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Teoremas de ângulos na circunferência

Fixe uma corda, mova pontos na circunferência e veja uma escolha escondida — qual arco é intercetado — gerar quatro teoremas clássicos.

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O centro vê o dobro do que vê a circunferência

Una O a A, B e P. Cada par de raios forma um triângulo isósceles, logo os ângulos da base são iguais. Ao seguir esses ângulos em torno de P, o ângulo em O fica exatamente duas vezes ∠APB. O arco verde é essencial: o ângulo ao centro deve apoiar-se no mesmo arco e pode por isso ser reflexo, não o menor AOB.

A invariância resiste ao movimento, não à passagem por um extremo

Mantenha A e B fixos e deslize P num arco. O triângulo muda, mas ∠APB não, pois continua a intercetar o mesmo arco oposto. Ao atravessar A ou B, o arco intercetado muda para o resto do círculo. O novo ângulo é suplementar do antigo — uma mudança de significado numa fronteira, não um erro numérico.

Tales é o caso especial de uma linha

Faça AB um diâmetro. O ângulo ao centro correspondente é então um ângulo raso de 180°, e o ângulo em P vale metade: 90°. A recíproca também funciona: os três vértices de um triângulo retângulo pertencem ao círculo cujo diâmetro é a hipotenusa. O ponto médio da hipotenusa fica assim à mesma distância dos três vértices.

Um quadrilátero cíclico consiste em dois arcos que formam uma circunferência completa

Coloque P e Q em lados opostos de AB. ∠APB vê um arco de A a B e ∠AQB vê o outro. Os arcos totalizam 360°, logo os meios-ângulos totalizam 180°. Esse é todo o teorema do quadrilátero cíclico. A recíproca também é útil: se os ângulos opostos somam 180°, os quatro vértices estão numa circunferência.

Problemas resolvidos na íntegra

  1. Provar que o centro vê o dobro, com uma linha que a ferramenta nunca desenha 6 passos

    A e B estão, respetivamente, nas posições 330° e 110° da circunferência, e P está em 220°. O painel indica que o ângulo em P mede 70° e que o ângulo ao centro mede 140°. Demonstre que o segundo é o dobro do primeiro, em vez de se limitar a ler os valores, e determine depois o que essa demonstração pressupõe, sem o explicitar, sobre a posição de P.

    O A B P D α β 2α 2β

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    1. Meça primeiro o arco. Indo no sentido anti-horário de A a 330° até B a 110° percorre-se 140°, e esse arco é aquele em que P não se encontra. O ângulo ao centro que se apoia nele é 140° por definição, porque um ângulo ao centro é simplesmente o seu arco.

      AB⌢=110∘−330∘  (mod 360)=140∘\overset{\frown}{AB} = 110^\circ - 330^\circ \;(\text{mod } 360) = 140^\circ

    2. Agora a construção, e ela é toda a demonstração: trace a reta de P a passar pelo centro O e deixe-a sair do círculo em D. Nada mais é adicionado.

    3. OA e OP são ambos raios, pelo que o triângulo OAP é isósceles e os ângulos em A e em P são iguais. Chame α a esse ângulo, de modo que ∠OPA = ∠OAP = α.

      OA=OP=r  ⇒  ∠OPA=∠OAP=αOA = OP = r \;\Rightarrow\; \angle OPA = \angle OAP = \alpha

    4. O ângulo ∠AOD é externo ao triângulo OAP no vértice O, e um ângulo externo é igual à soma dos dois ângulos internos não adjacentes: ∠AOD = α + α = 2α.

      ∠AOD=α+α=2α\angle AOD = \alpha + \alpha = 2\alpha

    5. Aplicando o mesmo argumento ao outro lado, obtemos ∠DOB = 2β, em que β = ∠OPB. Podemos somar os dois resultados enquanto o prolongamento de OP encontra a circunferência no arco AB: ∠AOB = 2α + 2β = 2(α + β), e α + β é precisamente ∠APB.

