L2: 中等
統計学：データから比率へ
STATAP統計学は、一変数のデータを図に表すところから始まり、比率の推測に最も大きな単元を充てています。この章でも、データの図示、分布の特徴の記述を経て、標本比率を用いた信頼区間の推定と有意性検定へと進みます。その土台となる正規モデルと標本分布は、別の章度数から曲線へで扱います。
統計・ファイナンス
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章
データと推測
L2: 中等
データの「差」はいつ本物になるのか
STAT四つのツールが一つの問いを立てます。ただし、手がかりは段階的に減っていきます。まずは二つのグループ。次に、任意の数のグループ。さらには、平均値を一切含まない単なる度数データ。最後のツールに至っては、データが存在する前にその問いを投げかけるのです。
L2: 中等
事前確率とその由来
STATベイズの定理の計算そのものを疑う人はいません。問題となるのは事前確率です。最初の数字はどこからやってきたのか、誰がそれを選んだのか。ここにある三つのツールは、その疑問を簡単なものから順に紐解いてくれます。調べればわかる事前確率、目の前の装置が与えてくれる事前確率、そして誰も持っていない事前確率です。
L2: 中等
p < 0.05 が保証してくれないこと
STATp値が答えてくれるのは、事前に計画されたひとつの検定に対する、たったひとつの問いにすぎません。ところが実際の研究では、20もの検定を行い、集まってくるデータをその都度確認し、有意になった結果だけを公表してしまいがちです。そしてそのどれもが、p < 0.05 の持つ重みをすっかり変えてしまいます。ここにあるどのページでも、一見無害に思えるおなじみの振る舞いを取り上げ、それが支払わせる正確な代償を解き明かしていきます。
意思決定とリスク
L1: 基礎
得られた情報をもとに選ぶ
STAT直感どおりに選ぶと不利になる、二つの問題です。扉の問題では、ひとつの情報を受け取り、それがどれほど役立つかを判断します。その価値を決めるのは、目に見える状況よりも、司会者が従う規則です。候補者を選ぶ問題では、相手を一人ずつ見て判断し、いったん断ると後戻りはできません。どこで探すのをやめるかが問われます。
L2: 中等
公平なゲームが招く破産
STAT期待値が示すのは、大勢のプレイヤーについての平均です。一人ひとりは、自分の手持ちの資金で勝負します。公平なゲームでも、プレイヤーに有利なゲームでさえ、参加者のほとんどが破産することがあります。各ページでは、平均を淡い破線で描き、その平均を形づくる一人ひとりの行方を追います。
お金と投資
L2: 中等
時間の経過とお金の価値
MATH四つのツールが形作る、一つの概念。お金は時点が異なれば価値も変わるということ、そして繰り返される支払いは一つの数式に集約できるということです。ここにある各ステップは、次のステップへと特定の要素を確実に手渡していきます。
L3: 学部
リスクを測る
STAT全く同じ98年分の収益率を六つのツールで分析します。各ツールが導き出した特定の数値を、次へと順に引き渡していくのです。この六段階の手順が答えるのは、ある一つの問いです。投資における真のリスクとは何なのか。そして、投資について言われていることのうち、実際に検証できる部分はどれくらいあるのか。
数と代数
L1: 基礎
多くのデータを1つの数字で：要約統計
MATHここにある三つのツールは、ひとつの授業を形作ります。要約値とはいわば非可逆圧縮であり、どのように圧縮するかが、その要約が何を正しく伝えているかを決定づけます。それぞれのステップは、単一の数値による要約が抱える特有の限界を浮き彫りにし、その課題を次のステップへと手渡していくのです。
証明・数え上げ・ゲーム
L2: 中等
2つの値が衝突するとき
MATH誕生日問題は一見するとパーティーの余興のようですが、実は衝突について考察するための標準的な道具なのです。そして続く第2段階で、計算機科学者たちは別の名前で再びこの問題に出会うことになります。
線形代数とデータ
L3: 学部
データへの直線当てはめ
MATH散らばった点の集まりを、確かな根拠のある数値へと変える七つの道具。そこから、その数値がどうやって導かれたのか、どの程度信用できるのか、誰も正解を教えてくれない時に何が起きるのかを問いかけ、最後には、最初から確率でしかなかった予測をどう評価するのかへと向かいます。この道筋では統計学よりも幾何学を辿ります。幾何学こそが、統計を嘘のない誠実なものにしてくれるからです。
信号と情報
L3: 学部
フーリエ変換の実際
COMP信号は回転する矢印の足し合わせです。そして、そこから現実的な方法で情報を読み取ろうとすれば、教科書の公式には書かれていない何らかの代償を伴います。有限の窓は、そこに収まりきらない波をすべてのビンににじませてしまいます。窓を短くすれば時間は正確に捉えられますが、音の高さは犠牲になります。平均をとる操作もまた、固有の形を持ったフィルターにほかなりません。そして最後のページは、これらすべての計算が実用的な時間で処理できる理由についてです。
全プロセスの詳細解説
- 200 gまたは300 gの同じコーヒーの2つの瓶
- 7%で30年間の月額500の将来価値
- 200件中24件の経費精算に対する期待度数とカイ二乗寄与度
- Zを一定に保ったときの、400個のデータにおける相関係数−0.8871
- 3 シンボルのウィンドウ（50 シンボルのストリーム上をスライド）
- 1929–1932年の暴落の深さを定める4つの年間リターン
- このコーパスを77.39%カバーする500の漢字
- 平均値と中央値だけから求める平均未満の所得者割合
- 1年間における60% SPYと40% AGGの年間変動幅
- 8.44%の株式プレミアムと19.70%の標準偏差
- Q = 120 − 2Pに対する単位あたり6の税
- エネルギーを88.1%保持した際の3つの特異値と34.5%の誤差
- 3つのグループ、30の観測値、および1.33のF値
- 有病率0.1%における2回目の陽性結果
- p = 0.35での20回の試行におけるちょうど7回の成功
- 同じ誕生日を共有する部屋の中の23人
- 一年目に所有にかかる本当のコスト
- [0, 1]上の一様分布におけるn = 30の法則
- 手計算による2×3分割表の検定全体とp値
- 6 回連続の同一結果（公正なコインの 100 回のトス）
- 10個から3個を選ぶ場合と7個を選ぶ場合の答え
- 30年間における1パーセントポイントの金利の価値
- n = 30での95%信頼区間の見込み
- 出生数0.95の人口の増加が止まる移住率
これらのツールから生まれた記事
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Fitting the mean to your data costs exactly one observation
Everyone is told that the sample variance divides by n − 1 because a degree of freedom was consumed. That names the bookkeeping. The mechanism is that the mean was fitted to the data, and a fitted mean always makes the data look tighter — by one observation’s worth, at every sample size.
