Modelo Epidêmico SIR

Modele a dinâmica epidêmica: veja como a taxa de transmissão, a taxa de recuperação e o R0 moldam o surto.

Exemplo resolvido — Modelo Epidêmico SIR

Número básico de reprodução R₀	3.00
Limiar de imunidade de grupo	66.7%
Pico de infectados	3017 (30.2%)
Total de infectados	9412 (94.1%)

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

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Lição

A teoria — Modelo Epidêmico SIR

Uma epidemia tem dois finais diferentes, e esta página imprime ambos. O limiar de imunidade de grupo é o ponto em que cada infeção deixa de produzir mais do que um sucessor — onde a curva vira. A taxa de ataque é a fração da população que foi infetada quando tudo acabou mesmo. Não são o mesmo número, nunca são o mesmo número, e é da distância entre eles que trata esta lição.

O que significa cada símbolo

R₀: o número básico de reprodução, β/γ — quantas pessoas uma infeção contagiaria numa população ainda toda suscetível. Um quociente de duas taxas, portanto descreve um agente num contexto, nunca um agente sozinho.
s: a fração suscetível S/N. Quase tudo o que se segue é uma afirmação sobre esta grandeza e não sobre o tempo, e é por isso que os resultados não dependem da rapidez do surto.
H: o limiar de imunidade de grupo, 1 − 1/R₀: a fração imune à qual o crescimento para. A página imprime-o.
A: a taxa de ataque — a fração alguma vez infetada, assim que I volta a zero. A página também a imprime, como «total de infetados».

De onde vem a fórmula

Perguntemos quando o surto cresce. O compartimento infecioso varia segundo dI/dt = βIS/N − γI, que se fatoriza em I(βs − γ). Como I é positivo durante um surto, o sinal é decidido só pelo parêntesis: a infeção cresce enquanto βs > γ, ou seja enquanto s > γ/β = 1/R₀. Repare que é uma condição sobre a fração suscetível, sem tempo nenhum lá dentro.
O ponto de viragem é então exatamente s = 1/R₀, e a fração que já não é suscetível nesse instante vale 1 − 1/R₀. É o limiar de imunidade de grupo, e é o número que a página imprime — 33.3% na predefinição da gripe, com R₀ = 1.5. É também aí que a curva dos infeciosos atinge o máximo, o que se pode confirmar no gráfico: o pico não é um acaso de forma, é esta condição a cumprir-se.
Agora o passo que costuma saltar-se. No limiar dI/dt = 0 — mas isso não é I = 0. Continua ali uma população infeciosa grande, e cada um deles continua a contagiar à taxa βs. Menos de um sucessor cada, portanto os números descem; mas descer de um pico leva tempo, e cada uma dessas infeções cai em alguém. A epidemia não para no limiar: atravessa-o por inércia.
Para achar onde ela para de facto, é preciso eliminar o tempo. Divida a equação dos suscetíveis pela dos recuperados: dS/dR = −(β/γ)(S/N) = −R₀s, que integra em s = s₀·e^(−R₀·r), sendo r a fração recuperada. No fim não resta ninguém infecioso, logo r∞ = 1 − s∞, e substituindo obtém-se a relação de tamanho final: s∞ = s₀·e^(−R₀(1 − s∞)). A taxa de ataque é A = 1 − s∞. É transcendente — s∞ aparece dentro e fora da exponencial — logo não há forma fechada, e é por isso que esta página integra em vez de avaliar uma fórmula.
Ponha os dois números lado a lado e a diferença é o excesso. Com R₀ = 1.5 a página imprime um limiar de 33.3% e um total de 58.5%: o surto passa 25 pontos além do ponto em que deixou de crescer. Varra R₀ e o excesso não é monótono — sobe até cerca de 30 pontos perto de R₀ ≈ 2 e depois volta a cair, anulando-se quando R₀ → 1 porque quase nada se propaga, e também com R₀ grande porque limiar e taxa de ataque se comprimem ambos contra os 100%. Com R₀ = 5 são 80.0% contra 99.3%; com R₀ = 15, ao jeito do sarampo, 93.3% contra 100.0%. O pior excesso cai exatamente na gama da gripe pandémica e do SARS-CoV-2 inicial.

Como ler o que vê

Três curvas e três números. As curvas são os compartimentos; a que vale a pena seguir é a corcova dos infeciosos, cujo pico é o passo 2 a acontecer. Dos números, «pico de infetados» e «total de infetados» respondem a perguntas completamente diferentes: o primeiro diz quantos estão doentes ao mesmo tempo, que é o que importa aos hospitais, e o segundo quantos o estiveram em algum momento, que é o que a relação de tamanho final prevê. Na predefinição da gripe são 6.4% e 58.5%, e o primeiro nada diz sobre o segundo. O limiar de imunidade de grupo por cima não é nenhum dos dois: é onde o primeiro vira.