      ∠AOB=2α+2β=2(α+β)=2 ∠APB\angle AOB = 2\alpha + 2\beta = 2(\alpha + \beta) = 2\,\angle APB

    6. Assim, o ângulo ao centro é o dobro do ângulo inscrito; neste caso, 2 × 70° = 140°. Repare no que a demonstração utilizou: dois raios, um triângulo isósceles de cada lado e um ângulo externo. Não foi preciso conhecer comprimentos, usar coordenadas nem medir o arco.

      2×70∘=140∘2 \times 70^\circ = 140^\circ

    Resposta

    140° = 2 × 70°, e o painel indica 70,0000° onde quer que coloque P. Desloque P de 150° para 290°: os dois triângulos isósceles mudam de forma em sentidos opostos, e os seus ângulos da base compensam exatamente a diferença. É assim que um invariante se revela por dentro. Depois dos 290°, a figura muda e a demonstração exige um segundo caso. O prolongamento de OP passa então pela circunferência para além de B, em vez de a encontrar no arco AB; os ângulos da base passam a ser 75° e 5°, e os dois ângulos ao centro têm de ser subtraídos, não somados. O ângulo em P permanece inalterado. O teorema de Tales segue imediatamente: se AB for um diâmetro, o ângulo ao centro é um ângulo raso, de 180°, pelo que todos os ângulos inscritos medem 90° e qualquer triângulo inscrito numa semicircunferência é retângulo, seja qual for a posição do vértice. Não se trata de um teorema distinto, mas deste mesmo resultado aplicado a um arco que ocupa metade da circunferência. A linha auxiliar do desenho mostra aquilo que o painel não consegue mostrar: o painel representa os ângulos; a linha revela a razão.

  2. Onde se posicionar para obter o ângulo mais amplo 7 passos

    Os dois pontos marcados enxergam a corda AB sob um ângulo de 60°. Determine o que veria um ponto fora da circunferência. Depois disso, decida onde um chutador se deve posicionar para ter a visão mais ampla das traves.

    Abrir este problema na ferramenta

    1. Os pontos A e B situam-se a 320° e 80°. O arco entre eles, onde P não se encontra, mede assim 120°. A sua metade é 60°. O ponto Q apresenta o mesmo valor por estar apoiado no mesmo arco que P.

      AB⌢=80∘−320∘  (mod 360)=120∘⟹∠APB=∠AQB=60∘\overset{\frown}{AB} = 80^\circ - 320^\circ \;(\mathrm{mod}\ 360) = 120^\circ \quad\Longrightarrow\quad \angle APB = \angle AQB = 60^\circ

    2. Passemos à própria corda. O ângulo central correspondente a este arco é o dobro do inscrito. Uma corda mede 2R vezes o seno da metade do ângulo central. Teremos então AB = 2 sen 60° = √3 nesta circunferência de raio 1.

      AB=2Rsin⁡(∠APB)=2sin⁡60∘=3=1.7321(R=1)AB = 2R\sin(\angle APB) = 2\sin 60^\circ = \sqrt{3} = 1.7321 \qquad (R = 1)

    3. Leia isto de trás para frente. Fixe a corda. Deixe a circunferência variar. O seno do ângulo inscrito é AB ÷ 2R. Consequentemente, uma circunferência menor a passar por A e B resulta num ângulo maior. A menor de todas tem AB como diâmetro e produz 90°. A circunferência escolhida para o posicionamento decide tudo o resto.

      sin⁡(∠APB)=AB2R⟹R smaller⇒∠APB larger,R=AB2⇒∠APB=90∘\sin(\angle APB) = \frac{AB}{2R} \quad\Longrightarrow\quad R \ \text{smaller} \Rightarrow \angle APB \ \text{larger}, \qquad R = \tfrac{AB}{2} \Rightarrow \angle APB = 90^\circ

    4. Fora da circunferência, o ângulo já não é de 60°. Visto do interior, as duas retas cortam também um segundo arco. O ângulo passa a ser a metade da soma de ambos. Um pouco mais para o lado de dentro do arco original, a medida ronda os 71,6°. Do lado de fora corresponde à metade da diferença, aproximadamente 51,4°. A circunferência é a fronteira exata entre ver mais e ver menos.

