Combinação de dois sólidos

Ao cortar dois sólidos pelo mesmo plano horizontal, a secção da intersecção coincide com a intersecção das secções; o mesmo vale para a união e para a diferença. O volume de qualquer combinação resume-se a uma integral das áreas das fatias, e aqui calculamo-lo para quatro pares de sólidos com soluções clássicas.

União	$V(A\cup B)=V(A)+V(B)-V(A\cap B)$
Sólido comum a dois cilindros perpendiculares	$V=\tfrac{16r^{3}}{3}$
Anel de altura h	$V=\tfrac{\pi h^{3}}{6}$

Exemplo resolvido — Combinação de dois sólidos

Fatia de A em z	3,4641
Fatia de B em z	3,4641
Fatia de A ∩ B em z	3
Fatia da combinação em z	3
Volume de A	6,2832
Volume de B	6,2832
Volume de A ∩ B	5,3333
Volume da combinação	5,3333

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

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Lição

A teoria — Combinação de dois sólidos

O volume de uma combinação de dois sólidos (seja a intersecção A ∩ B, a união A ∪ B ou a diferença A ∖ B) obtém-se integrando as áreas das suas fatias; em cada cota, a secção da combinação é a mesma operação aplicada às secções de cada sólido.

O que significa cada símbolo

A(z), B(z): as áreas das fatias dos dois sólidos à altura z
S(z): a área da fatia da combinação à altura z

De onde vem a fórmula

Corte ambos os sólidos à mesma cota. Um ponto à altura z pertence a A ∩ B precisamente quando se encontra em ambas as fatias; logo, a secção da intersecção é a intersecção das secções. A fatia da união contabiliza a região comum apenas uma vez.
$\begin{aligned}(A\cap B)_z&=A_z\cap B_z\\ S_{A\cup B}(z)&=A(z)+B(z)-(A\cap B)(z)\end{aligned}$
Integre. O volume é a integral de S(z). Integrar termo a termo a área da união estende de imediato essa mesma regra aos volumes.
$\begin{aligned}V(A\cup B)&=\int\bigl(A+B-(A\cap B)\bigr)\,dz\\&=V(A)+V(B)-V(A\cap B)\end{aligned}$

Pressupõe: A área de cada fatia expressa-se por uma fórmula em toda a extensão. Onde a expressão algébrica muda de regime, como em z = ±h/2 na esfera perfurada, decompõe-se o intervalo de integração.

Problemas resolvidos na íntegra

Dois cilindros perpendiculares 2 passos
Dois cilindros de raio r cruzam-se perpendicularmente com eixos concorrentes. Determine o volume do sólido comum a ambos.

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1. À cota z, cada cilindro projeta uma faixa de meia-largura √(r² − z²), e o cruzamento de ambas forma um quadrado:
  
  $\begin{aligned}s&=2\sqrt{r^{2}-z^{2}}\\ S(z)&=s^{2}=4\left(r^{2}-z^{2}\right)\end{aligned}$
2. Integre de z = −r a z = r:
  
  $\begin{aligned}V&=\int_{-r}^{r}4\left(r^{2}-z^{2}\right)dz\\&=4\left(2r^{3}-\tfrac{2r^{3}}{3}\right)=\tfrac{16r^{3}}{3}\end{aligned}$
Resposta

16r³/3, que vale 5,3333 para r = 1.

$V=\tfrac{16r^{3}}{3},\qquad r=1:\ V\approx5{.}3333$
Uma esfera perfurada 3 passos
Perfura-se o centro de uma esfera de raio 5 de modo a deixar um anel de altura 6. Calcule o volume desse anel.

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1. A meia-altura do anel é 3, pelo que o raio do furo é
  
  $a=\sqrt{5^{2}-3^{2}}=4$
2. Para −3 ≤ z ≤ 3, a secção é uma coroa circular de raio interno 4 e raio externo √(25 − z²):
  
  $\begin{aligned}S(z)&=\pi\left(25-z^{2}\right)-\pi\cdot4^{2}\\&=\pi\left(9-z^{2}\right)\end{aligned}$
3. Integrando:
  
  $\begin{aligned}V&=\int_{-3}^{3}\pi\left(9-z^{2}\right)dz\\&=\pi\left(54-18\right)=36\pi\end{aligned}$
Resposta

36π ≈ 113,0973.

