Visualizador do método de Euler

altere o tamanho do passo e observe o erro global se acumular

Exemplo resolvido — Visualizador do método de Euler

Euler y(xn)	7.000266
Exato y(xn)	7.000671
Erro global absoluto	0.000405
Erro / tamanho do passo	0.002025
Erro final com h/2	0.000234
Razão de erro	1.731285
Multiplicador de Euler	0.8

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

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Reduzir o passo à metade só reduz o erro à metade

Euler avança ao longo da reta tangente: y_n+1 = y_n + h · f(x_n, y_n). O erro de um passo é aproximadamente h²/2 vezes a segunda derivada da solução. É pequeno. No entanto, reduzir h também multiplica o número de passos — são 1/h num intervalo fixo —, pelo que esses erros de ordem h² se acumulam num total proporcional a h, e não a h². É esse expoente de h que caracteriza a primeira ordem e determina o preço da precisão: cada nova casa decimal correta exige dez vezes mais cálculos.

Seguir a inclinação passo a passo

O método de Euler é a aproximação honesta mais simples: a partir do ponto atual, siga na direção em que a equação indica que a curva avança, percorra uma pequena distância h, pare e ajuste a direção. A curva exata continua a mudar de direção; um passo em linha reta ignora essa curvatura e afasta-se dela. O desvio tem sempre o mesmo sentido: fica abaixo de uma curva com concavidade voltada para cima e acima de uma curva com concavidade voltada para baixo. As sete configurações disponíveis obedecem a esta regra. O painel apresenta duas vezes o erro no ponto final, para h e para h/2, deixando visível a razão entre ambos.

Onde o número e se esconde em Euler

Aplique o método de Euler à equação y' = y partindo de y = 1 e cada passo apenas multiplica por (1 + h). Dê N passos de tamanho h = 1/N no intervalo [0, 1] e o resultado é exatamente (1 + 1/N)^N — a fórmula dos juros compostos. À medida que N cresce, ela converge para e ≈ 2.71828, de modo que os toscos passos retos de Euler reconstroem silenciosamente a capitalização contínua e a definição da exponencial.

MÉTODO DE EULER — O PASSO DECIDE SE A RESPOSTA SIGNIFICA ALGO

Em que caso de tamanho de passo você está?

Euler pega a inclinação onde está parado e caminha em linha reta por h antes de olhar de novo: yₙ₊₁ = yₙ + h·f(xₙ, yₙ). Tudo o que dá errado tem a ver com h. Pequeno o bastante e o erro encolhe proporcionalmente; grande demais e a resposta oscila ou explode; e nenhum h protege você de uma solução que corre para o infinito enquanto os números na tela seguem calmos.

Um passo sensato — o erro existe, mas é pequeno y_n+1 = y_n + h f(x_n, y_n)

Passo grande demais — a resposta oscila em torno da verdade |1 + hλ| > 1

Um passo fino — você paga em trabalho, não em exatidão ε ∝ h

A solução exata escapa para o infinito — e Euler não percebe y′ = y² ⇒ y → ∞, x < ∞

Um passo sensato — o erro existe, mas é pequeno

O que você sabe: Uma equação suave e estável com um passo bem dentro do limite de estabilidade. A curva numérica acompanha a exata e fica ligeiramente atrás.

Passo: y_n+1 = y_n + h f(x_n, y_n)

Exemplo resolvido: y′ = x − y a partir de y(0) = 1 com h = 0,2 → em x = 2 Euler dá 1,2147 contra o exato 1,2707, um erro de 0,056

Abrir este caso: linear estável

Um passo sensato — o erro existe, mas é pequeno. Os passos retos ficam perto da curva verdadeira e desviam sempre para o mesmo lado. Uma equação suave e estável com um passo bem dentro do limite de estabilidade. A curva numérica acompanha a exata e fica ligeiramente atrás. — Os passos retos ficam perto da curva verdadeira e desviam sempre para o mesmo lado.

Passo grande demais — a resposta oscila em torno da verdade

O que você sabe: Uma equação de decaimento em que h passou do ponto no qual um passo ultrapassa o equilíbrio. A solução exata nunca troca de sinal; a numérica troca.

Passo: |1 + hλ| > 1

Exemplo resolvido: y′ = −2y com h = 0,6 → 1, depois −0,2; 0,04; −0,008: o primeiro passo já salta além do zero, enquanto o valor exato em x = 0,6 é 0,301

Abrir este caso: decaimento, h grosseiro

Passo grande demais — a resposta oscila em torno da verdade. Um passo ultrapassa o eixo, então os números trocam de sinal enquanto a solução real nunca troca. Uma equação de decaimento em que h passou do ponto no qual um passo ultrapassa o equilíbrio. A solução exata nunca troca de sinal; a numérica troca. — Um passo ultrapassa o eixo, então os números trocam de sinal enquanto a solução real nunca troca.

Um passo fino — você paga em trabalho, não em exatidão

O que você sabe: A mesma equação com um passo bem menor. O erro cai proporcionalmente a h e o número de passos sobe na proporção inversa.

Passo: ε ∝ h

Exemplo resolvido: y′ = −2y em x = 0,6: com h = 0,1 o erro é 0,039, com h = 0,05 é 0,019 — metade do passo, metade do erro, o dobro de passos

Abrir este caso: decaimento, h fino

Um passo fino — você paga em trabalho, não em exatidão. Reduzir o passo à metade corta pela metade a distância até a curva exata e dobra o número de passos. A mesma equação com um passo bem menor. O erro cai proporcionalmente a h e o número de passos sobe na proporção inversa. — Reduzir o passo à metade corta pela metade a distância até a curva exata e dobra o número de passos.