Pressupõe: Uma população fechada e bem misturada — sem nascimentos, sem mortes, sem viagens, e cada suscetível igualmente propenso a cruzar-se com cada infecioso. β e γ constantes, ou seja sem mudanças de comportamento, sem estações, sem intervenções a meio. Imunidade permanente, ninguém regressa ao grupo suscetível. E um modelo determinista, razão pela qual aqui um punhado de infeciosos desencadeia sempre um surto, quando na realidade números pequenos se extinguem muitas vezes por acaso mesmo com R₀ > 1.
Falha quando: A expressão «limiar de imunidade de grupo» convida a uma leitura que a matemática não sustenta: a de que uma epidemia entregue a si mesma acaba ali. Não acaba — acaba na taxa de ataque, que o passo 5 mostra poder estar 25 pontos acima. O limiar é um alvo de vacinação, um nível a que se pode chegar sem epidemia; alcançado por infeção, custa o limiar e o excesso por cima. Essa distinção não teve nada de académico em 2020. Mais duas cautelas para quem leve estes números a sério: a boa mistura é aqui a hipótese menos realista, e afrouxá-la em geral baixa tanto o limiar como a taxa de ataque, porque as pessoas muito ligadas são infetadas cedo e deixam de servir de ponte; e esta página parte de dez infeciosos em vez de uma semente infinitesimal, pelo que os seus 58.5% ficam mesmo acima dos 58.3% do limite clássico s₀ → 1.

R₀ é uma razão entre duas taxas, portanto nunca é uma propriedade só do patógeno

O modelo SIR divide a população em Suscetíveis, Infetados e Recuperados. A dinâmica é regida por equações diferenciais ordinárias não lineares: dS/dt = -βIS/N e dI/dt = βIS/N - γI. O número básico de reprodução R₀ = β/γ dita o progresso epidémico antes de se atingir a imunidade de grupo.

Por que os surtos param antes de todos adoecerem

A curva de infecção sobe, atinge um pico e depois cai — mas não porque o patógeno desaparece. Ela cai porque tanta gente já foi infectada que o vírus passa a esbarrar constantemente em pessoas que já são imunes. Por isso uma epidemia se extingue muito antes de alcançar todos: com R₀ = 1.5, apenas cerca de 58% da população chega a ser infectada, não 100%.

O teorema do limiar veio de um químico cego

O modelo SIR foi publicado em 1927 por William Kermack e Anderson McKendrick. Três anos antes, uma explosão de laboratório havia deixado Kermack completamente cego aos 26 anos — ainda assim, ele ajudou a deduzir o teorema do limiar epidêmico, resolvendo boa parte da matemática de cabeça, segundo relatos. O artigo deles ficou quase esquecido por décadas antes de se tornar um alicerce da epidemiologia moderna.

Problema resolvido na íntegra

Uma infeção com R₀ = 3 a propagar-se para além da fração imune 5 passos
Uma infecção tem R₀ = 3. Determine a fração que precisa estar imune para interromper a sua propagação — e mostre que a epidemia continua a crescer além desse ponto.
1. R₀ é o número médio de novos casos que um caso produz numa população totalmente suscetível: a taxa de transmissão dividida pela taxa de recuperação. É a razão entre duas taxas, razão pela qual não tem unidades nem escala de tempo.
  
  $R_0=\frac{\beta}{\gamma}=3.00$
2. Um surto cresce enquanto cada caso se multiplica. Assim que parte da população fica imune, apenas a parcela suscetível conta, portanto o crescimento continua exatamente enquanto essa parcela exceder 1/R₀.
  
  $\frac{dI}{dt}>0\iff R_0\frac{S}{N}>1\iff \frac{S}{N}>\frac{1}{R_0}$
3. Inverta o raciocínio. O simulador acima exibe esse limiar, e ele é toda a base da política de vacinação — você nunca precisa atingir todas as pessoas.
  
  $\text{herd immunity}=1-\frac{1}{R_0}=1-\frac{1}{3}=66.7\%$
4. Mas o limiar é onde o crescimento para, não onde a epidemia para. Pessoas infectadas ainda estão contagiosas nesse momento, portanto os casos continuam a se acumular além dele.
  
  $I_{\max}=1-\frac{1+\ln R_0}{R_0}=1-\frac{1+1.0986}{3}=30.0\%$
5. Esse excesso é a razão pela qual o pico e o limiar são números diferentes, e por que uma epidemia sem mitigação termina com muito mais do que a fração do limiar infectada.
  
  $R_0=15\ (\text{measles}):\ 1-\tfrac{1}{15}=93.3\%$
Resposta

66.7%. O pico ocorre com cerca de 30% de infectados ao mesmo tempo, e — o ponto mais facilmente despercebido — a epidemia continua além do limiar em vez de parar aí, de modo que o tamanho final ultrapassa significativamente esse valor. A imunidade de rebanho é uma afirmação sobre o momento em que a curva muda de direção, não sobre o fim do surto. E como o limiar é 1 − 1/R₀, ele é brutalmente sensível no topo: o sarampo, com R₀ ≈ 15, exige 93.3% de cobertura, razão pela qual o sarampo retorna primeiro sempre que as taxas de vacinação caem.

$\text{threshold}=1-\frac{1}{R_0}\qquad R_0=3\Rightarrow 66.7\%$

Percurso de aprendizagem

Crescimento limitado

Referências (3)

The compartment model and the threshold theorem this tool implements: W. O. Kermack & A. G. McKendrick, "A contribution to the mathematical theory of epidemics." Proceedings of the Royal Society A 115, 700–721, 1927.
The lesson's step 4 — where the transcendental final-size relation comes from: J. C. Miller, "A Note on the Derivation of Epidemic Final Sizes." Bulletin of Mathematical Biology 74(9), 2125–2141, 2012.
Thresholds, final sizes and the overshoot, treated together: H. W. Hethcote, "The Mathematics of Infectious Diseases." SIAM Review 42(4), 599–653, 2000.

Pela equipa 7 Raven Room · Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.