$V=36\pi\approx113{.}0973$
Por que razão o raio da esfera desaparece 3 passos
Demonstre que um anel de altura h obtido a partir de qualquer esfera de diâmetro não inferior a h tem volume πh³/6 e confirme o resultado para uma esfera maciça de diâmetro 6.

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1. Sendo a² = R² − (h/2)², a coroa circular à cota z tem área
  
  $\begin{aligned}S(z)&=\pi\left(R^{2}-z^{2}\right)-\pi a^{2}\\&=\pi\left(\tfrac{h^{2}}{4}-z^{2}\right)\end{aligned}$
2. Integre de z = −h/2 a z = h/2:
  
  $\begin{aligned}V&=\int_{-h/2}^{h/2}\pi\left(\tfrac{h^{2}}{4}-z^{2}\right)dz\\&=\pi\left(\tfrac{h^{3}}{4}-\tfrac{h^{3}}{12}\right)=\tfrac{\pi h^{3}}{6}\end{aligned}$
3. Para h = 6, obtemos 36π, o volume de uma esfera de raio 3, correspondente ao anel com R = 3 quando o furo fecha:
  
  $\tfrac{\pi\cdot6^{3}}{6}=36\pi=\tfrac{4\pi\cdot3^{3}}{3}$
Resposta

V = πh³/6, qualquer que seja R, desde que R ≥ h/2.

$V=\tfrac{\pi h^{3}}{6}$
O espaço entre a esfera e o cilindro circunscrito 3 passos
Uma esfera de raio r está contida num cilindro de raio r e altura 2r. Calcule o volume do espaço entre ambos e, a partir dele, o volume da esfera.

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1. À cota z, o espaço compreendido forma uma coroa circular entre o raio do cilindro e o da esfera:
  
  $\begin{aligned}S(z)&=\pi r^{2}-\pi\left(r^{2}-z^{2}\right)\\&=\pi z^{2}\end{aligned}$
2. Integre de z = −r a z = r:
  
  $\int_{-r}^{r}\pi z^{2}\,dz=\tfrac{2\pi r^{3}}{3}$
3. Subtraia esse valor ao volume do cilindro:
  
  $V(B)=2\pi r^{3}-\tfrac{2\pi r^{3}}{3}=\tfrac{4\pi r^{3}}{3}$
Resposta

2πr³/3 entre ambos, o que dá 2,0944 para r = 1; a esfera mede, portanto, 4πr³/3, dois terços do seu cilindro envolvente.

$\begin{aligned}V(A\setminus B)&=\tfrac{2\pi r^{3}}{3}\\ V(B)&=\tfrac{4\pi r^{3}}{3}\end{aligned}$
A união dos dois cilindros 3 passos
Os cilindros do problema 1 são ambos truncados com comprimento 2r. Calcule o volume ocupado por pelo menos um deles.

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1. A secção de cada cilindro é uma faixa de comprimento 2r e largura 2√(r² − z²); a fatia da união contabiliza o quadrado comum uma única vez:
  
  $\begin{aligned}S(z)&=2\cdot4r\sqrt{r^{2}-z^{2}}\\&\quad-4\left(r^{2}-z^{2}\right)\end{aligned}$
2. A integral do primeiro termo equivale à área de um semicírculo multiplicada por 8r:
  
  $\begin{aligned}\int_{-r}^{r}8r\sqrt{r^{2}-z^{2}}\,dz&=8r\cdot\tfrac{\pi r^{2}}{2}\\&=4\pi r^{3}\end{aligned}$
3. Logo,
  
  $V=4\pi r^{3}-\tfrac{16r^{3}}{3}$
Resposta

4πr³ − 16r³/3, que resulta em 7,233 para r = 1.

$\begin{aligned}V&=4\pi r^{3}-\tfrac{16r^{3}}{3}\\ r=1:\ V&\approx7{.}233\end{aligned}$
O material removido 3 passos
Calcule o volume de material removido da esfera no problema 2.

