Laboratório de Integração Numérica

Estime a área sob uma curva ou entre duas funções, e visualize como os métodos numéricos aproximam a integral.

Exemplo resolvido — Laboratório de Integração Numérica

Valor definido	2.666667
Integral exata	2.666667
Forma	1x+0

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

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duplique as faixas e Simpson ganha um fator de dezasseis

Todos estes métodos convergem; só difere a rapidez. Ao duplicar o número de faixas para e^x em [0, 1], o erro da soma à esquerda diminui por um fator de 2, o das regras do ponto médio e do trapézio por 4, e o da regra de Simpson por 16. Simpson avalia três pontos por faixa, enquanto a soma à esquerda avalia apenas um, pelo que exige três vezes mais cálculos. Para n = 8, nesse integrando, já se aproxima seis ordens de grandeza mais do valor exato.

aproxime e toda curva fica reta

A integração numérica divide a região sob uma curva em faixas estreitas, preenche cada uma com uma forma simples — um retângulo, um trapézio ou um pequeno arco de parábola — e soma as parcelas. Numa faixa suficientemente estreita, até uma curva irregular parece quase retilínea, por isso uma forma elementar produz uma aproximação surpreendentemente boa. Observe o preenchimento em ciano: quanto mais finas forem as faixas, menor será o erro possível em cada uma, seja qual for a forma usada.

A regra de Simpson precede Simpson

Johannes Kepler publicou em 1615 a fórmula por painel usada nesta ferramenta para a regra de Simpson — S = (Δx/6)(f(x_L) + 4f(x_M) + f(x_R)) — a fim de calcular o volume de barris de vinho. Em alemão, ainda se chama Keplersche Fassregel. Thomas Simpson registou-a em 1743, um século e um quarto mais tarde. Kepler precisava dela porque a parede abaulada de um barril não tem uma fórmula de área simples.

TEORIA DA INTEGRAÇÃO NUMÉRICA — CINCO MANEIRAS DE MEDIR UMA ÁREA

Escolher a regra: que figura você coloca sob a curva?

Toda regra corta [a, b] em n faixas e substitui a curva dentro de cada faixa por algo que se mede exatamente. As regras diferem apenas nessa figura substituta — uma horizontal numa ponta, uma horizontal no meio, uma reta inclinada ou uma parábola — e essa escolha é o que define seu erro e a velocidade com que ele encolhe ao acrescentar faixas.

Retângulos pela esquerda — planos na borda esquerda h · Σ f(x_i)

Retângulos pela direita — planos na borda direita h · Σ f(x_i+1)

Retângulos do ponto médio — planos no centro h · Σ f(x_i + h/2)

Regra do trapézio — uma reta atravessando (h/2) · Σ [f(x_i) + f(x_i+1)]

Regra de Simpson — uma parábola por três pontos (h/3) · [f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + f_n]

Retângulos pela esquerda — planos na borda esquerda

Figura usada: Um retângulo por faixa, com a altura tomada na extremidade esquerda da faixa.

Regra: h · Σ f(x_i)

Comportamento do erro: Numa curva crescente todos os retângulos ficam abaixo dela, então o total fica aquém. Dividir a largura ao meio reduz o erro pela metade, aproximadamente.

Abrir este caso: Esquerda, 50 faixas

Retângulos pela esquerda — planos na borda esquerda. Cada faixa é um retângulo preso à borda esquerda, deixando uma cunha da curva sem contar. Um retângulo por faixa, com a altura tomada na extremidade esquerda da faixa. — Cada faixa é um retângulo preso à borda esquerda, deixando uma cunha da curva sem contar.

Retângulos pela direita — planos na borda direita

Figura usada: Um retângulo por faixa, com a altura tomada agora na extremidade direita.

Regra: h · Σ f(x_i+1)

Comportamento do erro: Na mesma curva crescente cada retângulo passa por cima dela, excedendo mais ou menos o que a regra da esquerda havia perdido.

Abrir este caso: Direita, 8 faixas

Retângulos pela direita — planos na borda direita. As mesmas faixas, com a altura na borda direita: o viés troca de sinal. Um retângulo por faixa, com a altura tomada agora na extremidade direita. — As mesmas faixas, com a altura na borda direita: o viés troca de sinal.

Retângulos do ponto médio — planos no centro

Figura usada: Um retângulo por faixa, com a altura lida no meio da faixa em vez de numa das pontas.

Regra: h · Σ f(x_i + h/2)

Comportamento do erro: O excesso em metade da faixa compensa a falta na outra metade. Dividir h ao meio derruba o erro para cerca de um quarto.

Abrir este caso: Arco-tangente

Retângulos do ponto médio — planos no centro. Amostrar no centro deixa os dois erros de cada faixa se cancelarem. Um retângulo por faixa, com a altura lida no meio da faixa em vez de numa das pontas. — Amostrar no centro deixa os dois erros de cada faixa se cancelarem.

Regra do trapézio — uma reta atravessando

Figura usada: Cada faixa vira um trapézio ligando o valor da curva nas duas bordas da faixa.

Regra: (h/2) · Σ [f(x_i) + f(x_i+1)]

Comportamento do erro: exp(x) em [0, 1] com n = 8: as cordas ficam acima da curva convexa, então a estimativa sai alta.

Abrir este caso: Curva exponencial

Regra do trapézio — uma reta atravessando. Cordas sobre cada faixa: acima de uma curva convexa, abaixo de uma côncava. Cada faixa vira um trapézio ligando o valor da curva nas duas bordas da faixa. — Cordas sobre cada faixa: acima de uma curva convexa, abaixo de uma côncava.