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You do not pay off a national debt, you outgrow it
For fourteen straight years the US debt got bigger and smaller at the same time. Which of those two things you notice depends entirely on what you divide by.
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The average return is the one number your money never earns
An average is a summary of years that already happened. Your money experiences the order they happened in, the risk that produced them, and the uncertainty around the average itself — and each of those costs something the average does not show.
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"Cuts your risk in half" can mean one person in a hundred
Relative risk sounds enormous and can be tiny; absolute risk sounds tiny and is what actually happens to you. The gap between the two is where most health reporting lives, and the fix is one subtraction.
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Run twenty tests on nothing at all, and one of them will be significant
p < 0.05 promises a 5% error rate on a single test. Run twenty and the chance of at least one false alarm is 64%. The fix is arithmetic; the hard part is that nobody counts the tests they did not report.
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Every group in the data trends down. The total trends up.
The pooled slope is +0.0928. Split the same rows by one extra column and the two groups slope at −0.5842 and −0.6109. Both descriptions are arithmetically correct, and only one of them answers your question.
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There are two regression lines, and R² is the gap between them
Fitting y against x and fitting x against y give two different lines through the same points. The ratio of their slopes is exactly R squared, which turns that familiar goodness-of-fit number into something you can see.
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Why a 99% busy system is not slightly worse than a 75% busy one
Queue length grows as one over the headroom you have left, so the last few percent of utilisation cost more than all the rest combined. This is why systems seem fine and then fail without an intervening warning.
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Randomness buys accuracy at a terrible exchange rate
A Monte Carlo estimate improves as the square root of the sample count, so every extra correct digit costs a hundred times the work. The strange part is that this rate holds whatever you happen to be simulating.
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Twenty-three people, and the coincidence you should expect
With 23 people in a room the odds of a shared birthday pass half. A room that size holds 253 pairs, and it is pairs that matter — the count grows with the square of the guest list.
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A 99% accurate test is usually wrong
Screen a rare condition with a 99% accurate test and 495 of every 594 positives are false alarms. How rare the condition is decides that, and it is the figure nobody quotes beside the accuracy.