O Teorema Fundamental do Cálculo

Ao sombrear a área sob uma curva desde um ponto inicial fixo a até um extremo móvel x, essa área torna-se uma função de x. A página desenha-a logo abaixo, mede a rapidez com que ela cresce e coloca essa taxa ao lado da altura da curva em x. A primeira parte do teorema mostra que são sempre o mesmo número. A segunda decorre daí: uma primitiva permite calcular o integral definido.

Parte 1	$\frac{d}{dx}\int_{a}^{x}f(t)\,dt=f(x)$
Parte 2	$\int_{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a),\qquad F'=f$
Com x² ou qualquer g(x) no limite superior	$\frac{d}{dx}\int_{a}^{g(x)}f(t)\,dt=f\bigl(g(x)\bigr)\,g'(x)$

Exemplo resolvido — O Teorema Fundamental do Cálculo

Área de a até x, pela regra de Simpson	0,7468
Altura da curva em x	0,3679

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

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Lição

A teoria — O Teorema Fundamental do Cálculo

A função de acumulação de f a partir de a é A(x) = ∫ₐˣ f(t) dt, a área com sinal sob f entre a e x. O teorema fundamental do cálculo desdobra-se em duas partes: A′(x) = f(x) onde quer que f seja contínua e, portanto, ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a) para qualquer primitiva F de f.

O que significa cada símbolo

A(x): a área sob f de a até x, cujo sinal se inverte abaixo do eixo e volta a inverter-se quando x fica à esquerda de a
a: o ponto inicial fixo; alterá-lo desloca A por uma constante e deixa A′ intacta

De onde vem a fórmula

Parte 1: a inclinação da área é a altura da curva. Num pequeno intervalo de x a x + h, a área adicional é uma faixa de largura h e altura próxima de f(x); logo, a área cresce à taxa de f(x) por unidade de x.
$\frac{A(x+h)-A(x)}{h}=\frac{1}{h}\int_{x}^{x+h}f(t)\,dt\ \longrightarrow\ f(x)$
Parte 2: o cálculo com qualquer primitiva. Como A e qualquer primitiva F partilham a mesma derivada, diferem apenas por uma constante, fixada pela condição A(a) = 0.
$A(x)=F(x)+C,\quad A(a)=0\ \Rightarrow\ C=-F(a)\ \Rightarrow\ \int_{a}^{b}f=F(b)-F(a)$

Pressupõe: f é contínua no intervalo. Nos pontos onde f sofre um salto, a função área apresenta um ponto anguloso e não admite derivada, embora permaneça bem definida.

Problemas resolvidos na íntegra

Derivar um integral com x no limite superior 1 passos
Calcule d/dx ∫₁^x √(1 + t³) dt.
1. Aplicação direta da parte 1: a derivada da função área é o integrando avaliado em x.
  
  $\frac{d}{dx}\int_{1}^{x}\sqrt{1+t^{3}}\,dt=\sqrt{1+x^{3}}$
Resposta

√(1 + x³). Não é preciso encontrar uma primitiva de √(1 + t³), o que é uma sorte: ela não possui primitiva elementar.

$\sqrt{1+x^{3}}$
x² no limite superior: a regra da cadeia entra em ação 2 passos
Calcule d/dx ∫₀^x² cos t dt.
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1. A função área é A(u) com u = x²; derive A em relação a u e multiplique por du/dx:
  
  $\frac{d}{dx}\int_{0}^{x^{2}}\cos t\,dt=\cos\left(x^{2}\right)\cdot2x$
2. Confirme calculando primeiro o integral:
  
  $\int_{0}^{x^{2}}\cos t\,dt=\sin\left(x^{2}\right)\ \Rightarrow\ \frac{d}{dx}\sin\left(x^{2}\right)=2x\cos\left(x^{2}\right)$
Resposta

2x cos(x²). Escrever apenas cos(x²) ignoraria a derivada interna, exatamente como em qualquer outra aplicação da regra da cadeia.

