネットワーク機器の内部では毎秒何十億回も実行されています。

学習の道すじ

二次式を超えて

参考文献 (1)

Insight block 3 — the CRC as polynomial division over GF(2): W. W. Peterson and D. T. Brown, "Cyclic Codes for Error Detection." Proceedings of the IRE 49(1), 228–235, 1961.

7 Raven Room チーム · 公表された資料と照合しています。訂正のご指摘を歓迎します。

多項式の割り算トレーナー

公式の導き方

補充問題（答えのみ）

x − r で割るのに x は一つも要らない 🖖

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x − r で割るのに x は一つも要らない

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