      inside: 12 ⁣(AB⌢+CD⌢)=71.6∘  >  60∘  >  51.4∘=12 ⁣(AB⌢−CD⌢): outside\text{inside: } \tfrac12\!\left(\overset{\frown}{AB} + \overset{\frown}{CD}\right) = 71.6^\circ \;>\; 60^\circ \;>\; 51.4^\circ = \tfrac12\!\left(\overset{\frown}{AB} - \overset{\frown}{CD}\right) \text{: outside}

    5. Isto resolve o caso do chute. As traves de rugby distam 5,6 m uma da outra. Um try é marcado a 10 m da trave mais próxima. A partir da base da linha de recuo, as traves encontram-se a 10 m e 15,6 m de distância. Qualquer ponto que as veja sob o mesmo ângulo pertencerá a uma mesma circunferência que passe por ambas.

      a=10 m,b=15.6 m,tan⁡∠=(b−a) xx2+aba = 10\ \mathrm{m},\quad b = 15.6\ \mathrm{m},\qquad \tan\angle = \frac{(b-a)\,x}{x^{2}+ab}

    6. Cada ponto da linha de recuo assenta em exatamente uma dessas circunferências. O ângulo atinge o máximo na menor circunferência que consiga alcançar a linha. Trata-se daquela que lhe é tangente. O ponto de contacto define uma tangente traçada a partir da base. O comprimento de uma tangente equivale à média geométrica dos dois segmentos da secante. O cálculo é x² = 10 × 15,6 = 156.

      x2=FA⋅FB=ab=156⟹x∗=156=12.49 mx^{2} = FA \cdot FB = ab = 156 \quad\Longrightarrow\quad x^{*} = \sqrt{156} = 12.49\ \mathrm{m}

    7. Temos então x = √156 = 12,49 m, local onde o ângulo atinge 12,64°. Na marca dos 10 m mede 12,34°. Aos 20 m já caiu para 11,39°. Quando chega aos 30 m, desce para 9,04°.

      tan⁡∠max⁡=b−a2ab=5.624.98=0.2242⇒12.64∘;∠(10)=12.34∘, ∠(20)=11.39∘, ∠(30)=9.04∘\tan\angle_{\max} = \frac{b-a}{2\sqrt{ab}} = \frac{5.6}{24.98} = 0.2242 \Rightarrow 12.64^\circ; \qquad \angle(10) = 12.34^\circ,\ \angle(20) = 11.39^\circ,\ \angle(30) = 9.04^\circ

    Resposta

    Posicione-se com 12,49 m de recuo. Trata-se da média geométrica das duas distâncias, e não da sua média aritmética de 12,8. Afastar-se mais desperdiça ângulo de forma tão garantida como ficar perto demais. O máximo ocorre num verdadeiro ponto interior e não num dos extremos. Os 12,8 m que não usou não representam um valor perdido. São precisamente o raio da circunferência onde acabou de se colocar. Tudo isto corresponde ao teorema do arco capaz interpretado ao inverso. Em vez de calcularmos o ângulo visto por um ponto sobre a circunferência, procuramos descobrir que circunferência a passar por A e B interceta o exato lugar onde nos encontramos.

    x∗=ab=12.49 m (geometric mean),R=a+b2=12.8 m (arithmetic mean)x^{*} = \sqrt{ab} = 12.49\ \mathrm{m} \ \text{(geometric mean)}, \qquad R = \frac{a+b}{2} = 12.8\ \mathrm{m} \ \text{(arithmetic mean)}

Percurso de aprendizagem

As regras do triângulo e de onde vêm

Referências (2)
  • the central-angle, same-segment, cyclic-quadrilateral and semicircle theorems Euclid. Elements, Book III, Propositions 20, 21, 22 and 31.
  • a modern synthetic-geometry treatment of circle theorems Coxeter, H. S. M. and Greitzer, S. L. (1967). Geometry Revisited. Mathematical Association of America.

· Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.