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1. O material extraído é a porção da esfera trespassada pela broca. Para |z| ≤ 3, a secção é o furo cilíndrico completo, um disco de raio 4; para 3 ≤ |z| ≤ 5, o próprio disco da esfera torna-se o menor:
  
  $S(z)=\begin{cases}16\pi, & |z|\le3\\ \pi\left(25-z^{2}\right), & 3\le|z|\le5\end{cases}$
2. Divida a integral no ponto em que a fórmula da fatia muda:
  
  $\begin{aligned}V&=\int_{-3}^{3}16\pi\,dz+2\int_{3}^{5}\pi\left(25-z^{2}\right)dz\\&=96\pi+\tfrac{104\pi}{3}=\tfrac{392\pi}{3}\end{aligned}$
3. Verificação: a esfera menos o anel do problema 2.
  
  $\begin{aligned}\tfrac{4\pi\cdot5^{3}}{3}-36\pi&=\tfrac{500\pi-108\pi}{3}\\&=\tfrac{392\pi}{3}\end{aligned}$
Resposta

392π/3 ≈ 410,5014.

$V=\tfrac{392\pi}{3}\approx410{.}5014$
O anel por cascas cilíndricas 2 passos
Calcule o volume do anel do problema 2 pelo método das cascas cilíndricas em torno do eixo do furo.
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1. Uma casca cilíndrica à distância x do eixo, com 4 ≤ x ≤ 5, vai da base ao topo da esfera, medindo uma altura de 2√(25 − x²):
  
  $V=2\pi\int_{4}^{5}x\cdot2\sqrt{25-x^{2}}\,dx$
2. Substitua u = 25 − x²:
  
  $\begin{aligned}V&=2\pi\int_{0}^{9}\sqrt{u}\,du\\&=2\pi\cdot\tfrac{2}{3}\cdot9^{3/2}=36\pi\end{aligned}$
Resposta

36π, tal como pelo método das fatias.

$V=36\pi$

Problemas suplementares, só com a resposta

Considere o cubo |x|, |y|, |z| ≤ 2 e retire-lhe o sólido comum aos dois cilindros de raio 2 representados na página. Determine a área da secção à altura z e o volume restante.

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A secção é uma moldura quadrada de área 16 − 4(4 − z²) = 4z². O volume restante é ∫₋₂² 4z² dz = 64/3 ≈ 21,3333, igual ao volume de duas pirâmides de base quadrada.

$\begin{aligned}A(z)&=4z^{2}\\V&=\int_{-2}^{2}4z^{2}\,dz=\tfrac{64}{3}\approx21{.}3333\end{aligned}$
Faz-se um furo de raio 3 que atravessa o centro de uma esfera de raio 5. Determine a altura e o volume do anel que resta.

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A altura é 8, pois 3² + 4² = 5², e o volume é π · 8³/6 = 256π/3 ≈ 268,0826.

$\begin{aligned}h&=2\sqrt{5^{2}-3^{2}}=8\\V&=\frac{\pi h^{3}}{6}=\frac{256\pi}{3}\approx268{.}0826\end{aligned}$
Um anel obtido ao perfurar uma esfera de raio R tem altura R. Que fração do volume da esfera resta?

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1/8: o volume do anel é πR³/6 e o da esfera é 4πR³/3.

$\frac{\pi R^{3}/6}{4\pi R^{3}/3}=\frac18$
Dois cilindros de raio 1 e comprimento 2 cruzam-se perpendicularmente, como na figura da página. Determine o volume da parte de um dos cilindros que fica fora do outro.

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2π − 16/3 ≈ 0,9499: ao volume 2π do cilindro subtrai-se o volume 16/3 do sólido comum.

$V=2\pi-\tfrac{16}{3}\approx0{.}9499$

Dois cilindros cruzam-se num sólido cujo volume não tem π

Clique em Cilindros cruzados. Cada corte horizontal do sólido comum a ambos é um quadrado de lado 2√(r² − z²). A sua área resultante, 4(r² − z²), é um polinómio simples cuja integral dá 16r³/3: nem sinal de π. A esfera de raio r cabe perfeitamente no interior desse sólido, e o seu corte à mesma cota z é o círculo inscrito nesse quadrado. Como um círculo ocupa uma fracção de π/4 do quadrado circunscrito a qualquer altura, a esfera ocupa precisamente π/4 do volume do sólido: 16r³/3 · π/4 = 4πr³/3. Numa carta a Eratóstenes, Arquimedes assinalou esta curiosidade nos seus próprios termos. Nas cartas anteriores, comparara conoides e esferoides com cones e cilindros, e nenhum produzira uma equivalência exacta com um sólido de faces planas. Este consegue-o: são dois terços do cubo circunscrito. A edição de Heath de 1912 regista que a demonstração original se perdeu.