Regra de Simpson — uma parábola por três pontos

Figura usada: As faixas são tomadas aos pares e ajusta-se uma parábola pelos três pontos que as abrangem. Exige n par.

Regra: (h/3) · [f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + f_n]

Comportamento do erro: sin(x) em [0, π] com apenas n = 10 já bate com o valor exato 2 em várias casas decimais.

Abrir este caso: Simpson suave

Regra de Simpson — uma parábola por três pontos. Uma parábola para cada par de faixas, abraçando a curva muito melhor que uma corda. As faixas são tomadas aos pares e ajusta-se uma parábola pelos três pontos que as abrangem. Exige n par. — Uma parábola para cada par de faixas, abraçando a curva muito melhor que uma corda.

Referências (1)

Insight block 3 — Simpson's rule, a century before Simpson: J. Kepler, Nova stereometria doliorum vinariorum. Linz, 1615 — the Keplersche Fassregel, derived to gauge the volume of wine barrels.

Problema resolvido na íntegra

A regra dos trapézios em n = 8 para e x 5 passos
Integre e^x de 0 a 1 com oito trapézios, e descubra exatamente o erro da resposta antes de a comparar com o que quer que seja. Esta é a regra dos trapézios com n = 8 para e^x em [0, 1] — o único integrando para o qual a estimativa pode ser escrita sob a forma fechada.

Abrir este problema na ferramenta
1. A regra dos trapézios calcula a média das duas alturas extremas de cada faixa, pelo que cada altura interior é contada uma vez e as duas exteriores contam metade. Para e^x numa grelha com espaçamento uniforme, essas alturas não são oito números sem relação entre si: cada uma é a anterior multiplicada por e^1/8.
  
  $T=h\left[\frac{f_{0}+f_{8}}{2}+\sum_{k=1}^{7}f_{k}\right],\qquad h=\tfrac18,\quad f_{k}=e^{k/8}=r^{k},\quad r=e^{1/8}=1.133148$
2. As potências consecutivas de r somam-se como uma série geométrica, pelo que as sete alturas interiores se reduzem a um único quociente. A oitava potência de r é exatamente e, o que torna o intervalo [0, 1] conveniente para realizar este cálculo.
  
  $\sum_{k=1}^{7}r^{k}=\frac{r^{8}-r}{r-1}=\frac{e-r}{r-1}=\frac{1.585134}{0.133148}=11.905008$
3. Multiplicar a expressão entre parênteses pela largura da faixa conclui a estimativa. Até agora nada é aproximado, exceto a decisão original de colocar topos retos em faixas curvas.
  
  $T=\tfrac18\left[\frac{1+e}{2}+11.905008\right]=\tfrac18\left[1.859141+11.905008\right]=1.720519$
4. Execute agora as mesmas três linhas sem decimais. A média dos pontos extremos e o quociente geométrico partilham um fator, e o que sobrevive ao cancelamento é e − 1 — o integral exato — multiplicado por uma quantidade que depende apenas de h. A regra dos trapézios não aproximou e^x aqui; escalou a resposta correta por um fator que nada sabe sobre a curva.
  
  $T=h\left[\frac{1+e}{2}+\frac{e-r}{r-1}\right]=\frac{h\,(e-1)(r+1)}{2\,(r-1)}=(e-1)\cdot\frac{h}{2}\coth\frac{h}{2}$
5. Esse fator é x coth x em x = h/2, e é par em x, pelo que a sua série começa com 1 + x²/3 e não tem termo linear com que nos preocuparmos. Em x = h/2 isso lê-se 1 + h²/12, e o 1/12 que todos os manuais citam no limite de erro dos trapézios é este coeficiente da série e nada mais. O termo seguinte, −h⁴/720, é de apenas 3,4 × 10⁻⁷, pelo que o termo principal por si só fixa o erro com seis algarismos.
  
  $x\coth x=\frac{x\cosh x}{\sinh x}=\frac{1+\frac{x^{2}}{2}+\cdots}{1+\frac{x^{2}}{6}+\cdots}=1+\frac{x^{2}}{3}+\cdots,\quad x=\tfrac{h}{2}\ \Longrightarrow\ T-I=\frac{I\,h^{2}}{12}=\frac{1.718282}{768}=0.0022373$
Resposta

A ferramenta apresenta uma estimativa de 1,720519 contra um valor verdadeiro de 1,718282, e a diferença de 0,0022368 é o que I·h²/12 = 0,0022373 previu a partir do espaçamento da grelha isoladamente. Ambos os valores estavam disponíveis antes de e^x ser avaliado em qualquer ponto, o que constitui o verdadeiro conteúdo: o erro dos trapézios neste integral é uma propriedade de h, não um mistério sobre o integrando. O preço de uma lei em h² é elevado. Alcançar as seis casas decimais que a ferramenta apresenta como verdadeiras exige 462 faixas — 463 alturas de e^x — enquanto a regra de Simpson da ferramenta, que pondera as alturas esquerda, central e direita de cada painel como 1 : 4 : 1, obtém 1,718282 com seis painéis, ou treze alturas. Esse fator de trinta e cinco não compra nada de novo matematicamente; é apenas uma média diferente de alturas em relação às quais a regra dos trapézios já se encontrava lado a lado.

$T=I\cdot\frac{h}{2}\coth\frac{h}{2}=I\left(1+\frac{h^{2}}{12}-\frac{h^{4}}{720}+\cdots\right)$

Percurso de aprendizagem

Três métodos numéricos e onde cada um falha

Pela equipa 7 Raven Room · Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.