$2x\cos\left(x^{2}\right)$
x em ambos os limites 3 passos
Calcule d/dx ∫_x^2x t² dt.
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1. Separe a integração num ponto fixo qualquer, por exemplo 0, para que cada parcela tenha x em apenas um dos limites:
  
  $\int_{x}^{2x}t^{2}\,dt=\int_{0}^{2x}t^{2}\,dt-\int_{0}^{x}t^{2}\,dt$
2. Derive cada parcela, recorrendo à regra da cadeia na que tem o limite composto:
  
  $\frac{d}{dx}=(2x)^{2}\cdot2-x^{2}=8x^{2}-x^{2}=7x^{2}$
3. Confirme calculando primeiro o integral:
  
  $\int_{x}^{2x}t^{2}\,dt=\frac{8x^{3}-x^{3}}{3}=\frac{7x^{3}}{3}\ \Rightarrow\ 7x^{2}$
Resposta

7x². O limite inferior entra com sinal negativo porque, ao aumentá-lo, retira-se área.

$7x^{2}$
Um integral definido a partir de uma primitiva 1 passos
Calcule ∫₀^π sin x dx.

Abrir este problema na ferramenta
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1. −cos x é uma primitiva de sin x, pelo que se aplica a parte 2:
  
  $\int_{0}^{\pi}\sin x\,dx=\Bigl[-\cos x\Bigr]_{0}^{\pi}=-\cos\pi+\cos0=1+1$
Resposta

2. Abra o exemplo na ferramenta: a área calculada fatia a fatia também vale 2, e a função área fica plana em π, o seu ponto mais alto.

$\int_{0}^{\pi}\sin x\,dx=2$
Interpretar a função área a partir do integrando 3 passos
Seja g(x) = ∫₀^x (t² − 4) dt. Onde é que g cresce, onde estão os seus extremos, onde muda de concavidade e quanto vale g(2)?

Abrir este problema na ferramenta
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1. Pela parte 1, g′(x) = x² − 4, positiva fora de [−2, 2] e negativa no seu interior:
  
  $g'(x)=x^{2}-4:\quad g'>0\ \iff\ |x|>2,\qquad g'<0\ \iff\ |x|<2$
2. g″(x) = 2x muda de sinal em 0, assinalando aí uma inflexão de g:
  
  $g''(x)=2x=0\iff x=0$
3. E g(2) pela parte 2:
  
  $g(2)=\Bigl[\tfrac{t^{3}}{3}-4t\Bigr]_{0}^{2}=\tfrac{8}{3}-8=-\tfrac{16}{3}$
Resposta

g é crescente em (−∞, −2] e [2, ∞) e decrescente em [−2, 2]; tem um máximo em −2, um mínimo em 2 e uma inflexão em 0; g(2) = −16/3 ≈ −5,3333. Todas estas propriedades foram deduzidas do sinal de t² − 4 e da sua inclinação, antes mesmo de se calcular a expressão de g.

$\max:\ x=-2,\quad\min:\ x=2,\quad g(2)=-\tfrac{16}{3}\approx-5{.}3333$
O logaritmo como uma área 1 passos
Calcule ∫₁^e dt/t.

Abrir este problema na ferramenta
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1. ln t é uma primitiva de 1/t para t > 0:
  
  $\int_{1}^{e}\frac{dt}{t}=\Bigl[\ln t\Bigr]_{1}^{e}=\ln e-\ln1=1-0$
Resposta

1. No sentido inverso, esta é a própria definição adotada por muitos manuais: ln x é a área sob 1/t de 1 a x, sendo e o valor em que essa área atinge 1.

$\int_{1}^{e}\frac{dt}{t}=1$

Problemas suplementares, só com a resposta

Calcule d/dx ∫_x² e^t² dt.

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−e^x². A variável está no limite inferior de integração, pelo que o sinal muda.