A solução exata escapa para o infinito — e Euler não percebe

O que você sabe: Uma equação não linear cuja solução verdadeira tem assíntota vertical num x finito. A solução numérica passa direto e continua devolvendo números comuns.

Passo: y′ = y² ⇒ y → ∞, x < ∞

Exemplo resolvido: y′ = y² a partir de y(0) = 0,18 explode em x = 1/0,18 = 5,56 e, ainda assim, Euler com h = 0,18 relata um confortável 0,68 em x = 4,32, onde o valor verdadeiro já é 0,81

Abrir este caso: crescimento quadrático

A solução exata escapa para o infinito — e Euler não percebe. A curva verdadeira fica vertical num x finito; a numérica passa direto, tranquila. Uma equação não linear cuja solução verdadeira tem assíntota vertical num x finito. A solução numérica passa direto e continua devolvendo números comuns. — A curva verdadeira fica vertical num x finito; a numérica passa direto, tranquila.

Referências (1)

The method, as Euler set it out: L. Euler, Institutiones calculi integralis, Volume I. Academia Imperialis Scientiarum, Saint Petersburg, 1768.

Intuição errada comum

Mais passos não garantem precisão por si só. Se h ainda for grande demais para a curvatura, Euler continua enviesado.

Problema resolvido na íntegra

A resposta de Euler em x = 8 para y′ = x − y 5 passos
Escreva a resposta de Euler em x = 8 sob a forma fechada, sem dar um único passo, e depois explique por que razão reduzir h para metade não reduz o erro para metade. Trata-se de y′ = x − y com início em (0, 1), h = 0,2 e 40 passos.
1. Comece pela resposta a que Euler pretende chegar. A equação é linear, x − 1 é uma solução particular, e a condição inicial fixa em 2 o coeficiente da parte decrescente.
  
  $y'=x-y,\ y(0)=1\ \Longrightarrow\ y=x-1+2e^{-x},\qquad y(8)=7+2e^{-8}=7.000671$
2. A regra de Euler nesta equação não é uma complicação não linear genérica — é uma recorrência afim. E o mesmo x − 1 que resolveu a equação diferencial resolve a recorrência exatamente, passo a passo. Euler obtém a parte linear da resposta com inteira exatidão.
  
  $y_{n+1}=y_n+h(x_n-y_n)=(1-h)y_n+hx_n,\qquad y_n=x_n-1\ \Longrightarrow\ y_{n+1}=x_n-1+h=x_{n+1}-1$
3. Assim, todo o erro reside no que resta, e o que resta é uma progressão geométrica de razão 1 − h. Quarenta fatores de 0,8 chegam ao ponto final do painel sem ter sido efetuado um único passo.
  
  $y_n=x_n-1+2(1-h)^n\quad\Longrightarrow\quad y_{40}=7+2(0.8)^{40}=7+2.658456\times10^{-4}=7.000266$
4. Coloque agora as duas partes decrescentes lado a lado: a exata é e^−x, a de Euler é (1 − h)^x/h. Ambas são exponenciais em x, e δ é a diferença total entre as suas taxas. A sua série começa em xh/2 — esse h inicial é todo o conteúdo da expressão “primeira ordem”.
  
  $(1-h)^{x/h}=e^{-x-\delta},\qquad \delta=x\left(\frac{-\ln(1-h)}{h}-1\right)=\frac{xh}{2}+\frac{xh^{2}}{3}+\cdots=0.925742$
5. O erro é o que sobrevive quando se subtraem as duas exponenciais. A primeira ordem prevê que reduzir h para metade reduza o erro para metade, pelo que a razão deveria ser 2.
  
  $E_h=2e^{-x}\left(1-e^{-\delta}\right):\ \ E_{0.2}=0.000405,\ \ E_{0.1}=0.000234,\qquad \frac{E_{0.2}}{E_{0.1}}=\frac{1-e^{-0.925742}}{1-e^{-0.428841}}=\frac{0.603763}{0.348737}=1.731285$
Resposta

Euler termina em 7,000266 contra um valor exato de 7,000671, um erro global de 0,000405; reduzindo o passo para metade, o erro cai apenas para 0,000234, uma razão de 1,731285 quando a primeira ordem prometia 2. A promessa não foi quebrada — simplesmente ainda não começou. Exige que δ ≈ xh/2 seja pequeno, e para x = 8 com h = 0,2 esse número é 0,8, pelo que o termo linear no erro ainda está a competir com todos os termos subsequentes; elevar a razão observada para 1,9933 exige h = 0,005, o que corresponde a 1600 passos ao longo das mesmas oito unidades. A forma fechada revela a leitura mais rigorosa: Euler não está a aproximar esta solução, está a resolver exatamente uma equação diferente, com um decaimento geométrico de 0,8ⁿ em substituição de e^−x — e 0,8 é o multiplicador 1 + hλ que o painel já apresenta. Medido apenas nessa parte decrescente, Euler erra por 60%. O erro global parece insignificante apenas porque a parte em que erra praticamente desapareceu quando x atinge 8.

$\frac{E_h}{E_{h/2}}=\frac{1-e^{-\delta_h}}{1-e^{-\delta_{h/2}}}\longrightarrow2\quad(\delta\ll1),\qquad \delta_h\approx\frac{xh}{2}=0.8$

Percurso de aprendizagem

Três métodos numéricos e onde cada um falha

Pela equipa 7 Raven Room · Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.