Forma harmónica

Introduz a e b (podes usar frações ou raízes, como √3) e escolhe a forma pedida no enunciado. O triângulo relaciona R cos α e R sen α com os coeficientes; o gráfico mostra as duas ondas a tracejado e a onda que resulta da sua soma. Se introduzires c, obténs as soluções de a sen x + b cos x = c num intervalo.

Amplitude	$R=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$
Em função do seno	$\begin{aligned}&a\sin x+b\cos x=R\sin(x+\alpha)\\&\tan\alpha=\frac{b}{a}\end{aligned}$
Em função do cosseno	$\begin{aligned}&a\sin x+b\cos x=R\cos(x-\alpha)\\&\tan\alpha=\frac{a}{b}\end{aligned}$

Exemplo resolvido — Forma harmónica

Amplitude R	5
Ângulo de fase α	53,13°
α em radianos	0,9273
Uma só onda	5 sin(x + 53,13°)
Máximo	36,87°
Mínimo	216,87°

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

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Lição

A teoria — Forma harmónica

A forma harmónica permite escrever a sen x + b cos x como uma única onda, R sen(x ± α) ou R cos(x ± α), com R > 0.

De onde vem a fórmula

Desenvolve a forma pretendida com a fórmula do seno ou do cosseno da soma ou da diferença de dois ângulos, para obteres também uma soma de um múltiplo de sen x com um múltiplo de cos x.
$R\sin(x+\alpha)=R\cos\alpha\,\sin x+R\sin\alpha\,\cos x$
Iguala os coeficientes. Os coeficientes de sen x e de cos x dão R cos α e R sen α, com os sinais que resultam da forma escolhida.
$R\cos\alpha=a,\qquad R\sin\alpha=b$
Eleva ao quadrado e soma para obter R; divide para obter α. A identidade cos²α + sen²α = 1 permite calcular R; o quociente dá tan α. Os sinais de R cos α e de R sen α indicam o quadrante de α.
$R^{2}(\cos^{2}\alpha+\sin^{2}\alpha)=a^{2}+b^{2}\ \Rightarrow\ R=\sqrt{a^{2}+b^{2}},\qquad\tan\alpha=\frac{b}{a}$
Interpreta a onda. O seno e o cosseno variam entre −1 e 1, pelo que a expressão varia entre −R e R. Atinge R quando o argumento é 90°, no caso do seno, ou 0°, no caso do cosseno.
$-R\le a\sin x+b\cos x\le R$
Resolve a sen x + b cos x = c tomando o argumento como incógnita. Na forma R sen(x + α), obténs sen(x + α) = c/R, e o intervalo do argumento resulta de somar α aos extremos do intervalo de x. Nas outras formas, o procedimento é o mesmo, com a respetiva função e o respetivo sinal. Se |c| > R, não há soluções.
$a\sin x+b\cos x=c\ \Rightarrow\ \sin(x+\alpha)=\frac{c}{R}$

Problemas resolvidos na íntegra

A forma habitual, R sen(x + α) 2 passos
Escreve 3 sen x + 4 cos x na forma R sen(x + α), com R > 0 e 0° < α < 90°.

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1. Desenvolve a forma pedida e iguala os coeficientes de sen x e de cos x:
  
  $R\sin(x+\alpha)=R\cos\alpha\,\sin x+R\sin\alpha\,\cos x\ \Rightarrow\ R\cos\alpha=3,\quad R\sin\alpha=4$
2. Eleva as duas igualdades ao quadrado e soma-as; depois, divide-as:
  
  $R=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5,\qquad\tan\alpha=\frac{4}{3},\quad\alpha=53{.}13^{\circ}$
Resposta

3 sen x + 4 cos x = 5 sen(x + 53,13°).

$3\sin x+4\cos x=5\sin(x+53{.}13^{\circ})$
Uma forma exata com uma raiz, R cos(x − α) 2 passos
Escreve sen x + √3 cos x na forma R cos(x − α), indicando os valores exatos de R e de α.

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1. Desenvolve R cos(x − α) e iguala os coeficientes:
  
  $R\cos(x-\alpha)=R\cos\alpha\,\cos x+R\sin\alpha\,\sin x\ \Rightarrow\ R\cos\alpha=\sqrt{3},\quad R\sin\alpha=1$
2. Eleva as duas igualdades ao quadrado e soma-as; depois, divide-as. O valor tan α = 1/√3 corresponde a um ângulo notável:
  
  $R=\sqrt{3+1}=2,\qquad\tan\alpha=\frac{1}{\sqrt{3}},\quad\alpha=30^{\circ}$
Resposta

sen x + √3 cos x = 2 cos(x − 30°).

$\sin x+\sqrt{3}\cos x=2\cos(x-30^{\circ})$
O sinal de menos em R sen(x − α) 2 passos
Escreve 5 sen x − 12 cos x na forma R sen(x − α), com R > 0 e 0° < α < 90°.