$-e^{x^{2}}$
Calcule d/dx ∫₀^{sen x} √(1 − t²) dt para −π/2 < x < π/2.

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√(1 − sen²x) · cos x = cos²x, pois cos x é positivo nesse intervalo.

$\cos^{2}x$
Calcule ∫₋₁² (x² − 1) dx. O resultado corresponde à área entre a curva e o eixo das abcissas?

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0. A área é 8/3: no cálculo do integral, os 4/3 abaixo do eixo em [−1, 1] anulam os 4/3 acima do eixo em [1, 2].

$\int_{-1}^{2}\left(x^{2}-1\right)dx=0,\qquad A=\tfrac{8}{3}$
Determine f sabendo que ∫₀^x f(t) dt = x² sen x para todo x.

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f(x) = 2x sen x + x² cos x, derivando ambos os membros da igualdade.

$f(x)=2x\sin x+x^{2}\cos x$
Determine a equação da reta tangente ao gráfico de G(x) = ∫₁^x √(t + 3) dt no ponto de abcissa x = 1.

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y = 2x − 2. Temos G(1) = 0 porque os limites de integração coincidem, e G′(1) = √4 = 2.

$y=2x-2$

A inclinação da área é a altura da curva, com ou sem fórmula

Clique em e^(−t²): sem fórmula. A página não recorre a qualquer primitiva para traçar a curva inferior: acumula a área sob e^−t² fatia a fatia. Em x = 1, a área vale 0,7468, e a curva inferior sobe aí a uma taxa de 0,3679 por unidade, precisamente a altura da curva em sino em 1. Mova x para onde quiser: os dois valores mantêm-se rigorosamente iguais. A razão cabe numa única frase: ao alargar o intervalo de x para x + h, a área ganha uma faixa de largura h e altura próxima de f(x), crescendo portanto a f(x) por unidade de x. Nada disto exige uma fórmula. Liouville provou que e^−t² não a tem, mas o teorema oferece-lhe uma primitiva mesmo assim: a própria função área.

Toda a função área é uma primitiva, e não o contrário

Clique em cos t com a = 2. Alterar o ponto inicial a desloca toda a curva inferior para cima ou para baixo sem lhe mudar a forma; assim, a inclinação em x mantém-se cos 1 = 0,5403, seja qual for o valor de a. Cada escolha de a fornece uma primitiva de cos t. Mas o recíproco não se verifica. A expressão sin t + 5 também é uma primitiva de cos t, contudo nenhuma função área coincide com ela: uma função área vale 0 no seu ponto de partida, enquanto sin t + 5 nunca desce abaixo de 4. A operação ∫ₐˣ seleciona apenas as primitivas que passam pelo zero nalgum ponto, e o teorema só precisa de uma delas.

A área atinge o pico onde a curva cruza o zero a descer

Clique em sen t até π. A área vale 2 e a curva inferior é plana: antes de π, a curva está acima do eixo e acrescenta área; depois de π, fica abaixo e retira área, fazendo de π o ponto culminante. Clique em t² − 4 até 2: a área vale −5,3333 num ponto de mínimo, pela razão inversa. É habitual os exames pedirem estas conclusões apenas a partir do gráfico de f, e o teorema explica por que razão isso é suficiente: a função área sobe onde f é positiva, desce onde f é negativa, atinge um máximo onde f passa de positiva a negativa e muda de concavidade onde f atinge os seus próprios extremos. Os pontos cinzentos no painel inferior assinalam estes pontos de viragem.

Percurso de aprendizagem

Aplicações da integração

Referências (1)

Both parts as the page states them: Theorem 5.4 (if f is continuous on [a, b] and F(x) = ∫ₐˣ f(t) dt, then F′(x) = f(x) on (a, b)) and Theorem 5.5 (∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a) for any antiderivative F of a continuous f): G. Strang and E. Herman, Calculus Volume 1, OpenStax (2016), section 5.3, “The Fundamental Theorem of Calculus”.

Pela equipa 7 Raven Room · Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.