課税段階：限界税率と実効税率

「2段階の税率」のプリセットにおいて、60,000の所得を持つ人に61,000への昇給が提示されました。実際に手元に残る金額を計算してください。その上で、このような論理が通用しなくなる所得を見つけてください。

1. 税率を適用する前に、まずは所得を分解します。最初の10,000は控除枠であり、無税です。

   $$10{,}000 \times 0 = 0$$

2. 10,000から40,000までの区間には20%が課税され、6,000になります。この計算ステップはよく省略されがちですが、そこから昇給への恐怖が生まれます。それ以上どれだけ稼いだとしても、この6,000という金額が6,000のままであることには変わりありません。

   $$(40{,}000 - 10{,}000) \times 0.20 = 6{,}000$$

3. 残りの部分、つまり40,000から60,000までの20,000に対しては40%が課税され、8,000になります。

   $$(60{,}000 - 40{,}000) \times 0.40 = 8{,}000$$

4. 税額は14,000、手取り額は46,000、実効税率は23.3%です。限界税率は40%になります。どちらの数字も間違っていませんが、同じ事実を指しているわけではありません。

   $$T = 14{,}000, \quad N = 46{,}000, \quad \frac{14{,}000}{60{,}000} = 23.3\%$$

5. 次に昇給分を考えます。追加された1,000は完全に一番上の階層に収まるため、400が課税され、600が手元に残ります。手取り額は46,000から46,600に増えます。

   $$1{,}000 \times (1 - 0.40) = 600 \;\Rightarrow\; 46{,}600$$

6. この600という数字は偶然の産物ではなく、一般的な法則に基づいています。手取り額は、1から限界税率を引いた分だけ増加するのです。ここではどの税率も100%を超えないため、手取り額は常に増加します。したがって、この税制において昇給が人を貧しくすることはあり得ません。

   $$\frac{dN}{dI} = 1 - r > 0 \quad (r < 1)$$

7. ここで「控除の段階的消失」をオンにして、所得を110,000まで動かしてみましょう。同じ1,000の追加で手元に残るのは400になります。ステップ6の論理が破綻したわけではありません。あれはあくまで表の中の税率に関する説明であり、60%はそこに含まれていないからです。

   $$0.40 + \tfrac{1}{2}(0.40) = 0.60$$

クリフ型プリセットに切り替える。収入は59,000で、2,000の昇給を提示される。実際に手元に残る額を求め、受けるべきかどうかを判断せよ。

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1. まず59,000の税額を、通常の累進課税と同様に区間ごとに分解する。最初の10,000は基礎控除で非課税、次の30,000には20%が適用され、残りの19,000には40%が適用される。手取りは45,400、実効税率は23.1%。

   $$T = 30{,}000(0.20) + 19{,}000(0.40) = 13{,}600 \quad\Longrightarrow\quad N = 45{,}400,\quad \frac{13{,}600}{59{,}000} = 23.1\%$$

2. 次の1単位の収入にも、直前と同じく40%が課される。100のうち60が手元に残る。限界税率は40.0%——このページ上で最も穏やかな数字である。

   $$\left.\frac{dN}{dI}\right|_{59{,}000} = 1 - 0.40 = 0.60$$

3. 60,000に達すると別のことが起きる。クリフにより、収入がしきい値に達した瞬間に2,000が一括で差し引かれる。按分も漸減もない。たった1単位の収入の差で、税額は13,600から16,000へ跳ね上がる。

   $$T(60{,}000) = 6{,}000 + 8{,}000 + 2{,}000 = 16{,}000 \quad\Longrightarrow\quad N = 44{,}000$$

4. 次の1,000に対する表示は、1刻みではなく1,000刻みで変化を測っており、−1,400を示す。2つの表示、同じ収入、しかし次の1,000を得る価値があるかどうかについて両者は食い違う。どちらも正しい。1刻みの測定では、1,000先にあるしきい値は見えない。

   $$44{,}000 - 45{,}400 = -1{,}400$$

5. 提示された昇給額は2,000で、収入は61,000になる。手取りは44,600、昇給前の45,400と比べて800少ない。働きが増えたにもかかわらず、年800の減収になる。

   $$N(61{,}000) = 44{,}600 \;<\; 45{,}400 \qquad (-800)$$

6. そこで、得になる昇給額を求める。しきい値を超えた領域では手取りは収入の10分の6に8,000を足したもので、これが45,400を上回るのは62,333.33のときである。条件を満たす最小の整数は62,334、すなわち3,334の昇給である。

   $$N(I) = 0.6\,I + 8{,}000 \;\ge\; 45{,}400 \quad\Longrightarrow\quad I \ge 62{,}333.33$$

7. 2つの分岐式がその理由を示している。しきい値以下では手取りは0.6I + 10,000、以上では0.6I + 8,000——傾きが等しく間隔2,000の平行な2直線である。傾き0.6では、2,000を登るのに3,333.33の収入が必要であり、これが穴の幅である。

   $$N(I) = 0.6\,I + 10{,}000 \;\; (I < 60{,}000), \qquad N(I) = 0.6\,I + 8{,}000 \;\; (I \ge 60{,}000)$$