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1. O sinal de menos que surge ao desenvolver corresponde ao da expressão dada, pelo que R sen α é positivo:
  
  $R\sin(x-\alpha)=R\cos\alpha\,\sin x-R\sin\alpha\,\cos x\ \Rightarrow\ R\cos\alpha=5,\quad R\sin\alpha=12$
2. Eleva as duas igualdades ao quadrado e soma-as; depois, divide-as:
  
  $R=\sqrt{25+144}=13,\qquad\tan\alpha=\frac{12}{5},\quad\alpha=67{.}38^{\circ}$
Resposta

5 sen x − 12 cos x = 13 sen(x − 67,38°). Se escolhesses R sen(x + α), obterias α = −67,38°.

$5\sin x-12\cos x=13\sin(x-67{.}38^{\circ})$
Máximo e mínimo: valores e onde ocorrem 2 passos
Determina o máximo e o mínimo de 3 sen x + 4 cos x para 0° ≤ x < 360° e os valores de x em que ocorrem. Deduz o maior valor de 1/(10 + 3 sen x + 4 cos x).

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1. Do primeiro exercício, sabemos que 3 sen x + 4 cos x = 5 sen(x + 53,13°). Como o seno varia entre −1 e 1:
  
  $\sin(x+53{.}13^{\circ})=1:\ x=36{.}87^{\circ},\qquad\sin(x+53{.}13^{\circ})=-1:\ x=216{.}87^{\circ}$
2. A fração atinge o maior valor quando o denominador é mínimo, ou seja, no mínimo da onda:
  
  $\frac{1}{10+3\sin x+4\cos x}\le\frac{1}{10-5}=\frac{1}{5}$
Resposta

O máximo é 5, em x = 36,87°, e o mínimo é −5, em x = 216,87°; o maior valor da fração é 1/5, em x = 216,87°.

$\max=5,\quad\min=-5,\quad\max\frac{1}{10+3\sin x+4\cos x}=\frac{1}{5}$
Resolver a sen x + b cos x = c 3 passos
Resolve 3 sen x + 4 cos x = 2 para 0° ≤ x < 360°.

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1. Escreve o primeiro membro na forma harmónica e divide ambos os membros por R:
  
  $5\sin(x+53{.}13^{\circ})=2\ \Rightarrow\ \sin(x+53{.}13^{\circ})=0{.}4$
2. Quando x percorre o intervalo dado, o argumento x + 53,13° varia de 53,13° a 413,13°. A partir do valor principal e do ângulo suplementar, obtêm-se os dois ângulos nesse intervalo:
  
  $x+53{.}13^{\circ}=180^{\circ}-23{.}58^{\circ}=156{.}42^{\circ},\qquad x+53{.}13^{\circ}=360^{\circ}+23{.}58^{\circ}=383{.}58^{\circ}$
3. Subtrai 53,13° a cada um:
  
  $x=103{.}29^{\circ},\qquad x=330{.}45^{\circ}$
Resposta

x = 103,29° ou x = 330,45° (com 2 casas decimais).

$x=103{.}29^{\circ},\ 330{.}45^{\circ}$
Quando não há soluções 2 passos
Mostra que sen x + cos x = 2 não tem soluções.

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1. Escreve o primeiro membro na forma harmónica:
  
  $\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin(x+45^{\circ})$
2. O seno nunca ultrapassa 1, pelo que o primeiro membro nunca ultrapassa √2:
  
  $-\sqrt{2}\le\sqrt{2}\sin(x+45^{\circ})\le\sqrt{2}\approx1{.}4142<2$
Resposta

sen x + cos x ≤ √2 ≈ 1,4142 < 2 para qualquer x, pelo que a equação não tem soluções.

$\sin x+\cos x\le\sqrt{2}<2$
Um modelo: a profundidade máxima num porto 2 passos
A profundidade da água num porto é dada por D = 6 + 3 sen(30t)° + 4 cos(30t)° metros, sendo t o tempo, em horas, decorrido desde a meia-noite. Determina a profundidade máxima e o primeiro instante após a meia-noite em que é atingida.

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1. Faz x = 30t. A parte variável é a onda que já conhecemos:
  
  $D=6+5\sin(x+53{.}13^{\circ}),\qquad x=30t$
2. O seu máximo é 5 e ocorre em x = 36,87°, pelo que:
  
  $D_{\max}=6+5=11,\qquad 30t=36{.}87^{\circ}\ \Rightarrow\ t=1{.}229$
Resposta

A profundidade máxima é 11 m e é atingida pela primeira vez cerca de 1,23 horas após a meia-noite, à 1:14 da manhã.

$D_{\max}=11\ \mathrm{m},\qquad t\approx1{.}23\ \mathrm{h}$

Problemas suplementares, só com a resposta

Escreve 2 cos x − 3 sen x na forma R cos(x + α), com R > 0 e 0° < α < 90°.

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√13 cos(x + 56,31°)

$2\cos x-3\sin x=\sqrt{13}\cos(x+56{.}31^{\circ})$
Escreve 7 cos x − 24 sen x na forma R cos(x + α) e indica o seu máximo.