O volume do anel perfurado depende apenas da sua altura

Clique em Esfera perfurada. Uma esfera de raio 5 com um orifício de raio 4 deixa um anel com 6 de altura e volume 36π ≈ 113,0973. Antes de arrastar R, decida se uma esfera maior deveria deixar mais anel. Aumente a esfera: para manter o anel com 6 de altura, o orifício é obrigado a alargar. O volume nem mexe. À altura z, a secção é uma coroa circular que vai do raio a até √(R² − z²), com área π(R² − z² − a²), e o orifício foi escolhido de modo a que R² − a² = (h/2)². O que sobra, π((h/2)² − z²), já não tem R. É a secção de uma esfera maciça de diâmetro h — precisamente o que Mesmo anel, R = 3 mostra: o orifício fecha-se e o anel passa a ser a esfera inteira. Um anel com 6 cm de altura retirado de uma esfera do tamanho da Terra contém exatamente o mesmo que uma esfera com 6 cm de diâmetro.

Subtrair o sólido curvo da sua caixa deixa o volume de cones

Escolha Cilindro sem esfera. Em qualquer cota, a fatia do cilindro é um disco de área πr² e a da esfera mede π(r² − z²). A diferença vale πz²: precisamente a área de secção de dois cones unidos pelo vértice no centro. Como secções iguais a todas as alturas geram volumes iguais, o cilindro menos a esfera equivale ao volume dos dois cones, 2πr³/3. A esfera mede, portanto, 2πr³ − 2πr³/3 = 4πr³/3, ou seja, dois terços do cilindro envolvente. O botão Cubo sem sólido comum opera pelo mesmo princípio. A sua fatia é uma moldura quadrada de área 4r² − 4(r² − z²) = 4z², idêntica à secção de duas pirâmides de base quadrada. O seu volume conjunto é 8r³/3, o que nos devolve os 16r³/3 do sólido sem exigir integrais mais difíceis do que z². Arquimedes pediu que gravassem a esfera e o cilindro no seu túmulo; no ano 75 a.C., Cícero encontrou a sepultura na Sicília, coberta de silvas, guiado por essa figura gravada numa pequena coluna. Na China, Zu Geng (por volta de 450 a 520) determinou o volume da esfera intersectando um cubo com cilindros e comparando os sólidos secção a secção.

Percurso de aprendizagem

Aplicações da integração

Referências (4)

The slicing method the page applies to each combination, V = ∫ A(x) dx, and the washer as the difference of two discs: G. Strang and E. Herman, Calculus Volume 1, OpenStax (2016), section 6.2, “Determining Volumes by Slicing”.
Insight block 1: Archimedes' letter to Eratosthenes announcing that the solid inside two cylinders inscribed in one cube “is two-thirds of the whole cube”, and that, unlike the solids compared before with cones and cylinders, it “is found to be equal to one of the solid figures which are bounded by planes” (pp. 12–13); “One of the two geometrical proofs is lost” (Introductory Note, p. 7), and Proposition 15, the mechanical investigation of the same solid, “is lost” (p. 48): T. L. Heath (ed.), The Method of Archimedes, Recently Discovered by Heiberg: A Supplement to The Works of Archimedes, 1897, Cambridge University Press (1912).
Insight blocks 1 and 3: the sphere two thirds of its circumscribed cylinder (On the Sphere and Cylinder, Book 1); the tomb carrying a sphere and a cylinder, found by Cicero in Sicily in 75 BC under brambles and thickets; Heiberg's discovery in 1906 of the tenth-century manuscript containing the Method: J. J. O'Connor and E. F. Robertson, “Archimedes of Syracuse”, MacTutor History of Mathematics Archive, University of St Andrews (last updated January 1999).
Insight block 3: Zu Geng (about 450 to about 520) cut a circumscribed cube into eight small cubes and these by cylindrical cuts, and found the sphere's volume by comparing the pieces through the principle that solids of the same height with sections in a constant ratio have volumes in that ratio: J. J. O'Connor and E. F. Robertson, “Zu Geng”, MacTutor History of Mathematics Archive, University of St Andrews (last updated December 2003).

Pela equipa 7 Raven Room · Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.