効率的フロンティア、サンプルの外で

2つの資産、1つの期間：1928–1976年に適合させた米国株と10年財務省証券。シャープレシオが最大となる配分を手計算で導出し、パネルと照合したうえで、表示された桁数のうちデータが実際に担保できるのは何桁かを求める。

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1. 株式と債券のみをクリックして、この期間におけるフロンティアを適合させる。入力される数値は次の6つのみである。各スリーブの年平均リターン、各スリーブのボラティリティ、両者の相関係数、そしてリスクフリーを定義する短期国債金利である。

   $$\mu_s=10.76\%,\quad \mu_b=3.23\%,\quad r_f=2.47\%,\quad \sigma_s=22.351\%,\quad \sigma_b=4.2537\%,\quad \rho=-0.0379$$

2. シャープレシオはキャッシュ超過分で測定されるため、両方の平均から短期国債金利を差し引く。株式の超過リターンは債券スリーブの約11倍であった。共分散はわずかに負であり、これは2ステップ下で重要な役割を果たす小さな数値である。

   $$e_s=\mu_s-r_f=8.285\%,\qquad e_b=\mu_b-r_f=0.758\%,\qquad \sigma_{sb}=\rho\,\sigma_s\sigma_b=-0.00036058$$

3. 株式をwの割合で保有する配分は、2つの超過リターンの加重平均を得る。そのボラティリティは加重平均にはならない。交差項こそが分散投資効果のすべてであり、負の共分散によりボラティリティを減少させる。

   $$e(w)=we_s+(1-w)e_b,\qquad \sigma(w)=\sqrt{w^2\sigma_s^2+(1-w)^2\sigma_b^2+2w(1-w)\sigma_{sb}}$$

4. 公式を信頼する前に、すでにページ上に答えが出ているケースで検証する。w = ½ と置くと、ツール自体の均等ウェイト (1/N)の行は、ボラティリティ11.30%においてキャッシュ超過4.52%と読み取れる。両者が一致するため、6つの入力値は正しい6つである。

   $$w=\tfrac12:\quad e=4.52\%,\qquad \sigma=\sqrt{0.0127613}=11.30\%$$

5. 次に最大化を行う。シャープレシオは比率であるため、その最大値が必ずしも端に位置するとは限らず、共分散が負である本ケースでは端には位置しない。導関数をゼロと置くことで平方根が消去され、同じ6つの入力値による公式が導かれる。

   $$S(w)=\frac{e(w)}{\sigma(w)},\qquad S'(w)=0\iff w^{*}=\frac{e_s\sigma_b^2-e_b\sigma_{sb}}{e_s\sigma_b^2+e_b\sigma_s^2-(e_s+e_b)\sigma_{sb}}$$

6. 数値に代入する。各手法が選択したウェイトを開くと、接点行には株式27.2%、債券72.8%と表示されている。その上の表には、予測ボラティリティ6.72%、予測シャープレシオ0.418とある。株式が4分の1を占めるポートフォリオは、50/50の配分よりも4.6ポイントボラティリティが低い。

   $$w^{*}=\frac{0.00015264}{0.00056096}=0.2721\ \Rightarrow\ 27.2\%\,/\,72.8\%,\qquad \sigma(w^{*})=6.72\%,\qquad S=\frac{2.81\%}{6.72\%}=0.418$$

7. 次に、ツールは決して行わない入力値の不確実性の評価を行う。μ_sは客観的確定事実ではなく、ばらつきが22.351%である49個の年次リターンの平均値であるため、それ自体が標準誤差を伴う。μ_sを標準誤差1つ分だけ両側にずらして、同じ公式を解き直す。

   $$\mathrm{SE}(\mu_s)=\frac{\sigma_s}{\sqrt{n}}=\frac{22.351\%}{\sqrt{49}}=3.19\%\ \Rightarrow\ w^{*}\in[19.3\%,\ 33.4\%]$$