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25 cos(x + 73,74°), máximo 25

$7\cos x-24\sin x=25\cos(x+73{.}74^{\circ}),\quad\max=25$
Resolve √3 sen x − cos x = 1 para 0° ≤ x < 360°.

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x = 60° ou x = 180°

$x=60^{\circ},\ 180^{\circ}$
Escreve 2 sen θ − 1,5 cos θ na forma R sen(θ − α), com α em radianos e com 3 casas decimais.

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2,5 sen(θ − 0,644)

$2\sin\theta-1{.}5\cos\theta=2{.}5\sin(\theta-0{.}644)$
Determina o mínimo de 5 sen x − 12 cos x + 20.

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7

$5\sin x-12\cos x+20\ge20-13=7$
Resolve 2 cos x − 3 sen x = 1 para 0° ≤ x < 360°.

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x = 17,59° ou x = 229,79°

$x=17{.}59^{\circ},\ 229{.}79^{\circ}$

O máximo de 3 sen x + 4 cos x é 5, não 7

Clica em 3 sen x + 4 cos x. As ondas a tracejado atingem 3 e 4, mas com um desfasamento de um quarto de volta: quando sen x atinge o máximo, cos x passa por zero. A soma é uma única onda de amplitude 5, a hipotenusa de um triângulo de lados 3, 4 e 5. A expressão a sen x + b cos x é o produto escalar de (a; b) por (sen x; cos x), um vetor unitário que roda à medida que x varia. O produto escalar por um vetor unitário é máximo quando os vetores têm a mesma direção e o mesmo sentido; nesse caso, é igual à norma de (a; b), ou seja, √(a² + b²). Aqui, isso acontece em x = 36,87°, quando (sen x; cos x) = (0,6; 0,8), o vetor que se obtém dividindo (3; 4) por 5. A soma de duas ondas com o mesmo período é sempre uma onda desse período. É essa propriedade que permite encontrar R e α.

O quociente invertido dá o ângulo da outra forma

O erro mais frequente nestes exercícios é usar tan α = a/b quando a forma pedida exige b/a. Clica em 3 sen x + 4 cos x e alterna entre R sen(x + α) e R cos(x − α): α passa de 53,13° para 36,87°, mas a curva a traço contínuo fica exatamente no mesmo lugar. As expressões 5 sen(x + 53,13°) e 5 cos(x − 36,87°) estão ambas corretas, pois o seno corresponde ao cosseno com um atraso de um quarto de volta e 53,13° + 36,87° = 90°. Ao inverter o quociente e calcular a arcotangente, obtém-se o α correto para a outra forma. O erro está apenas em não usar a forma pedida. Quando nenhum dos coeficientes é nulo, os seus sinais determinam quantas formas permitem ter α agudo: duas se ambos forem positivos, uma se apenas um for negativo e nenhuma se ambos forem negativos.

Uma tabela de marés usa R e α trinta e sete vezes

A NOAA prevê a maré em The Battery, no extremo sul de Manhattan, somando 37 curvas de cosseno. São as constituintes harmónicas, cada uma descrita por uma amplitude e uma fase. A maior, M2, a principal constituinte lunar semidiurna, tem amplitude de 0,671 m e avança 28,984104° por hora, repetindo-se a cada 12,42 horas. Estas constantes são obtidas a partir de medições do nível da água: um mês de registos abrange a maioria dos ciclos lunares e solares; para identificar as 37 constituintes, é preciso um ano. A amplitude e a fase descrevem a forma harmónica de uma soma de seno e cosseno, precisamente a transformação feita nesta página. Essa representação permite perceber de imediato o efeito de cada constituinte: só a M2 faz subir a água 0,671 m acima do nível médio e descer 0,671 m abaixo dele.

Percurso de aprendizagem

Identidades e equações trigonométricas

Referências (2)

Insight block 3: the 37 harmonic constituents NOAA uses to predict the tide at The Battery, New York, each an amplitude and a phase; M2, the principal lunar semidiurnal constituent, has amplitude 0.671 m and speed 28.984104° per hour: NOAA Center for Operational Oceanographic Products and Services, Harmonic Constituents, station 8518750 (The Battery, NY), metadata API.
Insight block 3: each constituent “can be represented as a Cosine Curve” with an amplitude and a phase, predictions sum the 37 curves, 30 days of data show most constituents and a year shows all 37: NOAA Center for Operational Oceanographic Products and Services, “Harmonic Constituents”.

Pela equipa 7 Raven Room · Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.

Forma harmónica

De onde vem a fórmula

Problemas suplementares, só com a resposta

O máximo de 3 sen x + 4 cos x é 5, não 7 🖖

O quociente invertido dá o ângulo da outra forma 🖖

Uma tabela de marés usa R e α trinta e sete vezes 🖖

O máximo de 3 sen x + 4 cos x é 5, não 7

O quociente invertido dá o ângulo da outra forma

Uma tabela de marés usa R e α trinta e sete vezes