Área e perímetro

Carregue a predefinição trapezium: lados paralelos de 10 m e 6 m, com 4 m de um ao outro, lendo o u da ferramenta como o seu metro. Calcule a área do canteiro e o rebordo que ele consome. Decida depois se o que lhe está a custar área de plantação é a forma ou o tamanho, e se construir o canteiro uma vez e meia maior resolveria o problema.

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1. Os dois lados paralelos têm comprimentos diferentes, pelo que a primeira tarefa é encontrar a largura única que faria o mesmo trabalho. Corte o triângulo retângulo de uma das pontas e encoste-o à outra: o entalhe que deixa é exatamente a forma que preenche, e o que sobra é um retângulo com 8 m de largura e 4 m de altura. O lado oblíquo nunca entra na área.

   $$\frac{a+b}{2}=\frac{10+6}{2}=8\ \mathrm{m},\qquad A=8\times4=32.00\ \mathrm{m^2}$$

2. O rebordo são os quatro lados, e dois deles são inclinados. O canteiro perde 4 m de largura ao longo da altura, 2 m em cada ponta, pelo que cada lado inclinado é a hipotenusa de um triângulo com 4 m de altura e 2 m de base: √20, pouco menos de 4,5 m. O cartão do perímetro indica 24,94 m.

   $$\frac{a-b}{2}=2,\quad c=\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{20}=4.4721,\qquad P=10+6+2c=24.94\ \mathrm{m}$$

3. O terceiro cartão, a compacidade, indica 0,646. Q define-se como 4πA/P², o que parece uma pontuação sem nada por trás até perguntarmos o que é P²/4π por si só.

   $$Q=\frac{4\pi A}{P^2}=\frac{4\pi\times32.00}{24.94^2}=0.646$$

4. É a área de um círculo feito com o mesmo rebordo. Endireite os 24,94 m, feche-os num anel, e o raio é P/2π = 3,9700 m, encerrando 49,51 m². Logo, Q é a área deste canteiro dividida pela desse círculo, e 0,646 diz que o trapézio fica abaixo de dois terços daquilo que o seu próprio rebordo consegue conter.

   $$r_{\circ}=\frac{P}{2\pi}=\frac{24.9443}{2\pi}=3.9700\ \mathrm{m},\qquad A_{\circ}=\pi r_{\circ}^2=\frac{P^2}{4\pi}=49.51\ \mathrm{m^2}$$

5. A diferença são 17,51 m² de canteiro que pagou e não pode plantar. Vire a frase do avesso e diz o mesmo: um canteiro circular com os seus 32,00 m² precisa de 20,05 m de rebordo, menos 4,89 m, cerca de um quinto do rolo.

   $$A_{\circ}-A=49.51-32.00=17.51\ \mathrm{m^2},\qquad P_{\circ}=2\sqrt{\pi A}=2\sqrt{32\pi}=20.05\ \mathrm{m}$$

6. O tamanho não ajuda. Ponha k em 1,5 e o canteiro chega aos 72,00 m² por trás de 37,42 m de rebordo, e Q não se mexe, porque o k² que a área ganha é anulado pelo k² que vem de elevar o perímetro ao quadrado. Ampliar esta forma até igualar os 49,51 m² do círculo exigiria k = 1,2439 e 31,03 m de rebordo, mais 6,08 m do que o círculo precisa para a mesma área.

   $$k=1.5:\ P'=37.42,\ A'=72.00,\quad Q'=\frac{4\pi k^2A}{(kP)^2}=Q=0.646;\qquad k=\sqrt{\tfrac{49.51}{32.00}}=1.2439\Rightarrow P'=31.03\ \mathrm{m}$$